L + VV

| dx u)

dt sin?o

- e-*tsin(wit<+o Sin © ( 9)

(a — xo)e-*'sinvot.

La vitesse s’annule de nouveau à l'époque wt=7, de sorte que la période T n'est pas modifiée.

La nouvelle élongation 4,, du côté opposé, est

Après x oscillations simples, l’élongation devient

LA PIE niT En DO LS NE CEE NI

Cette quantité doit rester positive, mais le mouvement peut s’arrêter en dehors de la position normale d'équilibre. Le nombre maximum des oscillations qu'effectue le système est déterminé par la condition a, = o ou

F RNA A à 7 —=i+e?, n=R£|——:).

Lo \T T9

D'une manière plus générale, si l'action perturbatrice X est

une fonction quelconque du temps, à retours périodiques, on peut la représenter par la série de Fourier

(10) X=—2B,sin(nwt—f),

dans laquelle x prend toutes les valeurs entières positives, de 7 — 1 jusqu'à rz = ©.

MESURES MÉCANIQUES. s À.

La solution de l'équation (9) est alors, en faisant un choix convenable de l’origine du temps,

(10) T—ae Msnmur TA; sin(rwt— An):

Le premier terme du second membre annule le premier membre de l'équation (9). Chacun des termes de la dernière expression est une solution relative au terme de période correspondante compris dans le développement (ro).

Si l'on désigne par bd’, £” et w’les valeurs de B,, fx et nw relatives à une période T’, la solution correspondante est

(11) æ'=a'sin(w"t— x").

L'équalion (9) devient alors

(C—Kw?)x +C, — b'sin(w't— £")

dx ü 2

dt dx

K | (0? LCA CRT Te | —b'sin(e rt —@).

C’est une forme déjà discutée (393). En désignant par 2’ la perte de phase «—f$,ona

/ b'2 RTL | | (52 — 24H + AO (11) PL ce 2 À CATOOERES rosre U)* — 0) - + A

On remarquera d'abord que l'amplitude «4° diminue très rapidement, toutes choses égales, à mesure que w’ augmente,

c'est-à-dire que l'on considère un terme d'ordre plus élevé dans la série (10).

Si w<Co ou T >T, la perte de phase à" est nulle pour À — o et À— + ; elle passe par un maximum à, pour la condition À2— wW2—0w'7?, ou !

w' w tan

. le À Vu? — w'?

la perte de phase à reste donc comprise entre o et go°.

Si w'>w, l'angle à’ peut varier de o à 7; enfin, pour w —w,

on a simplement

Lorsque la vibration principale, due aux réactions propres du système, n’est pas amortie, le premier terme du second membre dans l'équation (10) persiste indéfiniment. La vibralion primitive éprouve donc une série de perturbations périodiques et le phénomène n arrive pas à un régime régulier.

Dès que l'amortissement existe, ce terme tend vers zéro et, au bout d'un temps plus ou moins long, en réalité pratiquement très court, il ne reste plus que les termes périodiques. Le système considéré, quelles que soient ses réactions, obéit donc aux actions perturbatrices.

535. Synchronisation. — On est ainsi conduit au problème d'imposer à un système qui a des oscillations propres, tel qu'un pendule ordinaire, une période de vibration arbitraire par l’action de forces extérieures, c'est-à-dire de maintenir le synchronisme entre deux systèmes différents.

On voit d'abord que si l'action extérieure est elle-même sinusoïdale, b'sin(w't—f£"), la vibration du système ne tarde pas à se synchroniser sous la forme simple

æ'—=a"sin(o'"t—a')—=a"sin(w"t —f$'—3).

D'une manière plus générale, le système prendra la période dominante de la série X, avec des perturbations dues aux termes de périodes différentes.

Dans la pratique, la période de l'appareil synchronisant est voisine de celle du système et, au lieu de le faire agir d'une manière continue, on l'utilise pour produire des impulsions successives à intervalles réguliers.

Ajoutons encore que l'amortissement est presque toujours très faible. Après 2 périodes, l'amplitude 4, est devenue

An TEMPO EL

Le nombre des périodes nécessaires pour que l'amplitude

soit réduite au millième, ce qui équivaut pratiquement à l'extinction, est £.1000 6,908

nm — "ET — sm NI XI

Pour les oscillations libres d’un pendule battant la seconde,

où T=—», le décrément logarithmique ÀT n'atteint pas

ce qui produirait la réduction des amplitudes au millième après 2 — 13 816 périodes — 27 632 secondes — 7" 4om.

Avec le décrément de 0,001, un diapason de 400 périodes par seconde s'éteindrait au bout de 6 908 périodes ou 15.

On peut donc se borner à considérer les cas où le décrément ÀT est inférieur à 0,01. Dans ce cas, on aurait

anges ee —— 200T,

et l’angle + n'est inférieur que de 5’ à 90°.

L'angle de conjugaison de la spirale logarithmique (532) qui figure le mouvement amorti est donc presque droit et les spires successives diffèrent extrêmement peu de circonférences de cercles.

536. Percussions périodiques. — Considérons d’abord le cas où l'amortissement est nul, la vibration étant a sinwt, et supposons que le système reçoive à l'époque #, une impulsion instantanée qui lui imprime un accroissement de vitesse p,

Électr. et Magn. — 5. 3

ce qui correspond sur la courbe représentative à un accrois- , ! ! FR oc +:

sement d’ordonnée MM'— z=— -— (fig. 133). Si le mouvement (10 0

continue sans trouble ultérieur, la nouvelle amplitude est a'—= OM, la phase a diminué de l'angle M'OM—: et les équaions du mouvement deviennent

x' —a'sin(wt—c), (12) dx’

wa cos (0 4 Fee E).

dt

Le triangle M'OM donne

en a'COSE—= a+ zCosL,, AISNE ZSINQ TS

zsInot,

a'?=q?+z +oazcoswt,, tange — .

a + Z COS 0){,

Lorsque l'impulsion » —wz est très faible par rapport à la vitesse maximum wa du mouvement primitif, on peut écrire

a'?={(a+z) — 4azsin? "(a +5) — azv°?l?,

É— SHOT a

Il en est de même quand t, est très pelit par rapport à T'; dans ce cas, l'amplitude a’ ne diffère de la somme a+z que par une quantité du second ordre, comme on le voit directement sur la figure (!).

Si l'impulsion # se reproduit au bout du temps T'— 5 U)

l'angle décrit par le point figuratif M’ dans l'intervalle est WT —27r+0(T—T), et sa position M, au moment de la se-

conde impulsion est définie par l'arc MM, — &'o (T'—T).

ro / TE"

Admettant encore que la fraction Len est très faible, les

hi longueurs MM’ et MM, pourront être traitées comme des infiniment petits.

( P. Weiss, Journal de phys. [3], t. IV, p. 420; 1895.

MESURES M ÉCANIQUES. 39

On peut chercher maintenant, avec les restrictions précédentes, quel est le lieu des points MM,....., lorsque l'impulsion # est répétée périodiquement aux intervalles T”.

Menant la droite MC perpendiculaire à l’are MM,, le triangle fini CMO et le triangle infiniment petit MM, M' sont semblables ct donnent les relations