OSCILLATIONS

521. Équation du mouvement. — On a souvent à considérer le mouvement d’un corps solide de part et d'autre d'une position d'équilibre, soit sous l'influence d'une force extérieure, soit simplement par suite des réactions qui se produisent dans le système quand il a été écarté de sa position d'équilibre.

Considérons un corps de masse K, animé d’un mouvement de translation rectiligne, et désignons par x sa distance à une

origine fixe pour l’époque :. Nous supposerons que ce corps est soumis à une force extérieure X indépendante de x, qu'il

éprouve une réaction f(x) variable avec la position occupée,

et une autre /, (2) qui est fonction de la vitesse u — . La première réaction f'est directrice et analogue à la tension d'un ressort qui ramènerait le mobile vers sa position d'équilibre; la seconde /;, qui est relardatrice, pourra être produite par la résistance des organes ou du milieu dans lequel se fait le mouvement ou encore par des courants induits dans les conduc-

teurs voisins. L’équation générale du mouvement est alors . dx dr Ê (1) KA) rex

Par un simple changement dans la signification des lettres, la même équation convient au mouvement de rotation d’un système solide autour d’un axe. La valeur de x représentant l'angle d'écart à partir d'une position arbitraire, la quantité x est alors une vitesse angulaire, les fonctions fi, f et X sont des couples et K est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation.

Nous admettrons d'abord que la force extérieure X est constamment nulle, auquel cas

dx dx (2) RTE + A (TE) fte)= 0.

Lorsque la fonction retardatrice /; est nulle, on peut écrire

Ë () = JA = ete) ste)

Comme la valeur du second membre de l'équation ne dépend que de la position du mobile, il en est de même pour le premier, c'est-à-dire pour le carré de la vitesse. Le mouvement est donc périodique et le système exécuterait indéfiniment des oscillations toutes identiques.

Si l’on prend pour origine la position d'équilibre, f(o) — 0,

et que soit une fonction impaire de l'écart x, l'intégrale + est une fonction paire. L'oscillation est alors symétrique par rapport à la position d'équilibre. La vitesse s’annule pour x = + a: la quantité a, qui représente le maximum d'écart, est l’amplitude de loscillation. La période T est le temps qui s'écoule entre deux passages du système par la même position et dans le même sens.

Les seuls cas utiles à considérer dans la pratique sont ceux où l’action directrice / est de la forme Cx, comme pour la tension d’un ressort, ou de la forme Csinx, ce qui correspond au couple produit par la gravité sur un pendule oscillant dans le vide, sans frottement au point d'attache.

528. Oscillations isochrones. — La première forme donne da A K (= 0 (4) dt?

Si l’on compte l'origine du temps à partir de l'époque où le mobile passe par la position d'équilibre, il en résulte

| tT=4SIn dt,

(4) ddE

TEE) /AICOSIO dt

Le mouvement peut être provoqué soit en écartant d'abord le système à l'élongation 4, soit en lui imprimant une vitesse initiale wa. La constante w et la période T des oscillations sont déterminées par les conditions

La période T est indépendante de l'amplitude ; les oscillations sont dites 1sochrones.

Le mouvement défini par les équations (4)° comporte une traduction géométrique très simple. Si l’on trace une circonférence de rayon a (fig. 131) et quun mobile M suive cette courbe, dans le sens de la flèche, avec une vitesse angulaire vw,

de manière que l'angle du rayon vecteur OM avec l'axe des » soil w{, on aura

OP—x—asinvt

PME COS QE:

À chaque instant, l'abcisse OP du mobile représente l'écart du mouvement vibratoire et l'ordonnée PM est proportionnelle à la vitesse w.

ve 529. Mouvement pendulaire. — Si l’action directrice est proportionnelle au sinus de l'écart, on à | KES + Csinx—0, HER K /dx\°? C Vo.

RIRES (cosa — cosx) — 0.

Tant que les écarts restent assez petits pour que le sinus puisse être remplacé par l'arc, on retrouve l'équation (4) et les oscillations restent isochrones avec la période T.

Dans le cas général, la période T' a pour expression

VE if ref 2C ur T do Vcosx — cosa

Développant en série l'expression comprise sous le radical, on en déduit, par un calcul connu,

! 4 "y / ru 2 . ) 2 ° (à) T'El +) si 2 + (° ) Et ture e |:

2 2) an 2) ñ

Pour des écarts très faibles, on peut réduire la série à ses deux premiers termes et écrire

rar(i+é).

C'est le mouvement du pendule libre dans le vide. Si M est la masse du pendule, # son rayon de giration et / la distance du centre de gravité à l'axe de rotation, on a

K—M#?, C—Mzti,

: VE k

[207 — IT —— CHRN ET

530. Amortissement des oscillations. — Pour simplifier les calculs, nous admettrons toujours que l’action dirigeante / (force ou couple) est proportionnelle à l'écart et de la forme Cx, ce qui convient à la plupart des problèmes.

Dans la pratique, il est impossible de supprimer absolument les causes retardatrices. L'hypothèse la plus simple est de les considérer comme proportionnelles à une puissance » de la vitesse et l'équation (2) peut s’écrire

* dx dx\? 4 (6) Ko + Ci () +Ctr—=o, ou, en posant Mn ASE Gi =— Ke 2 — K , dx 6 dx LES 1104 de NRA

Tel serait le cas des oscillations d’une colonne de mercure renfermée dans un tube en U, que l’on abandonnerait à elle-

même après avoir établi une différence de niveau entre les deux branches. La fonction f est à chaque instant proportionnelle à la différence de niveau et l’action retardatrice est due aux effets de capillarité ainsi qu'aux frottements du liquide sur lui-même ou sur les parois du tube.

Il peut arriver alors, suivant la relation qui existe entre les constantes À et w?, que le système écarté de sa position d'équilibre y revienne sans oscillations, au bout d'un temps infini en théorie, mais pratiquement limité, auquel cas le phénomène est dit apériodique. Si la position d'équilibre est dépassée, le système exécute une série d'oscillations dont l'amplitude diminue constamment jusqu'à ce qu'il arrive au repos.

La nature de Ia quantité x exprimée en fonction du temps est entièrement différente suivant qu'il existe ou non des oscillations régulières.

531. Loi du carré de la vitesse. — Poisson (') a examiné le cas où z — 2. Si l'on donne d'abord au système l'écart — a, la valeur de + à une époque quelconque est une fonction de & et peut être développée en une série convergente de la forme

dans laquelle &,, 6:,...…. sont des fonctions du temps. En substituant dans l'équation (6) et égalant à zéro les coefficients des différentes puissances de 4, on obtient une suite d'équations différentielles qui serviront à déterminer les fonctions 3, 5:,.....

Quand on néglige les termes d'ordre supérieur au carré de a, 1l reste

(7) d? Es js N de Sd XL è ——— | | —— DCS 0.

dt? dt ss

$ T | ; Comme on a x ——a et DA DOUR EE 0; il en résulte dE. \? w? 2 — w? sin?w é — —(1 — COS 206).

dt D)

(1) Porssox, Mécanique, t. I, p. 405; 1811.

La seconde des équations (5) devient alors

LU me 72 < + A6T(1 — cos 201) + 6?Ë: — 0,

de

à x Pr LA £o — %9 COS (WE — Ê>) — À — + cos 2wt.

Le

D'après les conditions initiales, on doit avoir ; — 0 el 34 — 4x; 1l en résulte " 4ak a? À

T—— Aa — a TE CORDES CNRS , ; (7 dx OUR ST LU

— = AUW|I——— SIn* — |sinvwé.

dt 3 2

À moins que la quantité a ne soit très grande, la première valeur de {, après zéro, qui annule la vitesse est donnée par la condition wt — 7. Avec les restrictions indiquées, la période T des oscillations reste donc la même que si l'amortissement n'existait pas.

En faisant wt — 7, on obtient ainsi pour l'amplitude a’ de l'oscillation ascendante, qui succède au passage par la posiüon d'équilibre,

L'amplitude suivante, du côté opposé, sera encore, au degré d'approximation adopté,

Ces amplitudes décroissent sensiblement en progression arithmétique et le nombre p des passages est le nombre entier

, = 4 3 DUDOTICUTEAS = P SÀ&

L'époque #, du passage par la position d'équilibre est

k Aa 0=—=4€aÀ + ET 7. COS & lo + COS 2/0.

Le à

Les deux parties, descendante et ascendante, de l'oscillation ne sont pas parcourues pendant le même temps. Si l'on pose 204 —=7+:, la quantité « étant très petite, on obtient, en

négligeant les termes du second ordre, s — —;— et, par suite, : J AN QU dt 24h OR ER me À ee A Ver re + UN À où 3 Â JT 532. Résistance proportionnelle à la vitesse. — Le mouve-

ment des systèmes est en général assez lent pour que les réactions puissent être considérées comme simplement proportionnelles à la vitesse; c'est l'hypothèse étudiée par Gauss (!). L’équation du mouvement devient alors

Ex Lx j ns pe k ar pe Le T0:

de?

(8) K Le problème a été traité déjà (898) à propos de la décharge des condensatcurs. La solution générale est

D — 0 ! / xæ—=AÂett+ Aetrt,

expression dans laquelle » et 2” sont les racines de l'équation du second degré

Ke?+C,o+C—=o.

Le mouvement est apériodique si ces racines sont réelles et, par suite, toutes deux négatives. Le phénomène est oscillatoire lorsque les racines sont imaginaires.

51 le phénomène est oscillatoire et que l'on prenne pour origine du temps une époque de passage par la position d'équilibre, on a, en posant

PTéR SINOC, (8) À 4) dx \ dt

— ae }t(w cos wt— x sin & {).

(1) Gauss, Result. den Beob. des Magn. Vereins, 1837; Œuvres, t. V, p. 374.

La dernière équation peut s'écrire aussi, en appelant + un angle auxiliaire, généralement très peu inférieur à 90°, défini par la condition

DANSE Sing COs® dx L) “ie U=— = — ae-?}tsin(s — wt).

dt sino

n dv

. e. 0 f cd rEt 2 Les oscillations restent isochrones avec la période 1 ré

Les époques t, d’élongalion, c'est-à-dire de passage aux points extrêmes où la vitesse est nulle, sont déterminées par wt —9+nr, et l'époque moyenne t’ des élongations succes-

ps du —

sives de sens contraires par wt—++(2n<+1)

L'époque & du passage intermédiaire à la position d'équilibre étant 64 —(n+1)r, on voit que les deux parties, descendante et ascendante, de chaque oscillation, ne correspondent exactement à la même durée que si l'angle + est de 90° ou la valeur de À nulle.

Comme la valeur de sinwt est + sin + quand la vitesse est nulle, les élongations sont

À =\OCTALT : RE G+nr) + asinge ve

. — nà +asinoe «

Celles qui se produisent dans le même sens varient donc comme les termes d'une progression géométrique dont la raison est ef, Nous avons appelé plus haut décrément logarilhmique la quantité À; Gauss attribue cette expression au produit ÀT, qui est un nombre.

Si l’on considère la courbe dont le rayon vecteur ae? fait avec l’axe des y l'angle wt, la valeur de l'écart x est, à chaque instant, la projection de ce rayon vecteur sur une droite perpendiculaire et la courbe est une spirale logarithmique dont l'angle de conjugaison, formé par la direction du rayon vecteur avec la tangente, est égal à +.

Pour avoir en même temps une représentation de la vitesse,

on rapportera la spirale (‘) à des axes obliques faisant entre eux l'angle : (fig. 132). Pour chaque point M de la spirale on a, par le triangle OMP,

ur Y

==; er (VC ke,

sinW£ sin(o—w{) sing

On a donné à ces expressions la valeur commune ae ?!, afin que l’abscisse x — OP représente l'écart du mouvement vibratoire. L’ordonnée y — PM est alors proportionnelle à la

ne

, et l'équation de

si vitesse « du mouvement, par le facteur

la spirale en coordonnées polaires est

e e nn.

D DSING en ER CSN. cerer.

533. Exemples. — La proportionnalité de la résistance à la vitesse rend compte très exactement de l’action de l'air sur les mouvements du pendule et de la plupart des systèmes oscillants dont la vitesse absolue est modérée.

Il en est de même pour le déplacement relatif d’un aimant et d'un conducteur voisin (474), puisque les courants induits et leur réaction sur le système mobile sont proportionnels à la vitesse du mouvement relatif.

(1) Les travaux de M. Cornu, auxquels nous ferons de nombreux emprunts, ont été résumés dans un mémoire inséré au Bulletin de la Sociélé internationale des Electriciens, t. XI, p. 157; 1894.

Dans les galvanomètres où l'aiguille est placée à l’intérieur d'un cadre de fils, si le circuit, dE résistance R, renferme une force électromotrice constante E, la déviation d'équilibre x, ne dépend que du courant permanent I, mais l'aiguille éprouve une série d'oscillations avant d'arriver au repos et l'écart à la position d'équilibre est à chaque instant x — x.

En appelant M et H les composantes perpendiculaires à l'axe du moment magnétique de l'aiguille et du champ extérieur, G la constante du cadre, l'aimant tend à revenir vers sa position d'équilibre sous l’action du couple M[GI/f(x) —Hsinx|, avec la condition G1/(x,) — Hsinx,. Pour des oscillations de faible amplitude, le couple directeur peut donc être représenté par

C(x — x) =M [GIF (to) —H cost | (x — x).

D'autre part, le flux de force émis par le système magné-

tique dans le cadre est de la forme Mo(x) ou MU(x — x,) et sa , dx

dérivée par rapport au temps M4 {x — x) — de la fonction différant peu d’une constante 4’(0).

Si l’on néglige les effets de self-induction, lesquels contribuent encore à l'amortissement, le courant induit z produit par l'aiguille se superpose simplement au courant principal. On a

GR MY (0) el son action sur l'aiguille est sensiblement

MGif(x)—

Mie “dr OMG dx Ep (0) to) ME y (0) ft) 25

L'équation différentielle peut donc s'écrire

dx M?G,, dx (CALE :

KR Vo) ro + M | EE cos, (ra) 24 Le mouvement est périodique ou apériodique, suivant

l'importance du second facteur, et l’on a

Le

ÿ'(0)f(ro),

de 2.

+ / (to) — cos |-

Toutes choses égales, l'amortissement croit avec le moment magnétique de l'aiguille et la conductivité du circuit.

Considérons encore un cadre de » fils, faisant partie d’un circuit fermé, mobile autour d'un axe dans un champ magnétique uniforme, et supposons que, par l'effet d’un couple extérieur, comme la torsion d'un fil métallique, le cadre soit en équilibre dans une direction parallèle au champ.

En appelant S la surface moyenne de chaque spire, le flux de force émis dans le cadre, pour la déviation x, est HS sinx

Lx : Lx et sa dérivée HS cosx — ou sensiblement Has.

Si l’on néglige encore les effets de self-imduction, le cou-

rant induit est R:—HnS : et l’action du champ . À ral S2 dx % HS? dx HSzcos tr — B COS x ANT NI APR

Le couple directeur de torsion étant représenté par C sin x ou Cx, on a, toujours pour les petites oscillations,

. H?$? ane C D'UN AS (D EC | K

On obtiendrait des résultats analogues, par rapport à une autre position d'équilibre, si le circuit du cadre renfermait une force électromotrice constante.

534. Perturbations. — Lorsque le système est soumis à une action étrangère X indépendante de l'écart x, avec les hypothèses précédentes sur les actions retardatrice et diriseante, l'équation (8) doit être remplacée par

COR MERE ; ) Ke HEC: HCr—=X.

(0, de dr

Le cas le plus simple est celui où la valeur de X est constante et toujours opposée au mouvement, comme serait le frottement d'une chape sur son pivot. En posant X— —Cx,, l'équation devient

TL HEC K PF PA + C(a + Lo) = 0.

Si l’on choisit l’origine du temps à l'époque où le système est abandonné sans vitesse à l’'élongation a, le mouvement

de la première oscillation est, avec les mêmes valeurs que précédemment pour les constantes à, w et +,

«Œ SE + Lo