ES
Epoque de l'élongation.
Position du zéro.
Amplitude
totale.
Les élongations correspondantes dans les deux premières séries donnent, pour la durée de 147 oscillations :
ox [A
Entre les élongations o et 147... 1h43M295,70 Le DUO 22,70 — 3 — 190 22 ,80 — 4 — 151 SPA
La moyenne 1!43M225,54 donne 42°,195 pour la durée moyenne d'une oscillation dans le premier intervalle; on obtient de même 42,176 pour le second intervalle, et 425,159 pour le troisième. La moyenne générale est 42$,1834.
Entre les séries successives on trouve, pour le décrément logarithmique, 0,002689, 0,002813 et 0,002996. Ces valeurs sont légèrement croissantes; les amplitudes diminuent donc un peu plus vite que ne le comporterait la loi de la progression géométrique. On voit d'ailleurs que la position d'équilibre était nettement variable.
La distance de l'échelle était de 4775,9 millimètres. Les déviations étant ramenées à leurs valeurs angulaires, la réduction aux amplitudes infiniment petites par la formule (18) donne, pour l'intervalle qui sépare les milieux des deux séries consécutives,
Élongations. Valeurs de t.
2 ELINRIAO 42%, 184 140 2214270 42 ,191 279 — 420 42 ,196
La moyenne 42,157 représente la valeur de + avec une erreur probable inférieure à 5 millièmes de seconde. L'exactitude n’est pas supérieure à celle que donnaient les observations de Darondeau et Chevalier par une méthode de réduction plus simple.
541. Mesure des impulsions. — Quand on fait agir une force de durée très courte sur un système en équilibre et capable d'exécuter des oscillations, l'étude du mouvement ultérieur permet de déterminer la vitesse initiale du système.
Si le mouvement est sinusoïdal (528), cette vitesse
Tata
Hi OU 0
sera connue par l'amplitude a du mouvement et par la période T des oscillations.
S1 les oscillations sont pendulaires (529), on a
2C Cet = (1 —cosa)=4; sin? »
2T a (21) Uo—p 25in—)
et la période T relative aux amplitudes très faibles se déduit
de la valeur observée T” par l'équation (5).
Dans le cas où les oscillations s’amortissent en restant
isochrones, on aura, pour l’époque t, de la première élonga-
6) wo, nr Ppanctors
di — ae ti sinw(, dette TE ?
S1 l'amortissement est assez faible pour que le carré du rap- PEU.
port — soit négligeable devant l'unité, et qu'on appelle a;
l'élongation suivante, observée du même côté, on peut écrire
a =ae h—a(r—Xt),
U —=HA—VA; (1 + At),
à ETAGE a;=ae #4 —ai(r — 4ht), NU =
(23) m0 (a ne Cr
C'est la correction indiquée précédemment (365) pour le
galvanomètre balistique.
S1 l'amortissement est tel que le mouvement soit insensible
après un petit nombre d'oscillations, on déterminera les pre-
miers écarts @j,/ae, @25... dans les deux sens, à des époques qui diffèrent d'une demi-période. Les expressions générales
donnent alors À
; . RD Qi ae SInO tie He NEMSITE, Oo Uje MP Us Cie EEE
La relation a; a; =a; est un contrôle des observations. Il en résulte, la valeur de + étant donnée par deux élongations successives,
ls & We, 227 AU EE EE" tango? —— —: 0 3 À ÊT À 2T — 9 U—=WVA—= ——— aje* + Tsino
On doit supposer enfin: 1° que le système a déjà un mouvement oscillatoire de vitesse maximum w,; 2° que l'impulsion dure un certain temps; 3° qu'elle se produit entre deux époques t, et# voisines du passage par équilibre.
Quelle que soit la forme de cette impulsion, si la différence des angles correspondants d: — à, —w(t: —t,) est très petite, c'est-à-dire si l'intervalle de temps 0—#% —1#, est une petite fraction de la période T, les équations (13) montrent que l'impulsion totale 5, —wz, est la même que si elle avait lieu + do |
D'autre part, si cette époque moyenne #, est très voisine de celle du passage à l'équilibre, il résulte aussi de l’équation (15) que la variation de vitesse initiale ne diffère que par une quantité du second ordre de la somme wo, +p5=us. Connaissant la vitesse w, par les oscillations primitives et u, par celles qui suivent l'impulsion, on en déduira »,.
Dans les conditions de l'équation (23), à part la variation
à l'époque moyenne {»—
très faible de la période, l’élongation moyenne a; Led ae
Li ba , 4 e » Cest-à-dire la somme
PAR bi — 4 OÉ | de l’élongation primitive et de celle qui correspondrait à
l'impulsion v.
finale est &, +
542. Méthodes de répétition. — Il résulte du même raisonnement que si l’on imprime au système deux vitesses successives # et », de faibles durées par rapport à la période et dont l'intervalle de succession soit de même ordre, la vitesse acquise est simplement la somme algébrique &6 + #5, au second ordre près, comme si les effets étaient simultanés.
Quand on est maître de reproduire le phénomène dans des conditions identiques et alternativement dans les deux sens, comme lorsqu'il s'agit de décharges électriques, on peut répéter l'impulsion à chaque passage du système par la position d'équilibre et obtenir ainsi des déviations beaucoup plus grandes; c’est la méthode de multiplication.
Le système étant lancé avec la vitesse w,, la vitesse de sens contraire, au retour par la position d'équilibre, est
sin(2{, — 9)
RES DE — —2 À) — 7y, uÿ—Uupe 1 He ATV
Une nouvelle impulsion à ce moment donne au système la vitesse wya+uy—us(1 +), de sorte qu'après » opérations de même nature, la vitesse finale est
Uo(1+a+..... Hart) = uG ——:.
En appelant 4, l'élongation qui serait produite par la première impulsion sans amortissement el a, a,,..... an les élongations suivantes, on a aussi
fer SALE 2 RE PIB TTC
a =(asa+ao)a* —=a(1 + a),
On déterminera la raison « de cette progression par les
élongations initiale et finale, ou par deux élongations quelconques 4, et a», qui donnent
aP 1 — api
A DUT CERN La vitesse initiale est alors
MES (1 —a)2" U=V ln OUR — Dr Me Si cette vitesse est assez faible, ou l'amortissement assez grand, pour que l'opération répétée indéfiniment ne donne
pas des élongations exagérées, on arrive bientôt à un régime
définitif dans lequel la déviation est == DELL 0NA
no—=Vb (1 —a)a*.
La valeur de x sera donnée alors par l'étude des oscillations libres à la suite des impulsions.
La méthode de recul a été imaginée par Weber (!). L'appareil étant lancé dans la direction positive par l'impulsion initiale, on lui laisse atteindre une première élongation A,
(t) W. Weser, Abh. der K. Gesell. zu Gôttingen, t. I, p. 349. — Resultate des Mag. Vereins, 1838, p. 98.
MESURES MÉCANIQUES. 97 puis l’élongation négative suivante B' (fig. 136). Au passage de retour par l'équilibre, on donne une impulsion négative et on laisse produire les deux élongations A’ et B. Une impulsion positive est imprimée de nouveau au système quand il revient au zéro, etc. On aura alors
=. HE ES IUE Di
ADR NE 1— ApaX,
ba
a —œa—ba—a(i—c),
b —a'a— aa(i — 2),
a—=a—bx—a(i —a+ ai), PRÉ ; b' b DD
LS TT — 7 — 19 a a a+ a
a= a +ba=a+ba= {a +a + (0 + ba HU NCEE
La raison « et l'amplitude a, seront ainsi déterminées par les distances BB', AA' et A'A,, sans qu'il soit nécessaire de connaître la position du zéro.
Si les opérations sont répétées indéfiniment, de manière à produire un régime régulier, les quatre espèces d’élongations deviennent constantes et l’on a a'—4a,, b'—b.
La méthode de recul ne convient pas lorsque l’amortissement est très faible. Weber et Zôüllner (‘) ont employé,
() Weser et ZôLiner, Berichle der K. S. Gesell., Leipzig ; 1880.
dans ce cas, une méthode mixte, qui consiste encore à donner des impulsions successives de sens contraires, mais qui sont alternativement en accord ou en désaccord avec la vitesse actuelle.
À la suite d'une grande élongation ee À (fig. 137), le système reçoit, au passage par l'équilibre, une impulsion positive, qui réduit l’élongation suivante en C’; au deuxième passage, une impulsion négative produit une élongation moyenne B'et l’oscillation suivante B'B est libre. Au retour, une impulsion positive amène le système en C, puis une impulsion négative produit l'élongation A’. L'oscillation A’A,
est encore libre et les mêmes opérations recommencent.
On a ainsi trois espèces d’oscillations. Si l’on pose 4 —=asa*, les élongations successives deviennent
SUITE / b' — De: AL CÆAX— Gp" Une OR, / V4 b=tbie, C4, DE, ! [ < / d—= ay + Ca, LEA aUX:
Ces observations ne se prêtent pas au calcul du rapport a, qu on déterminera par les oscillations libres ; elles donnent différentes valeurs de 44, parmi lesquelles l'expression
24; = +bat+ce(: —a)=a +b—(b—c)(1 — a),
n'exige pas la connaissance du zéro. Les autres relations peuvent servir de contrôle.
On atteindra encore le régime permanent, ou &, — 4, après un certain nombre d'opérations.
La méthode de multiplication permet de mettre en évidence et d'évaluer des impulsions très faibles. Les deux autres comportent de graves causes d'erreurs qui tiennent à la nécessité de provoquer les impulsions successives à des époques bien déterminées ; elles ne paraissent présenter aucun avantage sérieux sur l'observation directe de la première déviation et des oscillations libres qui la suivent.
543. Mouvement apériodique. — Il reste enfin à examiner le cas où l'amortissement est assez grand pour que le sys-
tème n'exécute plus d’oscillations libres (!), ce qui exige la condition (532)
DOC OUR GE TR Ce
Posant cette fois nt à l'équation qui détermine
les exponentielles peut s'écrire
p?+2ÀoHA—y?—0o,
et la solution de l'équation (8) devient
M art (A'efe-prAertE).,
(24) ( RNA A —yjert+ AR +y)e Jade
Pour déterminer les constantes, nous supposerons qu'à l'époque t=0o on abandonne le système à lui-même sous l'écart « avec une vitesse initiale — », dirigée vers la position
d'équilibre. Ona alors x,—a et (A), = — #,; il en résulte
Po = A — y) +A A+);
a(À+Y)—#5 AO (A)
Ne 2 2Y Étau Le B= Let voler [eh Je re) (24) dx RP P | | OO apeere
Si la vitesse », est nulle, le système ne revient à sa position d'équilibre qu'au bout d’un temps infini en théorie, et pratiquement assez court, sans que l'écart éprouve aucun
changement de signe.
Avec la vitesse »,, le mouvement est encore apériodique,
(4) Dugors-RAymonn, Monatsb. der K. P. Ak. der Wiss., 1869, 1870, 1873.
mais la valeur de x peut changer de signe. L'époque #, du passage à l'équilibre est
__afki—y)—v9 po—a(x —)
ar) wa tr)
e?ti
et l'époque & du plus grand écart en sens contraire
art d A (NE AY po —a(k +)
e?tt2
Le système revient ensuite lentement à l'équilibre. Pour que la valeur de 4, soit réelle, il faut qu'on ait 6 > af +7). Supposons enfin que le système parte de l'équilibre avec une vitesse initiale », ; 1l suffit de faire a —0o dans les équations (24)', en changeant le signe de #,, ce qui donne °0 re re it ere),
dx A
pas FAT EAN ES y+hje-rt PA SN [{r—hert+(y+hecr].
L'époque #, de l'élongation est indépendante de la vitesse initiale, car on a 2+1t Er et ——— ,
