CHAPITRE TROISIEME
COEFFICIKNTS DINDUCTION
580. Courants parallèles. — Dans un giand nombre de cas* les couranis parcourent des conducteurs à section constanta qui suivent des directions parallèles, soit rectilignes, soit suivant des courbes dont le rayon de courbure est très grand pac rapport au diamètre de la section. On peut alors assimilée leurs diiTérentes pnrties à des systèmes rectilignes et examiiiel le cas de n conducteurs cylindriques de sections S,,Sî, .... S,,
parcourus par des courants 1|, 1^, I^t les uns dans un s
et formant une somme I, les nutres en sens contraire et foP mant une somme égaie — I. Les deux groupes de conducteuM sont reliés à leurs extrt^mités, pour fermer le circuit, mais OB supposera ces jonctions assez éloignées pour qu'elles ne mo« difient pas te champ dans la région considérée.
Quand il s'agit de courants superficiels, leur distribution est la môme que celle de l'électricité dans le problème correspondant d'électrostatique (410).
Considérons, par exemple, deux cylindres à sections circulaires de rayon p et p , dont l'un sert pour l'aller et l'autro pour le retour du courant.
Dans le problème correspondant (120) de deux lignes électrisées parallèles, à la distance -ia, dont la charge par unité' de longueur est d=X, le potentiel sur la surface d'un cylindre d(^^fim par le rapport k^ est
c cylindres étant supposf^s extérieurs l'un à l'autre,
COEFFICIENTS n'iNDUCTlON. 127
\e potentiel est positif sur l'un d'eux et négatif sur lautre ; la différence de ces potentiels est donc pAX.À-^A'^, et le coefficient (le self-induction /, pour l'unité de longueur, est
Les dislances des axes au milieu de la longueur vLa (121) étant \;a^-{-p'^ et yrt^n-p'^, la distance D de ces axes est
D .-\/a' -hp'-h v'a- -f- p'-.
Un déduit de celte relation, comme au n" 122,
2Dva'-f-p=^ = D=*-|-p- — p'^ 'iD\a'-hp'^ -D=^-f-p'-» — p^ 4a^D^ = (D-^p + p')(D-hp-p'){D-p-^p')(D-p-p').
La valeur du produit aaD étant donnée par cette dernière expression, on trouve aisément que Téquation (i) peut s'écrire
Lorsque les rayons p et p' sont égaux, il rcsle
Si les rayons p et p' sont assez petits pour que les carrés ^^ leurs rapports à la distance D soient négligeables devant '^nilé, on a simplement
W l=iZ. — -,.
PP
Lorsque les courants sont homogènes, on peut encore, au nioins comme première approximation, appliquer les consi- ^Jéralions simples appliquées précédemment (402 à 411). Le lux de force moyen émis par un conducteur à section circu- '^ire dans son propre circuit, pour Tunité de courant et
I DE MESUHH.
l'unité de longueur, est ^gol à o,5. Dans la surface inlcrmèdiaire, comptée jusqu'il l'axe du second conducteur, le (lui de force est (316)
Le même calcul étant appliqué au sccoad conducteur, dont le flux de force est de môme sens dans la région considérée, on aura ainsi
En négligeant les rapports des rayons à la distance 3, ou retrouve la formule (y) augmentée de l'unité, conformément à la règle déjà utilisée.
581. Moyennes distances géométriques. — Celte manière de traiter le problème est insuffisante, surtout quand les milieux sont magnétiques. Maxwell a recours aux propriétés gêné-, raies du champ électromagnétique et le calcul renferme alors des grandeurs particulières qu'il importe de défmir.
Supposons qu'un conducteur cylindrique de section S soit parcouru par un courant uniforme I de densité s.
L'action produite par le filet sdS sur l'unité de courant parallèle qui coupe la section au point V. à la distance /■. est
dirigée suivant la droite r et égale à — 2 1 — ^ ■ Cette action a
pour potentiel, à une constante prt's, ■, relatif au courant totjil est
■d^il.r el le potentiel
expression qu'on peut écrire, en posant S£.R^ - / liSl
La grandeur H,, ainsi définie est la moijennc dislance gêomélrifjue du point P il la surface S.
De même, si S, et S2 sont les seclions de deux condui leurs cylindriques panill^Oes parcourus par les courants
COEFFICIENTS d'iNDUCTION. 129
uniformes I| et I2 de densités cti et (72, raction du filet (7| dSt sur
leûletcjrfSQ situé à la distance /-est — ajiffa — ■ et son
potentiel 2!7|(72rfS|éiS2 ii./*. Le potentiel relatif à l'action réciproque des deux conducteurs est Tintégrale de cette expression, ou, en posant
S,S2£.R,.2= /TrfS.éiSa^.r,
^Vi V = 27,7381 S2<Ê.R|.2 = 2l|l2X.R|.2.
La quantité R,.2 est la moyenne distance géométrique des surfaces S, et S2 situées dans le môme plan.
Enfin, si les éléments dSt et dSi appartiennent à la même surface S et qu'on écrive
S=»£.R:= /TrfS,rfS2£.r,
la quantité R représente la moyenne distance géométrique de tous les points de la surface S.
Si Ra.c et Rb.c sont les moyennes distances géométriques de deux flgures Aet B à une troisième C et R(a+^).f la moyenne distance géométrique de la somme des figures A et B à la NsièmCy il résulte de la définition même que Ton a
(A -h B) X. R(a + *).<r = A£. Ra.c H" B£. Rtc '
Celle relation permet de déterminer la moyenne distance géométrique d'une figure à une autre quand on connaît les valeurs relatives aux différentes parties de la première. Nous donnerons quelques exemples de ce problème: ï' Soit X la perpendiculaire abaissée du point P sur la direction d'une droite de longueur a, « la distance d'un élément ds de la droite au pied de la perpendiculaire et sq Celle de l'extrémité la plus voisine. La moyenne distance géométrique du point à la droite est
aL.Rp= Çds£..r= Ç dsZ,^x^-^s^,
,^ £. v/ar2 4- «2 — 5 4- .T arc tg -
^'{ec<r. ei Magn, — 11. 9
Lorsque la valeur de «o est nulle, il reste
£.n/, = i:.V'fl'H-J'
. ,+ arctg-
2° En multiplianl celle expression par atta-, on aura li moyenne dislance géométrique du point au rectangle adrdi une intégration donnera la valeur relative à un reclangle de dimensions finies. On a ainsi, pour le sommet P d'un rectangle dont les côlés sont n et h.
a£. R,, -h 3 = 5l. vV -1- i^ + T
^■tgy
Si le point considéré occupe une position quelconque, oa décomposera la surface en quatre rectangles ayant un sommel en ce point et on fera la somme ou la différence des termes, suivant que le point est k l'intérieur ou à l'extérieur.
3° Le champ produit par un courant uniforme, qui parcourt un cylindre dont la section est une couronne circulaire, est nu! à rinlérieur et en raison inverse de la dislance à l'a« pour un point extérieur.
Il résulte alors de l'équation (4) que la moyenne distance d'un point à une circonférence est égale à la dislance au centre, si le point est extérieur, constante et égale au rayoo si le point est intérieur.
4° Pour une couronne limitée par les rayons a, et a, la moyenne distance d'un point extérieur est encore égale à U distance au centre. |
Si le point est intérieur, la moyenne distance est constantâ et la même que pour le centre, ce qui donne
^(a'-«î)£.R/,= f^''-2v.rdrt.r=-j,^^Çz.r-'^Y/
5" La moyenne distance géométrique d'une couronne à m* figure quelconque est égale à la moyenne distance du centr* à la figure, si celle-ci est extérieure.
i'lndoction. 131
Si la figure est comprise dans la couronne, la moyenne dislaoce géométrique est la mCme que celle du centre à la (igure considérée.
6' Pour un point situé dans un cercle de rayon a, à la dislaace r du centre, la moyenne distance s'obtiendra en considérant le point comme extérieur au cercle de rayon r et intérieur à la couronne complémentaire; on a alors
ce qui donne, pour le centre, Ru = "e~ï ^ o,<Jo66iîfl.
f La moyenne distance géométrique de deux cerrlea exténeurs l'un à l'autre, d'après l'équation (5), est égale & la distance de leurs centres, puisque l'aclioa des courants correspondants est en raison inverse de cette distance.
1° La moyenne distance géométrique d'un point h une droite permet de déterminer la moyenne distance géométrique de tous les points d'une droite de longueur a. ce qui donne
ii = o,a23<'
jj° On a, lie mflme, pour un rectangle de côtés
tl,poar un carré de côté a.
-arc tant; -7 ,
10* La moyenne distance géométrique de tous les points
I d'une couronne de rayons a et a, se déduira de la moyenne
distance géométrique d'un point à la couronne, ce qui donne
Lorsque la valeur >
SI. l{,.
?" En inullijili,moyenne (lisl.iiir.
une inlégralioii .1 dimensions lîni.tangle don! les >
Si le poinl di^coinposrTi en ce poinl .
suivant qm- 3° Le rli;un cvlindi.
nul à riiif pour un |, Il rés[i\' d'un pui; centre, s si le po.
4" IN' moveii (lishuii
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COEFFICIENTS d'iNDLCTION. 133
Le champ produit par un élément de courant arfS, en un
int P situé à la distance /*, est 2 — ;- • Si ce point se trouve
' l'axe des a\ le champ est de direction opposée à Taxe /. D'après les équations (A) du n° 432, la valeur dH du entiel vecteur produit par ce courant est
crrfS didH) r ar
à une constante près, qui disparaîtra finalement par la lition que la somme algébrique des courants soit nulle,
ar la section S,, le potentiel vecteur produit par Tenbledes autres éléments <jrfS| du même conducteur est
Hi= — 2(7| 1 dS[£'.r
terme correspondant de Tintégrale (6) devient, en désiit par R, la moyenne distance géométrique de la section
idérée,
T/Acr.r/S.^: — 2 7? rrfS,ciS;£.r=-2rf£.Ri.
imôme point, la valeur de //2.1 est l'intégrale des termes ifs aux éléments 0-2^82 du conducteur de section Sa, ce lonne
/^o, = — 2 1 (T^rfSaX. /•:= — 2J2 / rfSa'fi.r,
^2.1^1^S|" 2 7,(72 // rfSirfSy -£./• — 2l,l2£. R|.2.
Ton fait le môme raisonnement pour les autres conduc- , en remarquant qu'un terme tel que Iil2^.Ri.2 paraît fois, pour S, et pour S2, il reste finalement
/P = -2ÏIΣ.R, -2i:M2X.RJ.,.
Les rapports des courants partiels au courant total étant déterminés par la loi d'Ohm, on en déduira la valeur de /.
Lorsque les sections sont circulaires, de rayons pi, Pj, ...., la moyenne distance géométrique R1.2 est simplement la distance D,. 2 des centres et £.R, = £.pi — o,25; on a alors
(8) /P:=S-'-2i;rf£.p|— 2SI^l2£.D,.2.
S'il n'existe que deux conducteurs, auquel casl| = — Iî=1, la formule (8) se réduit à
et pour des sections circulaires de rayons p et p', dont les centres sont h la distance D,
Cette expression ne diffère sensiblement de la formule ap' prochée (3) que pour des conducteurs très voisins. Si les sections sont de même diamètre et en contac*^»
D = p-|-p'^9.p et, par suite,
C'est la moindre valeur qui corresponde à un double fil* replié sur lui-môme, comme ceux que l'on emploie pou^ construire des bobines de résistance dont on cherche à diminuer autant que possible l'induction propre.
Lorsque les fils, supposés en contact, sont couverts d'une matière isolante d'épaisseur z, le rayon du métal étant désigné comme précédemment par r, la distance des axes est D = 2 (j-hr-) et l'équation (8)' donne
On diminuerait beaucoup l'induction propre d'un fil double.
COEFKICIEKTS D I^DUCT10^.
rai^nie couvert d'isolant, par l'emploi de lamelles mélalliques trts minces appliquées l'un sur l'autre.
Quand les fils d'une bobine sont ainsi rapprochés au conlacl. chacun d'eux occupant la place d'un carré circonscrit dont le cdlé est a (> + z), la moyenne distance géométrique R I du carré est
