o.758é9Si
COEFFICIENTS d'iNDUCTION. 145
On passera du cas de deux cercles à celui d'une bobine et d'un cercle, ou de deux bobines ayant même axe, par la méthode du n** 570. On aura alors, en appelant Mo le coefficient relatif aux cercles de rayons moyens,
Si Mo est exprimé par la formule (i6), on trouve, en tenant compte des relations relatives aux intégrales complètes
dk~k{i-k^) A' ®* âk-k'''^~*^''
¥ VoaVavaoC-^*)'- S)/^'{i-k^y ^J
, . = — == i FI a(i — *=")— -; — -,(2 — A»)
Le calcul se fera plus simplement, au moyen des tables, par la méthode suivante de lord Rayleigh (•).
Si on désigne par /"(a, a\ x) le coefflcient d'induction mutuelle Mo des deux cercles moyens, par N et N' les nombres de spires des bobines, on a
f{a-hc,a\ x)'\-f{a'-c,a\x) \ f{a, a-\-c',:c)-i-f{a,a' — c\x j
Il reste alors à calculer les neuf valeurs de y qui correspondent aux neuf valeurs de la fonction f.
'»; Maxwell, Electricity and Magnetism., 2«^ édition, t. II, p. 320. Électr. et Magn. — ii. '^
On obtient ainsi, en utilisant pour Tintégration par rapp à ç la relation suivante établie par Legendre,
iJf:=.4^2«'sin^a'2(^)"x;(a')X4e)jr'x„(X)^>,
(19) itfrz:47u^^^sin^asin^a^21;,(^!|.i)(^) X;(a')X„(a)X«
Comparant avec 1 équation (17), on voit que le coeffici d*induction de deux courants circulaires, dont les axes coupent sous Tangle 6, s'obtient par la valeur relative a courants parallèles, en multipliant respectivement chacun c termes par le polynôme X„ (6) de môme ordre que celui de ce terme renferme déjà les dérivées.
588. Cadres circulaires voisins. — Lorsque deux cadr circulaires de même axe et de rayons très peu différents so situés dans des plans voisins, on peut utiliser la relatic établie précédemment (407) pour les cadres concentrique à Taide du théorème suivant de Maxwell :
Dans un cercle défini par sa distance x à un point fixe a Vaxe et son rayon a, le fiux de force 9 émanant d'un syslèm quelconque d'aimants ou de courants satisfait à la relation
En effet, si V est le potentiel du système, le flux de force ^'î sur la surface d'une couronne de rayon r et de largeur </rî pour expression
do = — I -^rdrd^ = — rdr 1 -r- rf6,
J àx J dx
rintégralc relative à 0 devant être étendue à la circonfé rence 2^. On a donc sur le contour
ôa~ J ôj: ' da'^~ J ôx J dxda
COEFFICIENTS d'iNDUCTION. 149
?our un accroissement djc de la distance, la variation cor- >pondanle est égale et de signe contraire au flux de force upé par la surface latérale d'un cylindre de rayon a et de uleur dxy ce qui donne
-^dx = +adx I -T—db.
Ox J ôa
ôa^ dx^ J ôx a ôa
On retrouve ainsi Téqualion (140). Comme cette relation est générale, on peut l'appliquer au coefficient d'induction mutuelle d*un système quelconque de circuits par rapport à la circonférence de ravon a.
Pour deux cadres circulaires concentriques dont les rayons
«et a-hc sont très grands par rapport à la distance c qui
les sépare, on a trouvé
Supposons maintenant que les plans des deux cercles soient éloignés d'une distance x très petite, leurs rayons étant a et «■f.v. Le flux de force émis par le second courant dans la Surface limitée au contour du premier n'a plus la même valeur, mais on en aura une expression très approchée en remplaçant la plus courte distance c des deux courbes par sa nou-
^'elle valeur r = \/j:* -f-j^.
On pourra donc représenter le coefficient A/ par une expression de la forme
(2i) Jlf=4-rA£.^4-BL
hs coefficients A et B étant des fonctions de x et 7, dont les Valeurs approchées sont respectivement a et — ar/, et qu'il sagil maintenant de déterminer.
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COEFFICIENTS d'iNDUCTION. 151
relatifs à un élément d.rdrde la section, situé à la distance /•
du point P, est ^-an^nidxdy \^'— ->• ) •
Le llux total relatif à la spire considérée est Tintégrale de celle expression étendue à toute la section w, c'est-à-dire
Pour l'ensemble des spires correspondant à Télément de surface dx dy au point P, le flux a pour valeur f^n^n^ds' dy , Enfin le flux total relatif à la bobine entière, ou le coefficient de self-induction L, est l'intégrale de cette expression étendue à la section o).
En supposant d'abord que la quantité a est une constante, égale au rayon moyen, on peut écrire
i L=^:\T.aFi\nl //// (•^. 2 \d,vd)'dx' dy'
( T^^T.an^nltù'l^Z.ia — a) — ^T.ari\n\ f f j l ^^rdxdydx'dy'.
Comme le produit /i,/î2 0> représente le nombre total N des sjûres, il en résulte, en posant
OJ
•-i!.R ^ fffi\.rdxdfdjc'dy= Cfsi,rdSdS\
Le coeflicient de self-induction de la bobine est donc égal au produit par N- du coefficient d'induction mutuelle de deux cadres circulaires concentriques, de rayon a et a 4- R, ou de cadres égaux de rayon a, ayant môme axe et situés à la dislance R, laquelle est la moyenne distance géométrique de la section de gorge w.
Si la gorge est rectangulaire, de dimensions aZ> et ac, la
quantité entre parenthèses, que nous représenterons par pour valeur (581)
yfb'
2 fc b b cl I
2 Lç2
Le terme complémentaire X, ne dépend que du rapport des longueurs c et i ; il ne change pas quand on permute c deux dimensions et peut s'écrire
i2X,-f-i = o( maretfir — | — aretff/w ) — m^ZA iH ] ^ — r
\ ^m m ^ ) \ m*J mr
Il suffit de connaître les valeurs de X, correspondant à d valeurs de m plus petites que l'unité ; on abrégera beauco les calculs au moyen de la table suivante :
o,5oooo
o,io
o,833ii
Si Ton prend comme point de départ la formule plu
COEFFICIENTS n'iNDL'CTION. 153
(p|rrociiL^e (aa), le coefficient de self-inducLion de la bobine reclangulaire peut se mettre sous la forme
avec ics valeurs suivaates pour le premier terme tle correction :
U valeur de ^a, ne dépend encore que du rapport m el jKiurra se déduire d'une table spéciale :
laSo
o,in
igi6
o.io
3ii66
On aura finalement (')
S90. Bobine de sell-indaction maximum. — On peut alors ! proposer de résoudre le problème suivant: le (il étant ', et la section de ta gorge devant rester semblable à
I') Snris. Sitsb. dur K. Mi. <l. 11'. Wicn, Bel LXXXVllI, p. 120I, 1883.
COEFFICIENTS D iNDL CTION.
Efl second lieu, l'acLion éprouvée par un fil, de la part de ceui qui t'entourent, est plus petite poui' des Tils cylindriques tn contact que pour des fils carrés juxtaposés occupant le m^me volume; en réalité, il suffit de tenir compte des fils les f)lus voisins.
Considérons, par exemple, le fil qui occupe le centre d'un csrré de neuf fils, l'action de tous les autres étant négligée comme insensible. Pour deux sections circulaires, la moyenne distance géométrique est celle des centres ; pour deux carrés voisins parallèles, le rapport de la moyenne distance géométrique à celle des centres est o,9y4'" oi^ i,ooii suivant qu'ils se louchent par un cûté ou un sommet. Pour quatre des lils considérés plus liaut, la moyenne distance géométrique doit donc être divisée par 0,99401 et pour les quatre autres port.ooi I ; pour les huit, pris ensemble, parla moyenne 0,9975 (les lieux facteurs, dont le logarithme népérien est —0,002463. Le produit de ce nombre par 8 étant 0,01971, la correction |iour l'unité de longueur devient finalement
Si M désigne le coefficient d'induction mutuelle Je deu.\ spires dont le rayon est égal au rayon moyen et la distance égale à la moyenne géométrique des distances de tous les points de la section, L la longueur total du fil et N le nombre des spires, le coefficient de self-induction sera finalement
592. Actions réciproques. — Lorsque deux circuits A et A' parcourus par l'unité de courant éprouvent un déplacement Klatif infiniment petit, le travail des actions électrodynamiqnes (327» est égal (1 la variation correspondante dM de leur coefficient d'induction mutuelle. L'un des circuits étant supposé fixe, si l'autre se déplace parallèlement à l'axe des x, tique X soit la composante suivant cet axe de l'action réci-
ii':thodE9 oe mesure.
upposée répulsive, on
sidération di*
Iravail correspondanl.
De même, si C représente le moment du couple de l'actiott réciproque par rapport à un axe, le travail relatif à la rota-J tion du de l'un des circuits autour de cet axe est i
Lorsque les deux circuits sont des bobines de révolution autour du rafime axe, que nous prendrons pour axe des j-, l'action réciproque est parallèle à l'axe, par raison de symétrie;' cette action étant nulle pour une position convenable des deux circuits (la position concentrique, par exemple, pour deux bobines cylindriques), et aussi nulle à une très grande distance, elle passe par une valeur maximum qui correspond
à la condition -r— = o ou ^-— — o.
593. Deux courants circulaires. — Pour deux courants circulaires de rayons a et a' de même axe et de même sens, situés à la distance J-, la valeur de M peut être exprimée en général' au moyen des fonctions elliptiques (586). En tenant compte
des valeurs de -rr- et -r-r-, on trouve que l'action réciproque,
considérée comme attractive, est
Le second membre de cette équation se déterminerait encore par les tables de Legendre. Pour rendre les applications plus faciles, L. Hayleigli ('] a calculé la table suivante pour des valeurs de l'angle f variant de 55° à 70°.
(>) L. Ra»
. Ph. Tr. L. tS. S., t-, CI.XXV, PI II, p. iï5; 1885.
