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sances des rapports + et —, on obtient a

LOUP Ur LE 1 C ne x? | es Vas: ill ES 21 — RS 10 000 DUT. b? \

as et ” sont de même ordre, il [42 23

reste simplement, au même degré d'approximation,

X = Li

Lorsque les rapports

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| = D E pe

SSI CIRE Q S| 1% RE, to LATTES — D'I oO | À 2 LA 12 pe ES al SO à SG 12 © LL 2 EE)

572. Méthode de Maxwell. — Quand on veut passer de l'acion d'un courant unique à celle d’une bobine, 1l est quelquefois plus avantageux, au lieu d'employer les quadratures comme dans les paragraphes précédents, d'appliquer la méthode suivante indiquée par Maxwell.

Soit P une fonction de deux variables « et 6, dont les limites sont Ep et <q; on se propose d'en calculer la valeur

moyenne .… [ Cry Fra PU J Fat RAR P EE ADO: due.

Si P, est la valeur de P pour «= et f—o, on peut développer cette fonction par la formule de Taylor

)P 2 /92 0@ }o He YA E CNE

Quand on effectue ensuite les intégrations entre les limites indiquées, tous les termes de degré impair en p et 4 disparaissent et 1l reste

DES D alt LS 2 P | P=Po+ |? Ce) +3 ( 0

» | 2 CAP ee 0 E01P [aiP\ nie a Pen ee | or nes

S1 l’on applique cette formule au premier terme de X dans l'équation (23), lequel représente l'action sur l'axe d’un courant circulaire, pour en déduire la valeur relative à une bobine d'enroulement homogène, on remplacera & par a+, x par x+f, les valeurs de p et q étant c et b. Il en résulte alors, en posant

Dauer aps (eur

Fe a? (Az —- a?) b? 9x'—11a?x°+oat ç?

ES ms SRE LE

au a? Ou‘ a?

et la valeur de X pour la bobine est »7NP.

Pour un point situé en dehors de l'axe, si l’on s'arrête aux termes du second ordre en >, il suffit de considérer comme constant le second terme de la première équation (23). La valeur relative à la bobine est alors

sh Ft gs L EE Au 513. Valeurs moyennes. — Imaginons que, dans un sys-

tème de révolution autour d’un axe, on considère la valeur moyenne que prend une fonction U sur la surface d'un cercle de rayon y ayant même axe que le système.

Si la fonction U en un point quelconque est représentée par une expression de la forme

U= A, + A,y7+A2)° a ES + A," ;

dans laquelle les quantités À sont des fonctions de x, il suffit de remarquer que la valeur moyenne d'un terme quelconque sur le cercle est

La valeur moyénne de la fonction U est donc

U» = Ao + 2 (a g+ a+ …" LA? 11 ):

3 À nie

Les expressions précédentes détermineront ainsi, soit la valeur moyenne du potentiel d'une surface magnétique, soit celle de la composante axiale du champ produit par un courant circulaire ou par une bobine.

5714. Action sur une aiguille aimantée. — Dans l'étude des propriétés du galvanomètre, en particulier pour la boussole des tangentes (363), nous aurons à considérer l’action exercée sur une aiguille aimantée par le courant d'une bobine.

S1 le champ de la bobine était uniforme, ou l'aiguille infiniment petite, l'action électromagnétique se réduirait à un couple ; il n'en est pas de même en général, mais on peut toujours supposer que le centre de l'aiguille est fixe et ne tenir compte que du couple directeur.

Soit BB° (fig. 144), un courant circulaire de rayon a, dont le centre est en O, Ox son axe, A: A, une aiguille dont le milieu P est sur l'axe de la bobine à une distance x du centre. Appelant 2/ la longueur de l'aiguille, x +3 et > les coordonnées du pôle A,, celles du pôle A: sont x —35 et — y; nous supposerons ces pôles égaux à l'unité.

Désignons par X,, Y, et X:, Y, les composantes du champ du cadre, pour l'unité de courant, aux points À, et A:. Comme

les pôles À, et A, sont de signes contraires, le couple C cor-

respondant est (le = (X; SE X»)Y Te (Yi ÆÆ Y:) ô.

D'un autre côté, appelant X et Y les composantes du champ au point À, dont les coordonnées sont x et >, ona

D LE etc La Pom jdn ax, à dx 1.2 0x? 1.2.9 01? 115) 4 02! 3

NU RAA MEN RO à ee # TES :

Les valeurs de X: et Y, se déduiraient des précédentes en changeant le signe de à; il en résulte

118 MÉTHODE SD EMESURE.

Les équations (23) donnent, en bornant le développement aux termes du 5° ordre en ? et »,

En appelant 2 l'angle que fait l'axe magnétique A,A, avec le plan du courant, on a è—/sina et 7 —/cos a.

Comme le produit 2/, qui vient en facteur commun, représente le moment magnétique » de l'aiguille, il en résulte

Ed AS A L DATE É D SiNn2œ-—-1. I1—14sin?24—+-921S1In% (41) Comm 008 a] te En RE 7 4 04 Quand on fait x —o, c'est-à-dire quand le milieu de l'aiguille est au centre du cadre, le couple se réduit à

2T M COS & De a 2 5 ji (nd sinto) + (1 rAsintao1 sind) |

Lorsque le cadre est formé par une bobine à gorge rectangulaire, 1l faut remplacer le terme principal 27: par la valeur de G que donne l'équation (10). Quant aux termes de correction compris dans la parenthèse de l'expression (41) il suffira en général, à moins que l'aiguille n'ait une longueur notable par rapport au diamètre du cadre, de prendre pour les quantités a et x les valeurs qui correspondent au rayon moyen de la bobine.

Si l'aiguille, supposée symétrique, ne peut pas être réduite à deux pôles, il est facile de voir que l'on doit remplacer les

s : Dre DIT ni facteurs /? et [* par DT LI PEU désignant la masse ma- A \ 02 \

gnétique située à une distance À de l'axe de rotation.

Le terme principal, dans l'expression du couple, représente le moment de l’action que subirait l'aiguille dans un champ uniforme dont l'intensité serait la même qu'au point P.

Le premier terme de correction dans la parenthèse est proportionnel au facteur (1 — 5 sin?). Ce facteur est positif et égal à l'unité pour 4 — 0; il s'annule pour 5sin?a—1 ou 2tanga—1, c'est-à-dire pour un angle de 26°4'. Il devient ensuite négatif et atteint la valeur 1,5 pour a — 45°.

Le second terme, proportionnel à (1 — 14sin?x+°21sinta), est nul pour à — 4° 4o' et «— 35° 49. Ce facteur est positif et égal à l'unité pour « — 0, passe par un minimum égal à — . , vers 19°28', et reprend la même valeur positive vers 43° 36”. Dans la plupart des cas, ce terme sera négligeable.

575. Bobine de Gaugain. — Différents artifices peuvent être employés pour faire disparaître le second terme de l'expression (41) du couple; dans ce cas, l'effet est sensiblement le même que si le champ était uniforme.

Une première méthode consiste à disposer les expériences de façon que l'aiguille fasse toujours avec le cadre un angle voisin de 26°, qui rend le facteur (1 —5 sin?) très petit.

Un autre moyen est de placer le centre de l'aiguille à une distance égale à la moitié du rayon du cercle, 2x — a, condition qui annule le facteur w:,.

Gaugain avait trouvé par expérience (') que, dans un galvanomètre ainsi constitué, la tangente de la déviation est très exactement proportionnelle à l'intensité du courant, c'est-àdire que le couple est proportionnel au cosinus de la déviation. Partant de cette remarque, il avait construit des bobines ayant la forme d'un tronc de cône tel que la tangente du demiangle au sommet fût égale à 2. Si on place le centre de l’aiguille au sommet du cône, la condition précédente sera satisfaite pour toutes les spires, mais cette disposition présente de grandes difficultés pratiques pour l’enroulement du fil et le centrage de l'aiguille. Il est plus avantageux de combiner des bobines à section rectangulaire de manière à réaliser un champ très sensiblement uniforme.

516. Cadres de von Helmholtz. — Si l'on considère deux circonférences B, et B, (fig. 145) de même rayon r, ayant même axe 0,0, et parcourues par des courants parallèles, on

1) GAUGAIX, Comptes rendus de l’Acad. des sc., t. XXXVI, p. 191; 1853. I ( ;

voit aisément, par raison de symétrie, qu’au point O, milieu de la distance O,0:, la composante X parallèle à l’axe est un minimum où un maximum relativement aux points situés sur l’axe, ou dans un plan perpendiculaire à l'axe, et que la composante Y est nulle dans le plan perpendiculaire à l'axe qui passe par ce point O. Le champ est donc sensiblement uniforme au voisinage du point O, et le couple produit par les deux courants, sur une aiguille aimantée située dans cette région, est sensiblement le même que si l'aiguille était cen-

trée ; on supprimera ainsi une difficulté de réglage.

Fig. 145.

En outre, si la distance des cadres est égale au rayon 7, les dérivées de « deviennent

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