CHAPITRE TROISIÈME
580. Courants parallèles. — Dans un grand nombre de cas, les courants parcourent des conducteurs à section constante qui suivent des directions parallèles, soit rectilignes, soit suivant des courbes dont le rayon de courbure est très grand par rapport au diamètre de la section. On peut alors assimiler leurs différentes parties à des systèmes rectilignes et examiner le cas de 7 conducteurs cylindriques de sections S,,S:, .... S,, parcourus par des courants [;, L, ...….. l,, les uns dans un sens et formant une somme I, les autres en sens contraire et formant une somme égale — I. Les deux groupes de conducteurs sont reliés à leurs extrémités, pour fermer le circuit, mais on supposera ces jJonctions assez éloignées pour qu'elles ne modifient pas le champ dans la région considérée.
Quand il s'agit de courants superficiels, leur distribution est la même que celle de l'électricité dans le problème correspondant d'électrostatique (410).
Considérons, par exemple, deux cylindres à sections circulaires de rayon + et »', dont l’un sert pour l'aller et l’autre pour le retour du courant.
Dans le problème correspondant (120) de deux lignes électrisées parallèles, à la distance 24, dont la charge par unité de longueur est +X, le potentiel sur la surface d’un cylindre défini par le rapport #? est
/ r s 9 VS RE 2 À 2, K2 r
Les deux cylindres étant supposés extérieurs l’un à l’autre,
COEFFICIENTS D INDUCTION. 127 le potentiel est positif sur l’un d'eux et négatif sur l’autre; la différence de ces potentiels est done 2x £.424'7, et le coefficient de self-induction /, pour l'unité de longueur, est
{) Joe. re 0e le+Vat+p!) a+ Va? + p"?).
PP
Les distances des axes au milieu de la longueur 24 (121)
étant Va?+ 9? et Va? +p'?, la distance D de ces axes est D = Va? + p? + Va + p"?.
On déduit de cette relation, comme au n° 122,
LONGER DES CESCE ONLD Va Pie DA nn RAD = DES CR DES SPORE IDE RE 0°}.
La valeur du produit 24D étant donnée par cette dernière expression, on trouve aisément que l'équation (1) peut s’écrire
. D—s—5?+oaD (1) = 2 £, —————.
[/4 D? — 2 0? + DYD?— 40?
S1 les rayons » et p sont assez petits pour que les carrés de leurs rapports à la distance D soient négligeables devant l'unité, on a simplement
(2) la Li
Th
Lorsque les courants sont homogènes, on peut encore, au moins comme première approximation, appliquer les considérations simples appliquées précédemment (402 à 411). Le flux de force moyen émis par un conducteur à section circulaire dans son propre circuit, pour l'unité de courant et
l'unité de longueur, est ègal à 0,5. Dans la surface intermédiaire, comptée jusqu'à l'axe du second conducteur, le flux
de force est (316)
Le même calcul étant appliqué au second conducteur, dont le flux de force est de même sens dans la région considérée, on aura ainsi
(3) RQ Dee
she
En négligeant les rapports des rayons à la distance à, on retrouve la formule (>) augmentée de l'unité, conformément à la règle déjà utilisée.
581. Moyennes distances géométriques. — Cette manière de traiter le problème est insuffisante, surtout quand les milieux sont magnétiques. Maxwell a recours aux propriétés générales du champ électromagnétique et le calcul renferme alors des grandeurs particulières qu'il importe de définir.
Supposons qu'un conducteur cylindrique de section S soit parcouru par un courant uniforme I de densité 5.
L'action produite par le filet s4S sur l'unité de courant parallèle qui coupe la section au point P, à la distance r, est
ane ds à dirigée suivant la droite r et égale à — 25—. Cette action a Le 7ù
pour potentiel, à une constante près, 254$ £.r et le potentiel relatif au courant total est
V=—= vs [ase.r,
expression qu'on peut écrire, en posant S£.R,— f as Sn
La grandeur R, ainsi définie est la moyenne distance géométrique du point P à la surface S.
De même, si S, et S, sont les sections de deux conducteurs cylindriques parallèles parcourus par les courants
uniformes I, et I, de densités 5, et 5, l'action du filet co, 4S, sur N Gi ’ * . dS d D]
le filet 452 situé à la distance r est — 26,62 CRE et son
potentiel 26,5: dS,dS; £.r. Le potentiel relalif à l'action réci-
proque des deux condugieurs: est l'intégrale de cette expres-
sion, OU, en posant
pu so di tie £.
(5) V5 von R 2 56 RAA At 1.2e
La quantité R,: est la moyenne distance géométrique des surfaces S, et S: situées dans le même plan.
Enfin, si les éléments dS, et dS, appartiennent à la même surface S et qu'on écrive |
s£.R= /| HS AS tar,
la quantité R représente la moyenne distance géométrique de tous les points de la surface S.
Si Ru et R; sont les moyennes distances géométriques de deux figures A et B à une troisième C et R&+4,.. la moyenne distance géométrique de la somme des figures A et Bà la troisième, il résulte de la définition même que l’on a
(A + B) AU R {a+ 6).c EACH E RER
Cette relation permet de déterminer la moyenne distance géométrique d’une figure à une autre quand on connaît les valeurs relatives aux différentes parties de la première.
Nous donnerons quelques exemples de ce problème:
1” Doit æ la perpendiculaire abaissée du point P sur la direction d'une droite de longueur a, s la distance d’un élément ds de la droite au pied de la perpendiculaire et s, celle de l'extrémité la plus voisine. La moyenne distance
géométrique du point à la droite est
at.R,= f dt.r= | des. es, LEE S So+a LA Ry=|s£. Vz? EN SL Tareiss 2 .
Se
Électr. et Magn. — 1. 9
Lorsque la valeur de s, est nulle, il reste PC TL [42 CARPE è 2— 1] Be TD 1 Va me De pt pe
2° En multipliant cette expression par adx, on aura la moyenne distance géométrique du point au rectangle adx et une intégration donnera la valeur relative à un rectangle de dimensions finies. On a ainsi, pour le sommet P d'un rectangle dont les côtés sont a et b,
