X-- — -^ ___ç)Xa dx dx^ ôx
ôr ôxôr dy
On a ainsi, par les équations ('-^o),
V i=—»V -;"» — / — n5"s-*-7 — TUF.
•"La* (a.4r (2.4.6)-
et par les équations (30)',
Dans le plan du courant, où x=^o et et Y=:o; suivant que le point est intérir valeur de la composante X se réduit à
Lorsque le point est assez rapproc pour que Ton puisse néj^iger les tenr en posant 6 = go^ — 2, les termM en
a a^La a. 2'
3S „ r 3.5 a? 3.5'7 a' =X.+ ~rî" H î--i + 7—if, --7 + -
=j:ir 3 , 3"5 /« „ .3'»"- t' n
aS
La a
Si l'on borne les séries {a3) aux termes du quatrième ordre de l'ordonaée )\ en remplaçant les dérivées de it par leurs Taleurs, il en résulte
Eu écrivant la valeur de X sous la forme
\ facl«urs A et B sont des nombres dont les valeurs en onction de x ont été représentées sur la figure i^'* par les Durbes A et B.
Le facteur A est négatif et égal à 0,73 pour .1=0, c'est-à- ■ que U composante X est un minimum au centre par
rapport au plan du courani. Ce facteur devienl f =o,5a el pread sa valeur maximum 0,6 pour :r:
Le facteur B , d'abord positif, s'annule pour 1< j;=o.'ia et cc=i,i&ya; il atteint sa valeur max tive quand x=o,58tia, c'est-à-dire au voisinage c pour laquelle le facteur A s'annule. Ce terme dt est le plus souvent négligeable.
A part les termes d'ordre supérieur au second, partielles de ces composantes par rapport à x soi
La valeur de X va en décroissant d'une maii depuis le plan du cercle jusqu'à l'inflni. La prr nulle pour x=o, est constamment négative; l est maximum varie de position avec 7, mais assez voisin du plan du cercle.
La valeur de Y, nulle pour x = o, atleini pour 2j-=:a, puis décroît jusqu'à zéro. La est nulle pour :c = o et pour 4-r* — 3a'. Celt- ' correspond au maximum négatif de la preni
567. Potentiel d'une calotte aphérique. des courants circulaires peuvent encore autre manière par les polynômes de Legeii
Considérons une couche sphérîque faoi par un cercle HK (fig. i43) de rayon a et < le centre de la sphère, u son rayon, A Ir et Mg un point de l'axe situé à la dîstancr
La distance p = MMd d'un point quelface au point Mg s'exprimera, en roiu-l>'
tlH4
la - A,
■«'S du
la Valeur i^n
♦îl du rhaïup
•' aisément que
•>. suivant que .r
i'onctions des va-
"' rjir. 0).
'l"i oorrespondenl à la
■ DE MESlItH.
La relation (a i ) permet d'éliminer toutes les intégrales. En se rappelant que la valeur limite de ^ est ces 3. on aura
■x;mh 'x;(jh
568. Feuillet sphérique. — Le potentiel V, au point M„ d' feuillet magnétique uniforme de même surface S et de puissance égale à l'unité, ou de l'unité de courant qui suivrait
contour H K. est égal (261) à — - f ' ■ On oblient ainsi
dx
On en déduira, |>ar le théorème de Legendre (262l la valeur du potentiel V en un point situé à la distance r du centre C la sphère, dans une direction qui fait l'angle 0 avec l'axe < système. Rcmplat^ant dans les expressions (39) la quantité par sa valeur cosa, il en résulte
..«+.in=»[^x;(.)x,(«)-i — i-^0yx;(i)x, I =-.=,in>,[i^x;wx,(») + ... + ^0y'"x;(.)x,(i
La première série est convergente pour les points dai l'intérieur de ta sphère ^^<; m» et la seconde pour les poiai extérieurs. Sur la surface même, les deux séries ont la mèjt valeur si 0 > 3, c'est-à-dire si le point considéré est en dehol de la surface S du feuillet. Pour '1 < a. c'est-à-dire sur i feuillet lui-mérae. la différence des deux séries est égale k 4'
L'avantage de ces nouvelles formules, pour certaines appi cations, consiste h ra[iporler le potentiel d'un courant circi laire (i une origine quelconque C située sur l'axe de symétrie^
PROPHIÉTÉN DES COUBAIVTS C.IRCITL
fjuand on fait u = a el sina — i, auquel cas le point C coïncide avec le centre O du cercle, les polynômes Xn(*) ont des valeurs très simples (565) et on retrouve la formule {■>-}.
569. Champ d'une bobine simple. — Le champ d'une bobine ivlindrique de longueur v,/', comprenant n spires par unit<^ de longueur et parcourue par l'unité de courant, est égal à l'inliuclion d'un cylindre aimanté uniformément (354). dont l'jnlinsilé (l'aimantation serait n.
Si le point considéré est extérieur à la bobine, le champ usl le même que celui de deux surfaces magnétiques A et A' de densités constantes +n et ~;i qui couvriraient les bases.
Les quantités!'. X^ et Ya données par les équations (i<)) el |3o) sont des fonctions de .r que l'on peut écrire
Si l'on reporte l'origine des coordonnées au centre de la bobine, on devra y remplacer x par x — f> pour la surface A. el par j--f- ft pour la surface A'. Cette dernière étant négative. le potentiel extérieur de la bobine et les composante.-s du rhnmp sont
' ' / ï = «>„[fl.r-4)-/;(a+4)].
Pour l'intérieur, le champ est la résultante de la valeur 45^" <joi conviendrait à une bobine illimitée (355) et du champ produit [>ar les bases. On reconnaîtrait encore aisément que les expressions (ili) conviennent aux deux cas, suivant que -r e»l plus grand ou plus petit que b.
De même, les expressions (20)' sont des fonctions des variableiî r el 9 que l'on peut écrire
Désignant par r' et 0' les valeurs qui correspondent à la couche négative, on aura
•*/iS[,,,,-,IJ)~,,(r,B)], ■j^S\„[r.t)-„{r.f)]
11 est clair que ç,(r,6)— — ç,(r, :: — 6) et Ça{f Pour un point situé k la distance r^ dans l la bobine, la composante Y est nulle et
Xo = -4«Sî,(ro,e,)
6» est très grand, c'e; rt à la longueur il> de
de ?,(/■«, 6o) se réduit à — ^p = — ^ ; il resle a
Lorsque l'angle 6» est très grand, c'est-à-( éloigné par rapport à la longueur il> de la L
Les expressions {^lu) ne conviennent pas intérieur, parce que le rayon vecteur r a'r supérieur au rayon a.
570. Bobine à plasienrs couches- — Si )'< bobine simple de rayon r, en posant
wï = r» + (^-i)*, *." = r»-l-(
et remplaçant les dérivées de u et f par leu posantes (3i) do champ deviennent
fj-hb x—b S/j'-i-i J — 1>
Pour une bobine d'épaisseur dr, homogène, on remplacera dans ces e^ L'intégration par rapport h. r, entre I nera ensuite les composantes X. et j d'une bobine d'épaisseur a
Si on représente ces compoSi
PIIOI'HIÉTÉS DE» COURANTS CIRCULAtRKS.
1° La valeur du champ à une grande distance par rapport rayon de la bobine se déterminera d'une manière analogue, partant de In série convergente
r'J l IX' 1.4
On a alors, pour un courant de rayon r,
lî),
Si nn peut négliger les quatrièmes puissances des rapports et le rapport — i qui est de même ordre, une double ût^atioa donne, pour une bobine homogène,
Sa'
Celle composante tend à devenir en raison inverse du cube 4t la distiince. comme on pouvait le voir directement par fissiinilalion de la bobine à un aimant.
t* Dans l'intérieur d'une bobine simple de grande longueur pr rapport à son rayon /-, le champ est sensiblement uni-
itme et sa composante axiule est
(tClXÛ désignant les valeurs absolues relatives aux bases A ♦l \' où la densité magnétique serait n.
ÉIkic. f( .««SB. — H. 8
En posant u^=zr^-^(b — x)*, les séries (aS) peuveni être développées en fonction du rapport
r . , dp p^
p — - , qui donne -^=^--j
' b — X ^ dx r
On en déduira les valeurs successives des dérive entrent dans Texpression de Xa ; il suffira ensuite d*y c le signe de x pour avoir celle de X^. On trouve ainsi
r^r^ ri ., / 4-5 x'X 1 .3 , ^ rV 6.7 .lA
La composante X relative à une bobine homogène s' dra en remplaçant n par nsn^dr, puis intégrant en limites a — 6» et a -j-c*. Si Ton néglige les quatrième!
sances des rapports j et -, on obtient
Lorsque les rapports -» y ^^ 'n ^^^^ ^^ même on reste simplement, au même degré d'approximation.
572. Méthode de Maxwell. — 0^^i^<l ^^ ^^ut passer de Taclion d'un courant unique à celle d'une bobine, il est quelquefois plus avantageux, au lieu d'employer les quadratures comme dans les paragraphes précédents, d'appliquer la méthode suivante indiquée par Maxwell.
Soil P une fonction de deux variables a et 3, dont les limites sont ±p et =t <y ; on se propose d'en calculer la valeur moyenne
P zzr ^ / rfa / Prfg
Si Po est la valeur de P pour a=r o et &== o, on peut développer celte fonction par la formule de Taylor
Ouand on effectue ensuite les intégrations entre les limites indiquées, tous les termes de degré impair en p et y disparaissent et il reste
ii<^)Mm
Si l'on applique cette formule au premier terme de X dans 'Villon (23), lequel représente l'action sur l'axe d'un cou- ^nl circulaire, pour en déduire la valeur relative à une bobine d'enroulement homogène, on remplacera a par r/-ha, ^par j^-h^, les valeurs de p et <y étant c et b. Il en résulte ^'ors, en posant
^l la valeur de X pour la bobine est î^zNP.
METIIODEH DE MESURE.
En posant ii-' = r'-\-(ù — .r}", les séries filre iléveluppécs en fonction du rapport
r . . dp
p --.-- — 5 (1»! donne -f
On en déduira It-s Vîilcurs succe^ entrent dans l'expression de Xn ; il su le signe de ,r pour avoir celle de X.^.
'■si reprc!
. ■notions de x, il : an terme quelc
La composante X relative i) dra en remplaçant n par ii, limites a — c et a-hr. Si l'i.
sanccs des rapports '■.- et
:>ia l' «st donc
■• fi L \ •» '■ ,^^ jfc ÂMBp produit par ui
..^M^ jHcnuMfont ainsi, s
Lorsque les rnpjiorl reiite simplemonl,
t^MUM. — Dans l'étud m Mrta:nlifr pour la boi atmsMnr l'action e?
d'une bobine. If. ou l'aiguilli *e réduirait «B eràènil. mais on rwûlle est fixe
«II' lavoii n, dont
.i-iiille dont le mi-
■ ;-.l;inr(^ .r du centre.
: <*l » les coordon-
lil t -- î ci — y; nous
- «ninixisantes du cham[) p\ [loinls A| et A^. Comme
l-iK. 'i'i.
-I ir
il di.' signes contraires, le couple C cor-
.. X.H-X2).r~(Yi-Y,)c.
tr. appelant X et Y les composantes du champ >!il les coordonnées sont .r ot^)-, on a
