RAT
556. Volume et masse du fil. — Lorsque l’enroulement est uniforme, 2,—m:, on peut considérer chaque fil comme occupant, dans la section méridienne de la gorge, le milieu d'un carré dont le côté est L,.
Le fil nu occupe une fraction 2;77? de la surface du carré et la section totale du fil couvert une fraction n?r(r+z)? de la surface de la gorge. Chacune de ces fractions est maximum quand les fils se touchent : le côté du carré est alors égal au
diamètre du fil et la dernière fraction a pour valeur
Le rapport du volume total du fil à celui de la gorge étant égal à celui des sections, on a, pour des fils en contact,
(») NAT AM EE É ENOEtter  3 P=Ya=FUaf T | (3)  ÿ LZ
Lorsque l'épaisseur z de l'isolant est dans un rapport constant à avec le rayon y du fil, le poids du métal est simplement proportionnel au volume de la gorge.
Lorsque les fils sont en contact et l'enroulement uniforme, on a k,—2(y+32) et, par suite,
LT
La longueur totale L est égale au quotient du volume de la gorge par le diamètre du fil couvert.
997. Résistance. — D'une manière générale, la résistance de la bobine a pour expression
Pour des fils en contact, avec enroulement uniforme,
rt U es Tr y? P az(r+z}r? PURE
Si le rapport à est constant, la résistance est proportionnelle au volume du fil, ou de la gorge, et en raison inverse du carré de la section. La première conclusion est évidente. On peut arriver directement à la seconde en remarquant que, si l'on réduit de moitié le diamètre du fil, la section devient quatre fois moindre et, pour remplir le même volume de gorge, la longueur doit être quadruplée; la résistance est donc multipliée par 16.
558. Surface. — Moment magnétique. — La surface électromagnétique d'une bobine est la somme des projections, sur un plan perpendiculaire à l'axe, des surfaces entourées par toutes les spires; c’est le moment magnétique de la bobine pour l'unité de courant.
La surface d'une spire de rayon 7 est xr?. S'il existe p couches, r, étant le rayon de la première, et qu on représente par r—7,+a celui d'une couche quelconque, on a
nié ZT = pri +2ro2a+ 2.
Le rayon a, du cercle moyen, dont la surface est la moyenne de celles de toutes les spires, est défini par l'équation
N1 Ne + : = ICE PAST de (6) AT HIT — + - P P
D'autre part, le rayon moyen «a donne
La surface totale S de la bobine est égale à Nza? et on peut écrire
Si l'enroulement est homogène, les rayons successifs varient comme les termes d'une progression arithmétique dont la raison est A: et l'on devra donner à la quantité « la suite des NAlÈLTS 0 ie D ane (p— 1)h:. On a alors
SPRL NUE D oh (p—:1)p(2p—1) ; f < 529
Se) PE ( ) D a? Pr :) ( I ) + ET, 1 À re LE ro és P À P P S PEL P 2 p
Il en résulte, en tenant compte de la relation 2c—ph: — 1e
/lo Y a? > œ\? ce? I c? I corn een ME F4 Et Éambsr ta) Mes vos P P # PE s) AnSCE
S1 les spires sont assez serrées pour que le dernier terme de correction soit négligeable, le rayon à, ne dépend que des dimensions de la gorge.
Dans ce cas, pour une gorge donnée, la surface de la bobine est proportionnelle au nombre des spires et, par suite, en raison inverse de la section du fil.
Pour un fil donné et des volumes semblables de la gorge, la surface est, d'une part, proportionnelle au nombre des spires, c'est-à-dire à la section de la gorge et, d'autre part, à la surface du cercle moyen; elle varie donc comme la quatrième puissance du rapport des dimensions homologues.
959. Champ électromagnétique. — Imaginons d'abord que la gorge soit remplie par une masse métallique homogène et le courant réparti uniformément dans la section méridienne ; la densité du courant sera l'intensité par unité de surface.
Supposons maintenant que, par une série de lignes, les unes suivant des rayons, les autres perpendiculaires, on partage la section méridienne en carrés égaux de côté h,; le nombre de ces carrés par unité de surface sera »?. On divisera ensuite la masse métallique en une série d'anneaux de même axe isolés les uns des autres et correspondant aux carrés de la section méridienne ; cette opération ne change rien à la distribution du courant, ni à son action extérieure.
Si chacun des anneaux est parcouru par l'unité de courant, la densité du courant est n° et le champ G en chaque point est proportionnel à »?, c'est-à-dire qu'il varie en raison inverse de la surface des carrés élémentaires.
En remplaçant chaque anneau par un fil qui occupe la partie centrale du carré correspondant, on constituera une bobine à enroulement uniforme. Si chaque fil est parcouru par la quantité d'électricité qui traversait précédemment le carré, la densité du courant nest plus uniforme, mais sa valeur moyenne reste la même, quel que soit d’ailleurs le diamètre du fil.
D'un autre côté, si le courant est réparti uniformément dans la section du fil, son action extérieure est sensiblement la même, que l’on suppose le fil réduit à son axe ou qu'il ait pour diamètre le côté du carré.
De même, la différence des actions exercées par la bobine, quand on y remplace le fil cylindrique par un conducteur à section carrée, est négligeable pour tout point situé à une grande distance relativement au diamètre du fil.
Il en résulte que, pour une gorge donnée et, par suite, pour un poids donné de métal, si le rapport à est constant, l'intensité du champ en chaque point varie en raison inverse du carré du diamètre du fil, ou encore (558) proportionnellement à la racine carrée de la résistance. |
Cette conséquence conduit à une remarque curieuse. Si R est la résistance de la bobine et I l'intensité du courant, l'énergie calorifique W dégagée dans chaque unité de temps est égale à RP. Comme la résistance R est proportionnelle à 2j, Où au carré G?, l'énergie calorifique W est proportionnelle au produit G?1?, c'est-à-dire au carré du champ de la bobine pour le courant I. Il en résulte que si, faisant varier
le diamètre du fil, on modifie l'intensité de manière que le champ reste le même, le travail calorifique de la bobine restera aussi constant (!).
560. Action sur l'axe. — Le potentiel d'un courant est le même que celui d'un feuillet magnétique uniforme de même contour dont la puissance est égale à l'intensité du courant. Le champ magnétique d’un courant circulaire, de rayon r et d'intensité égale à l'unité, en un point P de l’axe situé à une distance x du centre, est (353), en posant u?= 2x? + 7r?,
DD LEE De
HS D TS
L'action du courant par unité de longueur, ou son action spécifique, est donc
Pour une bobine de longueur 2b et de rayon r, recouverte par une couche de », spires par unité de longueur et traversée par l'unité du courant, RP LUE du champ magnctique est (355), en appelant x et £ les angles sous lesquels on voit du point P les rayons RE de la bobine,
G—=oTn cos —cosa DT À @ 1 fr Le Vr?+(xr—b)
On peut, dans cette formule, donner à x des valeurs absolues, plus grandes ou plus petites que #, suivant que le point P est à l'extérieur ou à l’intérieur de la bobine.
Dans le cas d'un enroulement homogène, la couche d'épaisseur dr contient un nombre »,n:dr de spires par unité de lon-
gueur ; l'action de la bobine est alors
a! L b PRE G=ornm [ Ce) a \Vr+(x+ 0) Vrè+(x— 0}
fr G as no +Va ere a EVA" 2+ (x—0}?
272 a'+Va?+{(x+b} a'+Va"?+(x—b}
(1) Marcez Derrez, C. R. de l’Acad. des sc., t. XCIV, p. 431; 1882.
On a ainsi, au centre de la bobine, où x — 0,
a'+Va tt N, a"+\/a"?+b? N
(11) Go=4Trinob£ ———___——— re Ê, ——————__—— —07TFT 4 [ / lo D] a +Va?+b?
Ca +ya?+b? A2 La quantité a, définie par la condition
(12) Rp LCR
/ le 72) A» PTS RE NAE Va'?+ b2?
représente le rayon de la spire d'action moyenne relativement au centre.
Les rayons extrêmes a” et a’ étant égaux à ac, si on
: ; . b c peut négliger les quatrièmes puissances des rapports + et —, a a
il reste simplement
LE 2 hd co À (12) m=afi+s(S-s)].
561. Influence de la gorge (‘). — La longueur du fil étant donnée, ainsi que le rayon a’ du noyau, on peut chercher les dimensions de la gorge qui donne le champ maximum au centre de la bobine, pour un enroulement uniforme, c'est-àdire choisir les quantités a” et » qui rendent G,; maximum.
Au lieu de résoudre ce problème par les méthodes ordinaires des maxima, on y arrivera plus simplement par les considérations suivantes.
Il est évident que, si le maximum est oblenu, l’action spécifique moyenne de la couche extérieure est la même que celle de la tranche latérale, sans quoi il y aurait avantage à transporter les spires d’une région sur l’autre.
Or l’action au centre de la couche extérieure, dont le rayon b
Ho
| Va"? + b?
Comme la longueur du fil est 27a"X2n,b—4ra"n,b, l'ac-
est a”, a pour valeur, d’après l'équation (9), 47,
tion spécifique est — -
(t) W. Weser, Galvanométrie. Abh. der K.G.der Wiss.zu Gôtl., t. X:;1861-1862.
ÿ4 , 94 MÉTHODES DE MESURE.
Une couronne de la couche latérale, comprise entre les rayons r et r + dr, renferme un nombre »,dr de spires ; l'action de cette couche sur le centre est
2 2 $ og We 0 r°dr Nr Ur —— :
2T A, RON Nate 2T 1 £.(r+Wb?r2)— | A ; je à Vb?+r? a
La longueur du fil est | orr.ndr=rn(a"?— a"?), de sorte
que l'action spécifique a pour expression
2 Ë a"2+ a"? + b? 7 a | TEEN URSS DRÉPRIE DER EERR rer :
a+ Va 2+h Va'?+b? Va'?+b2.
En égalant les deux actions spécifiques, on trouve ainsi,
pour la condition du maximum,
Li ENT : 7 le mrr !
,& +Va ? +0? DT EG a
LO) NC = — ——© — —— ——— Qi a'+Va'?+b? oa"\a"?+b? Va'?+p6?
Si l’on y joint l'équation (4), qui donne la valeur de L, on pourra déterminer les dimensions a” et b de la bobine.
962. Bobine d'action maximum. — Sans changer les dimensions de la gorge, on peut chercher encore quels doivent être la longueur et le diamètre du fil, pour qu'avec une source donnée, le champ magnétique soit maximum au centre de la bobine. Il est nécessaire de faire intervenir ici les éléments de la source, qui est définie par sa force électromotrice E et par sa résistance propre R’, en y comprenant la résistance du circuit extérieur.
Le champ du courant au centre de la bobine est
