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On en déduira, par le théorème de Legendre (262) la valeur du potentiel V en un point situé à la distance r du centre C de la sphère, dans une direction qui fait l'angle 0 avec l'axe du système. Remplaçant dans les expressions (29) la quantité x par sa valeur cos, il en résulte

Ni. St rene [EX GX (8) , +i(7) X,(2) X, (9) | |

710 TEE ; | I u\rti., ; rente en XA (2) XA (0) |:

La première série est convergente pour les points dans l'intérieur de la sphère (r 4) et la seconde pour les points extérieurs. Sur la surface même, les deux séries ont la même valeur si 0 => «, c'est-à-dire si le point considéré est en dehors de la surface S du feuillet. Pour 0 < 4, c’est-à-dire sur le feuillet lui-même, la différence des deux séries est égale à 47.

L'avantage de ces nouvelles formules, pour certaines applications, consiste à rapporter le potentiel d'un courant circulaire à une origine quelconque C située sur l'axe de symétrie.

Quand on fait u — a et sina— 1, auquel cas le point C coïn-

cide avec le centre O du cercle, le polynomes X, (x) ont des valeurs très simples (565) et on retrouve la formule (25).

969. Champ d'une bobine simple. — Le champ d'une bobine cylindrique de longueur b, comprenant » spires par unité de longueur et parcourue par l'unité de courant, est égal à l'induction d'un cylindre aimanté uniformément (354), dont l'intensité d'aimantation serait ».

S1 le point considéré est extérieur à la bobine, le champ est le même que celui de deux surfaces magnétiques À et A° de densités constantes +7 et —n qui couvriraient les bases.

Les quantités P, X4 et Y, données par les équations (19) et (20) sont des fonctions de x que l'on peut écrire

Pre), mani + als Ya=2r/i(x).

S1 l’on reporte l'origine des coordonnées au centre de la bobine, on devra y remplacer x par x — b pour la surface A, et par x + b pour la surface A’. Cette dernière étant négative, le potentiel extérieur de la bobine et les composantes du champ sont

Pour l'intérieur, le champ est la résultante de la valeur 47n qui conviendrait à une bobine illimitée (355) et du champ produit par les bases. On reconnaîtrait encore aisément que les expressions (31) conviennent aux deux cas, suivant que x est plus grand ou plus petit que b.

De même, les expressions (20) sont des fonctions des variables r et 0 que l’on peut écrire

Xa—259(r; 0), 29.227; 6).

Désignant par r' et 0° les valeurs qui correspondent à la couche négative, on aura

\ X=o2nS[o(r,0)—oi(r,0")],

( 2) | Y—onS{a(r,0)—9 ga ( (r,9°)].

Il est clair que gi(r,8)—=—#i(r, 7 —0) et oo(r,0)—=#2(r,r —0). Pour un point situé à la distance r, dans le plan moyen de la bobine, la composante Y est nulle et

Xo=— 4nS 9, (ro, 06).

Lorsque l'angle 6, est très grand, c'est-à-dire le point très éloigné par rapport à la longueur 24 de la bobine, la valeur

; FCO 0, b ; de o1(ro; %) se réduit à = 35 il reste alors 2,7% 2 7 0 0 ; 2bnS NS Xo CT 9 mis 3 6 ro

Les expressions (32) ne conviennent pas pour le champ intérieur, parce que le rayon vecteur 7 n'est pas toujours supérieur au rayon à.

570. Bobine à plusieurs couches. bobine simple de rayon r, en posant

Si l’on considère une

Bt (e— D, re + (+)

et remplaçant les dérivées de « et # par leurs valeurs, les composantes (31) du champ deviennent

è É= LD 1e —) Gi Xi 7 Fe + — on

(2 u AG 7h = x ARS 0) EP DA PES re Fr | ee Er 24e Jet Oe+e | HUE APRES AC p7 ff

Pour une bobine d'épaisseur dr, dont l'enroulement est homogène, on remplacera dans ces expressions x par nn: dr. L'intégration par rapport à r, entre les limites & et a”, donnera ensuite les composantes X et Y de l’action magnétique d'une bobine d'épaisseur a°— a.

Si on représente ces composantes par