LAISSES LT

Sur la section S,, le potentiel vecteur produit par l’ensemble des autres éléments 5 4dS; du même conducteur est

Feeds 2 fasier

et le terme correspondant de l'intégrale (6) devient, en désignant par R, la moyenne distance géométrique de la section considérée,

fHsdSi=— as fasidsie.r—216e.R

Au même point, la valeur de Æ, est l'intégrale des termes relatifs aux éléments 5,4S, du conducteur de section S>, ce qui donne

Hi fadSit.r= 2e | asser,

fr a4S,=— 210 || dS; le CA CAP ee A ER EE ae

Si l’on fait le même raisonnement pour les autres conducteurs, en remarquant qu'un terme tel que I, 1£.R;,2 paraît deux fois, pour S, et pour‘S:, il reste finalement

(7) Hi—=—22I2£.R,; —221,L£/R?,.

Les rapports des courants partiels au courant total étant déterminés par la loi d'Ohm, on en déduira la valeur de L.

Lorsque les sections sont circulaires, de rayons p,, po, ...…., la moyenne distance géométrique R,: est simplement la distance D,, des centres et £.R,—£.0,—0,25; on a alors

S'il n'existe que deux conducteurs, auquel cas 1, —— 1: —1T, la formule (8) se réduit à

(9) [ — Res

.', dont les

et pour des sections circulaires de rayons p el centres sont à la distance D,

(8) ju ARR e

He)

Cette expression ne diffère sensiblement de la formule approchée (3) que pour des conducteurs très voisins.

Si les sections sont de même diamètre et en contact, D=p+p —2p et, par suite,

[Tr 2 E 4 6)5926:

C'est la moindre valeur qui corresponde à un double fil, replié sur lui-même, comme ceux que l'on emploie pour construire des bobines de résistance dont on cherche à diminuer autant que possible l'induction propre.

Lorsque les fils, supposés en contact, sont couverts d'une matière isolante d'épaisseur z, le rayon du métal étant désigné comme précédemment par y, la distance des axes est D — 2 (> +2) et l'équation (8) donne

On diminuerait beaucoup l'induction propre d'un fil double,

même couvert d'isolant, par l'emploi de lamelles métalliques très minces appliquées l’un sur l’autre.

Quand les fils d’une bobine sont ainsi rapprochés au contact, chacun d'eux occupant la place d'un carré circonserit dont le côté est 2(y7+ 2), la moyenne distance géométrique R du carré est

LR'=£L.2(y +23) —o0,80508—2£. (y +z) —0,11194.

Toutes choses égales, l'excès du coefficient de self-induction produit par l'emploi d'un fil couvert à section circulaire, par rapport à un fil carré nu qui occuperait le même emplacement est, par unité de longueur,

[ER —LRI=a| 24 —o, 11196 | =] 2.2 E4+0, 13806 |:

983. Milieux magnétiques. — Supposons enfin que les conducteurs aient des perméabilités magnétiques 1, po, et soient placés dans un milieu de perméabilité y. Les valeurs de ZZ,, ..…., relatives à l’action réciproque de deux conducteurs différents, doivent être multipliées par la perméabilité du milieu dans lequel elle s'exerce.

Les sections étant supposées circulaires, le champ magnétique dans le conducteur S, à la distance r du centre est2rco,r, l'induction 27ru5;r et l’on a

H=C—2Tu,0, JL rdr=C+Tr tu oi (pf — r?).

P1 Le potentiel vecteur devant être continu, la constante C représente la valeur —2p1,£.0,, qui correspond à la surface, dans le milieu extérieur, ce qui donne

H,=—op1,£.0, —+ M4 EF (: +7) ,

Il faut ensuite multiplier cette expression par o,dS, et

l'intégrer pour toute la surface S, ou, ce qui revient au même,

multiplier par 5, S,=1I, la valeur moyenne de 7, relative à cette surface.

Comme la valeur moyenne de r? est #1 » 1l en résulte

fasas —= — 29 [°£L. bp; Es

, tWl+pl

COLE —92po21l2£.p; —2om2l;1:2£.D?,.

Pour deux conducteurs de perméabilités & et y’, 1l reste

TE 2 s [— LM a } . ——’°="* (9) a + 2 bo £ =

Toutefois, cette expression de Maxwell ne paraît pas suffisante lorsque la perméabilité est très grande, comme pour le cas du fer, parce que les conducteurs s’aimantent par le passage du courant et qu'alors les lignes de force ne sont plus tangentes à leur contour en tous les points.

Si l’on fait =, — 1, c'est-à-dire si l’un des conducteurs est seul magnétique, on aurait, d'après M. Potier (!),

l — tan mo(i—e)e 7.

2 pe

expression dans laquelle d désigne la distance du centre O de la section du premier conducteur au point conjugué du centre O' de la section du second par rapport à la circonférence de rayon &.

La correction que l’on devrait ainsi apporter à la formule (9) est très notable, car on a, en tenant compte de la relation de conjugaison

De D?

d'D—=LRA0n FAC JR PRE: D?

2 ER : p°

Dans le cas de rayons égaux, le dernier terme est 24 fois moindre que le terme correspondant de (9). L

(1) A. Porter, Traduction franc. de MAxwezz, t. II, p. 372; 1889.

084. Induction mutuelle de deux cadres circulaires. — Nous supposerons que le milieu n'est pas magnétique et nous négligerons d'abord l'épaisseur des fils. D'une manière géntrale, si l'on considère deux circuits plans de surfaces S et S' et que X,, soil la valeur moyenne de la composante normale à la surface S' du champ produit par le circuit S, pour l'unité de courant, le coefficient d'induction mutuelle est

Les formules établies dans le chapitre précédent pour le champ magnétique d’un courant circulaire (566) permettront ainsi de traiter le cas de cadres circulaires.

Considérons deux circuits circulaires et de même axe, de rayon a el a’ et à la distance x.

D'après les équations (23) et la remarque du n° 578, on a

- 19 = à ar Ur AE À = DU Us SX 9 . & É bielsre é , DIN PRE ER S 19 1% — HEC: (TS Us M=92xS'| us — — — :

ÉD PMP RUE 4

DIM u? (2.4) u' ui

ee | 3 4Ax?—a? a'? 3.5 ‘'at— 15a2x2+ 87 a | I : à

De même, les différentes valeurs obtenues pour les composantes du champ des bobines donneraient directement l'induction mutuelle entre ces bobines et un cadre circulaire.

585. Deux bobines de même axe. — Connaissant le flux de force r>?2X, d’une bobine sur un cercle coaxial de rayon >, on en déduira l'induction mutuelle de deux bobines.

Si l’on distingue par un accent les données relatives à la seconde bobine, le flux total émané de la première et qui traverse les différentes spires de la seconde, s’obtiendra en multipliant l'expression précédente par x, nr, dx dy et intégrant ensuite entre a'—c' et a'+c" pour y, x — b" et x + b', la

valeur finale de x désignant la distance des centres des deux bobines. On aura ainsi

ME ne 1f EX LULU

Supposons, par exemple, que les dimensions des gorges et la distance x soient telles que l’on puisse négliger les qua- 4 ; CE OMC ONE trièmes puissances des rapports —; —; —; — et —. dd «a 4 «à a La valeur de X, se déduira de l'équation (34) du n° 571 et les intégrations ne présentent aucune difficulté. On trouve alors, en appelant N et N° le nombre de spires des deux bobines, S et S’ les surfaces relatives aux rayons

moyens, L et L’les longueurs des fils, et posant

NN:SS! a’? N? L’?

ue ShriNNee re Que A LEE TN NOTE Weil TFC ARC b+b?+3x?

nr re Ti 19 Œu 2 M, AN CEE 2 a?

DT RU NN DDR ET le. +) 2,22 1q? 2 IA 02000: NN (ui) D | ,56fe, c'è\ 578 — | 145 |— =) < J(2. 42 El) D,3\ AU 5.3 ra 32629 a ETES 7 CARPE ON SEP | SF 4(2.4.6}? af | 1+2 (Etes) Va +

La série est toujours convergente, puisque a a, et les premiers termes peuvent s'écrire, en posant

a’? PR Ert 2 LC re de ; = ——— NA rs oder peter 1

(Li NN" CAO M 3 x?

DST ATOS NN M, ; foie 2 a?

+ 0,35500a[1+6%—196] | + 0,23437 2 [1 +157 — 35] tu | + 0,170904[1+28y—05f] + 0,13498 at [1 + 45% — 996] + 0,11103 [1 +66%— 1456] + 0,094d1 af[r +ory— 1956].

Un calcul analogue appliqué aux expressions (35) ou (35) du n°571 donnerait le coefficient d’induction mutuelle de deux bobines coaxiales très éloignées ou celui de deux bobines concentriques.

On peut considérer le problème autrement.

Le coefficient d’induction mutuelle de deux bobines simples C et C' (fig. 147) extérieures l'une à l’autre est égal et de

signe contraire (321) à l'énergie relative de deux groupes de couches magnétiques À et B, A’et B' dont les densités sont respectivement + x et —n, +n'el —n'.

Soient 2 et k’ les longueurs des deux bobines, x la distance des bases voisines A et B’. Si on représente par F(x) le potentiel moyen de la couche A, pour l'unité de densité, sur la sur-

Fig. 148.

face B', le potentiel moyen de la bobine C sur cette surface est n[F(x)—F(x+)|, et l'énergie potentielle de la couche B° par rapport à la bobine C est — nn'S'[F(x) —F(x+2)].

Comme l'énergie potentielle de la couche À’ par rapport à la bobine C est aussi +nn'S'[F(x+%)—F(x+k+h)], il en résulte, pour l'induction mutuelle,

(12) M=nn'S'T[F(x)—F(x+hk)—F(x+h')+F(x+ha+n)].

Si les bobines sont concentriques (fig. 148), la seconde C ayant un plus petit rayon et une longueur moindre, nous

désignerons par + la demi-différence des longueurs ou la distance des bases voisines B et B’.

Le potentiel moyen de la bobine C sur la base B' peut encore être exprimé par —47n Te )+nF(h— x), et l'énergie potentielle de la base B'est nn'S'[4rx+F{x) —F(h—x)]. Celle de A’étant de même —7n S'TAr(x+h")+F(x+h")—F(x)|, il en résulte

(13) M=nn'S'T4rh'+F(h—x)+F(k + x) — AMC

Pour des bobines concentriques et de même longueur, on AUTAIt L — 0, 1 He EVECNS= 7h,

O M=ArnN'S'—onn' S'[F(o) —F(k)] (4) | — 27N S'lar+ FF U)—F (0 fl.

La valeur de F (0) se déduirait de l'équation (19) du n° 565 par la règle habituelle, ce qui donne

rte LP GTR Fr 145 tar — a \??

F(6)= aa) 1e ne Er EDR:

La valeur de F (2) s’exprimera par l'équation (19) F(a)=or[u 2 -T ee mi]

ensuite x — À après avoir effectué les calculs, 1l reste

2,92 hr? à I d'A OS OR a?

x 010.4) 0h | REC TINST [É I a's D:4,0:0 ,5: 3.4.5 6.7.8, a?

mr à 2.4 FE US cet

Lorsque les rapports 7 et; sont de même ordre, la for- F'é

mule réduite aux premiers termes devient

(15) M=érnns [5 (ist )].

086. Emploi des intégrales elliptiques. — Le potentiel d’un courant circulaire en dehors de l'axe est une fonction elliptique des coordonnées, puisqu'il est proportionnel à l'angle apparent de la surface ; toutes les expressions employées jusqu'à présent ne sont en réalité que le développement de ces fonctions elliptiques, auxquelles on doit avoir recours lorsque les séries ne sont pas assez convergentes.

Le coefficient d'induction mutuelle de deux circuits quelconques s et s’ a pour expression générale (328)

MEN ds ds’ cos:

Pour deux cadres circulaires de même axe à la distance x, dont les rayons sont & et a’, si l’on désigne par + et oc’ les angles que les éléments ds et ds’ font respectivement avec un plan fixe passant par l'axe, on a

e c Le r?=x+at+a?—2aa'cos(s —o),

p—®, ds—ado, ds'—=a'doe.

La formule de Neumann devient alors

Cette intégrale est donnée par l'expression

(16) : M=érvaa | (4 )r+5el:

dans laquelle F et E désignent des intégrales elliptiques com-