LE AT) ET 1 OV

La valeur de V, ne dépend ainsi que du potentiel V sur la surface et de sa dérivée normale. Il existe d’ailleurs une relation entre ces deux quantités. En effet, on peut encore appliquer l'équation (16) au volume limité par la surface S et la surface S d'une sphère de rayon r très petit ayant son centre au point P, à la condition que l'intégrale du second membre soit étendue aux deux surfaces S et S”.

Dans ce cas, si dS" désigne l'élément qui correspond à l’ouverture angulaire dv, on a dn— — dr', dS'=r'?dw; la partie du second membre de l'équation (16) relative à S' devient

faas+ fs ms = [Véo+r [Ed r'? Fr U0r Or

Quand le rayon 7’ tend vers zéro, le dernier terme s’annule et le précédent devient 47 V,. L'équation (16) se réduit donc à

Ie Use [= as On \r HT RO Comme cette condition est indépendante de la position du

: 0 point P, il en résulte que les quantités V it sont des fonc-

lions l’une de l’autre. Le champ extérieur est donc déterminé quand on connaît le potentiel sur la surface S ou sa dérivée normale, c'est-à-dire la composante normale du champ en chaque point.

Désignons encore par U le potentiel de l'unité de masse située au point P et de la couche qu'elle induirait, si elle était électrique, sur la surface S supposée conductrice et en communication avec le sol, et soit x la densité de cette couche sur l'élément 4S. En appliquant l'équation (15) au volume limité par les mêmes surfaces S et S', on remarquera que,

pour la surface S', la valeur de U tend vers- quand 7° tend *

vers zéro, Ce qui donne

fus = 15% 2d rdv [do on 0r

1} V D as = eve jo Le Ve

Les termes correspondants relatifs à la surface S sont nuls, car la fonction U et sa dérivée normale sont nulles, cette dérivée étant comptée vers l'intérieur ou l'extérieur, suivant que le point P est en dehors ou dans la surface S.

S1 le point P est extérieur, AV — o dans les limites de l'intégration, sauf peut-être sur la surface, mais alors U—o. On a aussi AU—0o dans les mêmes conditions, mais il faut tenir compte de la couche située sur la surface S, où V n'est pas nul, ce qui donne

f Vaud 47 f Vuas.

L'équation (15) devient alors

fvuas—v,;

le potentiel extérieur de l’aimant se trouve ainsi exprimé en fonction du potentiel V sur une surface qui l'entoure

S1 le point P est à l’intérieur de la surface S, on remplacera l'aimant par la couche fictive superficielle ; le même raisonnement s'applique alors sans modification. Quant à la densité auxiliaire w, sa détermination se ramène à un problème d'électrostatique généralement difficile à résoudre; elle est liée,

en tous cas, au potentiel U par la relation

OÙ on