X+IZ=O

Les deux racines de cette équation sont positives, l’une inférieure et l’autre supérieure à l'unité, et l’on doit prendre la plus petite racine. La valeur de x’ s’obliendrait, de même, en remplaçant ce par cet b par son inverse.

Lorsque les sphères sont d'égal rayon, auquel cas =: et 2 =), On à plus simplement

(5) æ(ce — x) = IF 27—C—\Vt— A4,

En outre, si l'on suppose V, + V;—o, il en résulte

VE 1+x 1+X 2V (5) F = re + A | = Ne ET 7

Pour une même différence V = V, — V, de potentiel, les champs F et F, sont respectivement proportionnels à > ou »1, suivant que les sphères sont à des potentiels égaux et de signes contraires ou que l’une d'elles est au sol. Il est manifeste que l'intensité du champ et, par suite, la densité élec-

trique sont moindres dans le premier cas que dans le second et que leur rapport tend vers la limite 0,5 à mesure que la distance augmente.

Poisson (!) a traité le problème de deux sphères d’une manière générale et donné l'expression de la densité en chaque point en dehors du diamètre commun. Par la même méthode, Kirchhoff (2) a développé les séries y, et by: de l'équation (4) en fonction de la valeur limite x.

Ces séries peuvent s’écrire, en posant

bx CX — 1 JL D To d'où Pi= ———,

1 + x)? I—X AUS CEE 2

| 1 — ( LEE eo tan JR ne > | 1x) [| x —p D Da not |

0) 1)2 NE + p (x + p+1}?

De = —— es de D 2 | I— ZT de “el (8) HD Dr 0 (Ur GHavrp ) nr (1+ x)° I — X? ere rit 7 D nl

deb) " + (r+zx} I— X % 1 — x Hi | Rd alt on” D |

On remarquera que l’une quelconque des fractions comprises dans les parenthèses peut s’écrire

1 — x (: [E =) (1 FES res

(1 Era 54) à 1 — ZA

M. Schuster (*) a calculé une Table de la fonction y, à partir

() Porssox, Mem. de l’Institut, pour 1811, p. 1 et 163. (2) R. Kircunorr, Journal de Crelle, t. LIX, p. 89; 1861. (8) A. ScausTEr, Phil. Mag. [5], t. XXIX, p. 182 ; 1890.

de e — 2,1 ; c'est cette table qui a servi à déterminer le champ maximum F dans les expériences précédentes (780).

Lorsque la distance e des sphères est inférieure à cette limite, les séries ne sont plus assez convergentes; un autre calcul de Kirchhoff conduit à l'expression suivante, que l'on peut réduire à ses deux premiers termes :

Vo 1 e 1e? REV) en ne

Da ro

Le rapport des séries y et y, est égal à l'unité quand la différence c — 2 est très petite et varie d’abord très lentement. Nous avons calculé également les valeurs de 7, qu'il est utile de considérer dans certains cas.