F 1,00360 SG

Les observations sont faites avec un compteur dont on doit connaître la marche, et il ne reste plus à faire que la correction relative à la marche de ce compteur.

Toutes les méthodes conduisent pratiquement au même résultat, mais le tableau des réductions successives, malgré les différences qui tiennent aux erreurs d'observation, a l'avantage de montrer, dans le cas actuel, que la durée réduite des oscillations tend à augmenter; cet accroissement était dù à une élévation de température de l'aiguille oscillante.

S1 la position d'équilibre se déplace d’une manière continue comme il arrive pour les barreaux aimantés, par suite des variations de la déclinaison, on commet à chaque lecture une erreur égale au temps que le mobile met à parcourir l'arc dont

le zéro s'est déplacé, et cette erreur ne peut être évitée qu'en notant chaque fois le passage sur la division qui correspond au zéro actuel. À cet effet, un peu avant l'observalion, on dictera les valeurs de deux élongations de sens contraires à un aide, qui en déduira immédiatement, en tenant compte de l'amortissement, la division qui correspond au zéro, et le pointé sera fait sur cette division.

Cette méthode de correction suppose évidemment que les changements dans la direction d'équilibre ne sont pas sensibles pendant la durée de quelques oscillations.

Enfin on doit mettre à part les mouvements dans lesquels l'action perturbatrice est constante et toujours opposée à la vitesse (534), ou renferme un terme de même nature proportionnel à une puissance paire de l'écart x.

540. Méthode de Gauss. — Le mode d'observation employé par Gauss (!) s'applique à toute espèce d'oscillations, quel

que soit l'amortissement, mais il convient surtout au cas où les oscillations sont régulières et très lentes.

Supposons, pour préciser les idées, que l’on observe l'image d'une échelle dont les divisions sont numérotées à partir d’une des extrémités. Nous désignerons par æ6, t1, x2, les divisions qui correspondent aux élongations successives (fig. 135); les indices pairs se rapportent aux oscillations de gauche et les indices impairs aux oscillations de droite.

(1) Gauss, Resultale aus den Beob. des mag. Vereins, Oeuv. 1837; t. V. p. 374.

Il faut d’abord déterminer la position d'équilibre par les oscillations elles-mêmes, sans attendre que le système arrive au repos. Pour la division p, qui correspond à l'équilibre, on peut prendre la position moyenne des milieux de deux amplitudes successives :

Si cette première approximation ne suffit pas, on obtient une valeur plus exacte en écrivant que trois amplitudes successives sont en progression géométrique et qu'on a

I (= + il; Le Lo + =) Lo +2A1 + Lo

Los Pas Ro ER Ti ———————— EE ——————— 17% —— ; | DEA Lo — P Lo ZX;

X9 La — LA?

Lo + La — 24

L'amplitude moyenne totale des oscillations est

Pour déterminer la durée des oscillations, on fait 7 lectures successives, Zo, Le, Li, Les d'un côté, et r:1, xs, rs, de l'autre, correspondant aux élongations, en notant les époques AO t;, de passage sur le réticule, dans les deux sens, d'une division voisine de p; on observe ensuite plusieurs séries semblables, à différents intervalles de temps.

Chacune des séries conduit à un tableau de la forme suivante, qui donne 5 valeurs moyennes pour l’époque d’élongation, la division d'équilibre et l'amplitude totale :

Lecture Epoque Epoque Amplitude

des du de l'élon- Position du zéro. CS écarts. passage. gation. ne.

Lo l :

2 Es ct Lo 2% Lo Lo + Lo — 2% T'} Re nor = | A 1 ’ 2 À 2 ‘ li Lilo + ds 2Xo—(xi + xs) Lo re CREER PIN ET SUN EN pre 9) Le É À

Soit z l'ordre de l’élongation initiale dans la seconde série, ou la différence des ordres de deux élongations correspondantes. On sait à priori si le nombre » est pair ou impair et la valeur approximative de la durée des oscillations, déduite de la première série, permet de le déterminer sans erreur.

En indiquant par un accent les quantités relatives à la seconde série, la différence des époques des élongations correspondantes dans les deux séries est successivement

lo te pl one 4 eue ML EU 2 2 2, D)

il en résulte, pour la durée +’ d'oscillation relative à l'époque moyenne comprise entre les deux séries, 5 valeurs

I tu +t, Épeis d4 I U+t LU + lo n 2 2 k nî 2) 2 |

On pourra réduire aux oscillations infiniment petites, en faisant la correction de l’angle d'écart aux durées de chaque

iandaies ons 7 0 ; [ Série ———, ————, ...., ou à la moyenne — D) 2 A des durées des oscillations correspondantes dans les séries consécutives.

Enfin, le décrément logarithmique X= relatif aux oscillations

simples se déduira de deux amplitudes a’ et a” séparées par

m oscillations, 1/4 / ! 17 A LL À I a Pi Te D.

a nt &

Si l’on considère la première amplitude «° comme connue exactement et que l'erreur absolue probable soit la même pour toutes les suivantes, on peut se proposer de choisir le nombre » d'oscillations qui donne la valeur de Àr avec la plus grande approximation relative. Désignant par d(à:) l'erreur qui correspond à une erreur da” sur la dernière amplitude a”, on à

Électr. et Magn. — ur.

Le dénominateur du second membre, considéré comme une fonction de &”, est maximum pour la condition

Avec la suite des observations, on détermine le décrément logarithmique, soit par les amplitudes d'une même série, soit par les amplitudes correspondantes de deux séries consécutives, lesquelles sont séparées par 7 — 1 oscillations :

a; a A3 dy, L280 AT LL LL EE Lo; 2 d3 dy ds 4 à I (227 I (22 9 (223 À — DES ee Æ —+L. —+..... +L£. — |; na; 5(n—1)l a, : k

soit enfin, plus simplement, par les amplitudes moyennes a, au, ...Jdessseries Ciitérentes:

La comparaison des oscillations d’une série, ou des oscillations correspondantes de deux séries, permet de vérifier si les amplitudes varient en progression géométrique.

Nous reproduisons l'exemple donné par Gauss lui-même, comme application de la méthode, avec quelques changements dans la disposition des colonnes et en supprimant les dernières décimales qu'on doit considérer comme illusoires. Cette observation se rapporte aux oscillations d’un aimant de 25 livres sous l'influence du champ terrestre.

Les époques observées sont celles du passage du trait 1000 de l'échelle sur le réticule. On a joint au tableau la position du zéro calculée par la formule (20), quoique ces valeurs n'interviennent pas dans les calculs; mais il est nécessaire de s'assurer que la position d'équilibre n'a pas varié de quantités sensibles dans le cours d’une même série, et, par suite, dans l'intervalle de deux passages consécutifs.

Les élongations o et 4 donnent 425,20 comme valeur approchée de la durée de l'oscillation; en divisant par cette durée l'intervalle de la quatrième élongation à la première de la série suivante, on obtient le nombre 146,98 ; cette dernière,

qui est en effet d'ordre impair, portera donc le numéro 147. On opérera de même pour les séries suivantes :

Ordre des élongat.

Lectures.

Epoque du passage.