Are

Xeon —=(—1)": ne k An ee 0:

12019 SM Xon=0, Xi (— 1)". / 2.4...27

Nous reproduirons également les premières valeurs :

XL, X,= 1, Xe = -(3p?—1), NU X3 = © (5p? —3) X= © (Bu? 1) PE | pare M I 5. : : 3 r | 5 < x (7 nt 35m +5). Ab Gien 02 7.9 % a 9 D En dire 10 A D x = (Z i— 9 +), X5—S (214 mm ae te : l'/7.0.11 PPS PE 21 Xi EE Mb ui X5= HIS — op? + Gi,

Le potentiel P peut être représenté suivant que r îe a, par l'une des séries (262)

. \N 2 - Tr .\2n | P=oxa IX T+EX(T) (rex, (2) | (19) es . …

) 1 4 I a D EC paf a\2r+1 \ P— v + —— a — —— —— — re —— C2 | al : BTS 7 (7 1) nee + PH ere D xs (+) |

Pour calculer les composantes (X4, Y,) du champ correspondant, on utilisera les relations

D 7 COS UT —rSIn 0; DIN OT :

RUES Ù, a —1s1N0:

OT ITA ,: JRAEr | Om Or 1—p? dy. 0?z usin0.

CEE St CE O0 Ton OXn 1 1— 2 OXn L.SIn 0 — NS FT ET A | RE mn x?

Ur 1 YO r

Dans le cas de r > a, on aura alors, en tenant compte des relations (22) et désignant par S la surface ra? du cercle,

RAD PR EN AURRT AT HORIEUS EN 1 a\?7 PC a 4° (°) HET nn en (e) [É | DNPE PEONALDC EEE 1.3...(2n— 1); a\2r Ye= PE sin0| XI (2) +... +(—1) Re me( +) |

Pour les points situés dans le plan de la couche, en particulier, auquel cas — 0, la valeur de X, est nulle et les autres se réduisent à

p S | Le 1\? a? fx I 1.3.5::.(22—1) 12 /a\2r ; RS En A EC ER ——— - , SF TU DE EN n + 1 DNA : Lu : S | À FLAG? on—+ 1 pis te 2 /a\2?r NE Al RE CC | {=} $.

RE JOIE n +1 DATE 1

566. Champ d’un courant circulaire. — Le potentiel V d'un feuillet magnétique uniforme, d'unité de puissance, limité au

contour du cercle, ou le potentiel de l'unité de courant qui

ne Q) ADP suivrait le contour (261), est alors égal à — . c'est-à-dire

à la valeur précédemment calculée pour la composante X4 parallèle à l'axe. Les composantes X et Y du champ magnétique correspondant ont alors pour expressions

x — OV EP RROEURE 7 MONO OT TC Her DV PP TO Xe CE TC

On a ainsi, par les équations (20),

EX 9% CA DRE 2 A Par à \ 2? (2.4)?

V=-ory| eu metro |:

TE Me PA

aa. Jar

SX 2: XACILS Je RAR CT et ERT a\?* Ve sin DEEE fe) RER ER Le | mn. Ê 2.4 (® sait à 2.4...(2n+2) male) |:

Dans déplan du courant, 'où-z—=0%et 4 0m 0

et Y—o; suivant que le point est intérieur ou extérieur, la valeur de la composante X se réduit à

er fus (2) + se (EN, # 2 r À

/ SN MEMONEGR 1 F3.5...(on+1)1?/a\??) ee taf) lc ol : $

Lorsque le point est assez rapproché du plan du courant pour que l'on puisse négliger les termes de l’ordre de x* ou, en posant 6 —go°—3, les termes en 2, on peut écrire

: ox «213 325 7° 325? y‘ | X—=X, — uns ae? » ÉREE 8 D — — ?

440 LA CARRE TS S* 55 SE 3.5?7 a!

XX Ur [le AMAR LR LA 72, ; 1 1 22 y? (2 APT H 5 SE

(5) 2T TX} 3 320, y? ROAD ITS Ÿ — . NET Dr be A 6 — — — , | a | 2? ee 4)? a? ps Den e | ÿ LS HOME Ga TR TPE 3.97 a ë = —— 0 — .

A SE on D te Des 2 A PEU

Si l’on borne les séries (23) aux termes du quatrième ordre

de l’ordonnée », en remplaçant les dérivées de « par leurs valeurs, 1l en résulte

28 3 4x?—a? y? SHOT LE ET OT eo te 8 À me Es Room primer 1 6) > CRETE NL A | ui u' 2 ss ( HO ce JMO ar swHr) re Me li Sépreh us u2 | Een LA U>

En écrivant la valeur de X sous la forme 28 2 à

X = © (: +AL+BT), U CES a"

les facteurs À et B sont des nombres dont les

fonction de x ont été représentées sur la figure courbes Aet B.

valeurs en 142 par les

Le facteur A est négatif et égal à 0,75 pour x—o, c'est-àdire que la composante X est un minimum au centre par

rapport au plan du courant. Ce facteur devient nul quand æ=0, a et prend sa valeur maximum 0,6 pour æ—1,22 4.

Le facteur B, d'abord positif, s annule pour les abscisses æ=0,3a et x—1,187a; 1l atteint sa valeur maximum négative quand +—0,586 a, c'est-à-dire au voisinage de l’abscisse pour laquelle le facteur À s’annule. Ce terme de correction est le plus souvent négligeable.

À part les termes d'ordre supérieur au second, les dérivées partielles de ces composantes par rapport à x sont

ox r CR = o7| u3— "us = O6 — | 1 + © — |,

0? À ; 1 ru LES ai—19ar?+8x 721, —2R| U;, Us = |,

dx? ‘ 4 u? u? À u* 2

OY S a?— 4x? )

Mo mi TUE : ER

dx + ; 4 u? u

DATE D PER 5 ST ja? — 4x? ?} Re A é EE — Sd —

La valeur de X va en décroissant d'une manière continue depuis le plan du cercle jusqu'à l'infini. La première dérivée, nulle pour x—0o, est constamment négative ; le point où elle est maximum varie de position avec y, mais reste toujours assez voisin du plan du cercle.

La valeur de Y, nulle pour +—o, atteint son maximum pour 2x—a, puis décroît Jusqu'à zéro. La dérivée seconde est nulle pour x —0o et pour 4x? — 3a?. Cette dernière valeur correspond au maximum négatif de la première dérivée.

567. Potentiel d'une calotte sphérique. — Les propriétés des courants circulaires peuvent encore s'exprimer d’une autre manière par les polynomes de Legendre.

Considérons une couche sphérique homogène S, limitée par un cercle HK (fig. 143) de rayon a et de centre O. Soit C le centre de la sphère, « son rayon, A le pôle de la calotte, et M, un point de l'axe situé à la distance x du centre C.

La distance p—MM, d'un point quelconque M de la surface au point M, s’exprimera, en fonction de l'angle 6 que

fait le rayon correspondant CM avec l'axe de la calotte, par la relation

p°=u?+x?—oux cos.

Suivant que x S u, le potentiel en M, d’un élément 48 de la

surface, situé au voisinage du point M, s’exprimera par l'une ou l’autre des séries convergentes

Fig. 143.

Posant encore — cos et appelant + l’angle du méridien CMM, avec un méridien fixe, on a

dS = u?#sin0 d0 do — — u° du.de.

S1 l’on désigne par + la valeur de l'angle 6 relative au contour HK, le potentiel P, de la calotte au point M, s'obtiendra en intégrant les expressions (23) de o à 27, par rapport à », et, par rapport à p, de 1 à pm —cosc. Il en résulte

8 4 1 x? 1 Pres asu| | du+E Xdu+ f X: du + … | te [42 {L LES te Ê u* Ê u CA 11 LS % mm > du+i [ X, du. + — X° du + | u TL) v XL Ju

La relation (21) permet d'éliminer toutes les intégrales. En se rappelant que la valeur limite de & est cosa, on aura

i X I—UW,, LA US É Po=oru|1—u+? Î X,(2)+ — Û X: (2) + | | il Lil u? j (28) | L? ut1—v* u? 14° :

= or —| 1 p+ TX, (a) + — XI + | x LH Ma TER O

568. Feuillet sphérique. — Le potentiel V, au point M, d'un feuillet magnétique uniforme de même surface S et de puissance égale à l'unité, ou de l'unité de courant qui suivrait le

contour HK, est égal (261) à — =" un On obtient ainsi

/ METRE A been RES dr . Xi(a) ++ +(7) | a x (a)

( ) re l DNA 7 8 =or(i wi x: M Se pa É x, (a) |