NN'SS
La série est toujours convergente, puisque a'<:^a, et If premiers termes peuvent s'écrire, en posant
.^.-3,-îf.:
+ 0,^34372*11 + i5y- + o,i709oa'[i+28T- + o,i34582'|"+457- + 0.11103 a>|i+(i6Y-
-35f| -63?| -99SI
COEFFIClENT.= D'l^D^iCTIO^. 139
Ijn calcul analogue appliqué aux expressions {35) ou (37) du n* 571 donnerait le coelïicient d'induction miiluelle de deux bobines coaxiales 1res éloignées ou celui de deux bobines concentriques.
Ou peut considérer le problème autrement. Le coefflcient d'induction mutuelle de deux bobines simples C et C (fig. 147) exléiieuros lune i\ l'autre est égal et de
fie. ■'.;.
signe contraire (327) à l'énergie relative de deux groupes de . coucbes magnétiques ,\ et B, A' et B' dont les densités sont upectivement + n et — «, +n' et — n'.
. A et A' les longueurs des deux bobines, j- la distance I bases voisines A et B'. Si on représente par F(.i) lepoten- I moyen de la couclie A, pour l'unité de densité, sur la sur-
. le potentiel moyen de la bobine C sur celte surface est [F(,r) — F(.r-f A|], et l'énergie potentielle de la couche B' par
là la bobine C est — «n'S' [F (.c) — F(.r-+- A)]. I Comme l'énergie potentielle de la couche A' par rapport à » bobine C est aussi -f-nn'S' [I* (.r-^ A') — F(^-(-/i'+ A)], il D résulte, pour l'induction mutuelle,
I (la) it = nn'S'[F(x)~V(s~\-h]-F{j:+h')-i-F{s + h-hh'}].
\ Si les bobines sont concentriques (fig. i48), la seconde C »i'»nl uo plus petit rayon et une longueur moindre, nous
no MÉTHODES DE MESt'BF-.
désignerons par x la demi-différence des longueurs ou la dï] lance des bases voisines B et B .
Le polenliel moyen de la bobine C sur la base B' peut enc être exprimé par — 4""-'' ~«F(j-)-l-nF{A — j-), et l'éoei potentii'lle de la base B' est nnS' [47:.r-+-F{.r) — F{A— j)' Cellede A étantdemême -/i«'S'f4T:(a--HA )+F(j+A')— F(*) il en résulte
(i3) ^=/i/i'S'[4-A'+F(A-jr)+F(A' + .r)-aF(x)].
Pour des bobines concentriques et de raéme longueur, a aurait x = o, k' ^ h et, avec ^' = n'/i' = n'h,
: M^^T.nNS' — 2n/t'S'[F((.) - F(A)] (■« I =.„Ns|, = +i[K(/,)-F(o)]|.
La valeur de F (o) se déduirait de l'équation (19)' du n'î par la règle habituelle, ce qui donne
-[^ir^'J'^CTi
r 4 a»' La valeur de F (A) s'exprimera par l'équation (19)
„, , r a'^ ui a'* II, ~\
Si l'on développe la quantité w^^/a'-t-x" en fonction di puissances croissantes du rapport - (571, 2°), et qu'on hst ensuite v — A apr^s avoir effectué les calculs, il reste
, rt ( I I.l rt= 1.1.3 o'
a.a'7i*^La 2.4 A' A. 4.6' h* "J ' I g'' [a. 3.4 3 .4.5-6 o* 1
*J(M?'FL a ».4 '*> J'
1 o'> ra,î.4.5.6 3.4.5.6.7.8 a" 1 1
COEFFICIENTS d'iNDUCTION. I4l
i-orsiiue les rapports ? et ^ sont de même ordre, la for-
muk réduile aux premiers termes devient
^^* Emploi des intégrales elliptiques. — Le potentiel d'un
* '•"'3nl circulaire en dehors de Taxe est une fonction ellip-
"I"*' des coordonnées, puisqu'il est proportionnel à Tangle
n'^rent de la surface ; toutes les expressions employées
*^uà présent ne sont en réalité que le développement de
, ^ 'Onctions elliptiques, auxquelles on doit avoir recours
^lue les séries ne sont pas assez convergentes.
*-^ coefficient d'induction mutuelle de deux circuits quel-
''^lues « et «' a pour expression générale (328)
-jj
ds ds' cos i
l^our deux cadres circulaires de même axe à la distance .r, ^nlles rayons sont a et a, si l'on désigne par 9 et 9' les fifles que les éléments ds et ds' font respectivement avec un 'in fixe passant par l'axe, on a
r^ = X' -h ^i -h <i ' — 2 rt rt cos (9 — 9 ) , z=z^ — o\ ds =z a do , ds' =:a' d^' ,
La formule de Neumann devient alors
Jo Jo \ a- -i- a ' -i- X' — r>.aa'cos(9 — 9) letle intégrale est donnée par l'expression
16) M=4zs'^'Uk--j\F-]-jE],
18 laquelle F et E désignent des intégrales elliptiques corn-
140 MÉTHODES DE HEBURE.
désignerons par x la demi-difTérence des loDgueu tance des bases voisines B et B'.
Le potentiel moyen de la bobine C sur la base B être exprima par — 4it/iJ" — /iF(j)-f-nF(A — a:), potentielle de la base B' est n/i'S'[4i:j^-t-F(^) Celle de A' étant de même— /in'S'[4i:(x-f-*')-f-F{^ il en résulte
{i3) J/ = /in'S'[4i:A'H-F(A-j:)H-F(A' + x)-
Pour des bobines concentriques et de même aurait .r — o, h' =h et, avec N' = n'k' = n'A,
= 4»«N'S'-an/.'S'[F(<.)-F(/ = aj.N'S'San-îrF(4)-F!.
La valeur de F (o) se déduirait de l'équatioi par la règle habituelle, ce qui donoe
^ ' (4 afl* L 3.4... an
La valeur de F (A) s'exprimera par l'équo'
Si l'on développe la quantité tt=:\/a*^ puissances croissantes du rapport - (571. ^^i ensuite x = h après avoir effectué les ,,,,, ail i.i a' 1.1.3 o*
