NS
(13) RÉVS Enr (22 te) A2 | (a + 3) — Âaz sin?” | :
On aurait, de même, pour une série d'actions instantanées, respectivement définies par des quantités = et à,
&.! à SN È s | IE LTSAN O0 — mn sin Om »
à | N N | Vo=a+23COSÔ — A+ 3m COS Om »
N DEL F >) 6 € . 0 —0 (13) à zn—(2zsind)} + (23 cos} —(2:)? — 42zz sin? , | | , Zz sind AND :
\ o Yzcos?
Le résultat est identique à celui que produirait une percus 2 Q ? 4 » A] ar Ô sion instantanée définie par z», à l'époque 1» =: 6)
Un effet quelconque, représentant une série de percussions qui se succèdent suivant une certaine loi, équivaut ainsi à une percussion unique provoquée à une époque intermédiaire.
Si l’action est continue et capable de produire sur un système sans vitesse initiale, ou de très longue période, l'accélération w—w?z, l'accroissement de vitesse pendant le temps dt serait |
wdt=vzvwvdt— vw6zdà.
Les sommes que renferment les équations (13) doivent être remplacées par des intégrales étendues à la durée totale Ü—#,—1, des observations, c'est-à-dire à l'intervalle des angles à, —=wt, et à—=wt:, Ce qui donne
4 N id DS N | < inèn= | + sinèdd,
| N N SS ME COS — IE cosèdù.
Supposons que la quantité z soit constante, c’est-à-dire l'impulsion uniforme, et posons
On a alors
“ sin :
me nel TRS D) Fo m SIN 0m — 3% STONE a nn STI
RE Dan, :) DS s . Oo 04
F sin :
A COSS 2e MIN És SUD. 2
# 7h cos AS 1j te eos 2 Eee IR ME Us: cos
. Os — 0 . ) 0 sin SITE
: * y + Oo 3 9
(14) Cm — 19 ER SATTS S €!
2 Qo — dy 0) 0 2 2
On voit par ces résultats que l’action continue équivaut à une percussion wz», indépendante des conditions du mouve-
ment primitif, produite à l'époque moyenne.
Considérons encore une impulsion sinusoïdale, prise seulement pendant la demi-période où elle conserve le même sens ; telle serait l'action du courant induit dans un cadre tournant à vitesse constante dans un champ uniforme, si on utilise ce courant pendant une demi-période entre deux passages par zéro.
r et l’accroissement de vitesse dent être représenté à Rutt instant par
(15) wsinw'(t—1,)dt=vz sin — (è—3,)dû.
Pendant le temps t+ — t, —0, la variation 3: — est w (2 —2,)—7w; il en résulte
CE 27 ep sin@'(£—1,)dt ==.
Ni SN 5 DS RS are sin — (à—3,)sin
à, de l'angle à
RAT, Sdè Em COS Du = 54 — sin | 23) cosèdà.
En remplaçant les produits de sinus el cosinus par des sommes ou des différences, on trouve aisément
lo S S NS NS . EN fe ep: LEP er er Co Zm sin Om = Z 1 ü) To : cos sin , DEAD E A 2 !
(11h = os — À Ô, —- do Zm COS ©» = 2/4 LE Ponge ee > Ja COS — COS e () REETON E #) )
L'effet est encore le même que si l’on avait provoqué, à l'époque moyenne, une percussion définie par
19 N NS u) ? do — 0 2
(19) Zm —710 ———; COS RE Tr MO} LE et en tee & 2? — 4)? D) (Fr 2
538. Tracé de l’indicatrice. — Pour contrôler ces résultats, M. Cornu a imaginé une expérience qui permet d'obtenir l'enregistrement photographique de la courbe indicatrice.
L'appareil oscillant est un pendule battant à peu près la seconde. Un barreau aimanté perpendiculaire à la tige est disposé de manière que l’un des pôles se meut dans une bobine à circuit fermé, qui permet de modifier l'amortissement; l’autre pôle se meut dans une bobine qui reçoit à chaque période un courant de courte durée, fermé par une horloge astronomique. Ce courant exerce sur le pôle correspondant une attraction destinée à produire le synchronisme.
Des aiguilles aimantées, attachées au même pendule, oscillent dans des solénoïdes et produisent un courant induit dont l'intensité est, à part les effets de self-induction, proportionnelle à la vitesse. Ce courant traverse ensuite un cadre oscillant dans un champ magnétique (galvanomètre Deprez-d'Arsonval) réglé de manière que, dans le régime stable, ses écarts soient sensiblement proportionnels au courant.
On a ainsi deux appareils, pendule et galvanomètre, dont l'un reproduit les écarts du pendule et l’autre sa vitesse. Si on les munit de miroirs oscillant dans des plans rectangulaires, et qu'on observe l’image d’une source de lumière après double réflexion, on obtiendra les figures utilisées en acoustique.
La figure est en général elliptique, mais il est facile de la
MESURES MÉCANIQUES. #1 ramener à la forme circulaire en modifiant la résistance du circuit induit.
Il suffit maintenant de cacher la source par un obturateur, qui s'efface à chaque passage du courant de synchronisation. L'ensemble des points observés, dans l’intervalle de transition qui précède l'établissement du synchronisme, à pour coordonnées l'écart du pendule et la vitesse modifiée; c’est la courbe indicatrice. Une plaque sensible placée au foyer de la lunette conserve la trace de tous ces points dont la succession est bien la spirale fournie par le calcul.
539. Observation des oscillations. — Toutes les circonstances d'un mouvement oscillatoire sont déterminées par la valeur et l'époque des élongations successives. Comme la vitesse est nulle au moment des élongations, les intervalles correspondants ne pourraient être évalués avec exactitude ; il est préférable de choisir les positions où le système a sa plus grande vitesse, c'est-à-dire celles qui sont voisines de l'équilibre.
Pour étudier ce mouvement, on observera, soit le passage d'un index devant une échelle divisée, soit l’image d’un trait sur un micromètre placé au foyer d'une lunette, soit l’image d'une échelle divisée sur le réticule, que cette échelle ait été tracée sur le système mobile ou provienne de la réflexion par un miroir, etc. On note les passages du système par une position déterminée et on évalue les élongations.
Quelle que soit d’ailleurs la position de repère, la différence des époques de deux passages successifs dans le même sens représente la période ou le double de la durée de l'oscillation simple, telle qu'on la considère habituellement.
À moins que l'amortissement ne soit rapide, cette période s'obtiendra très exactement par l'intervalle d’un grand nombre de passages. Quand les oscillations sont de très longue durée, comme celles du pendule, la méthode des coincidences de Borda permet de résoudre le problème avec toute la précision désirable. D'ailleurs, la manière d'observer dépend beaucoup du caractère que présente le phénomène.
Si le mouvement est observable pendant quelque temps, un quart d'heure par exemple, on pourra déterminer la durée des oscillations de la manière suivante.
. Supposons, comme dans le cas d'une aiguille aimantée, que
la durée des oscillations soit de 3 à 5 secondes et que les divisions d'une échelle passent sur le réticule d’une lunette. On choisit comme repère une division voisine de celle qui correspond à l'équilibre. Avec un compteur à pointage, on note l'époque !, à laquelle cette division passe sur le fil en marchant dans un certain sens, soit de gauche à droite, c'est le passage d'ordre zéro; puis on compte les oscillations suivantes et on note l’époque ?, du 20° passage, lequel s'effectue dans le sens primitif, c'est-à-dire de la ro° période. En même temps, on a observé les divisions extrêmes qui correspondent à l'oscillation initiale et celles de la 20°, d'où l’on déduira les élongations correspondantes a, et a,. Il n'est plus nécessaire de compter les oscillations suivantes, car on sait que le 40° passage aura lieu au voisinage de l'époque 4; +(1, —t). On se prépare à l'observation un peu avant et on note exactement l'époque ?, du 40° passage, puis l'élongation correspondante a. On déterminera, de même, les époques #3, 1;, t;, et les élongaions 43, a;, a; des 6o°, 8o° et 100° passages.
On en déduit les valeurs t, — t,, t —t,,..... de la durée de 20 oscillations pendant les séries successives, et les élonga- Up Ai + Aa
VS correspondantes.
tions moyennes
S1 les durées successives ne diffèrent pas d'une manière appréciable, pour de grandes variations dans les écarts, on en conclut que le couple directeur est proportionnel à la dévialion ; la durée de l'oscillation sera donnée alors par le centième de la différence totale.
Dans la plupart des cas, le couple directeur est proportionnel au sinus de la déviation ; la durée d'oscillation varie alors avec l'amplitude, suivant la loi du mouvement pendulaire (529). La durée +’ d’une oscillation simple se déduira alors de la durée = relative aux oscillations infiniment petites par l'équation (5), que l’on peut écrire
Pour simplifier les opérations, on a calculé des tables qui donnent les valeurs de la parenthèse 1 +£ pour différents angles d'écart. Voici, par exemple, les valeurs de cette table,
de > en 2 degrés, jusqu'à 60 degrés, les quantités intermédiaires pouvant se déterminer par interpolation (!) :
Table pour la réduction des oscillations pendulaires aux angles infiniment petits.
Écart 1 +8 Écart. 1 +8 Écart. +8 2° 1,0001 29° 1,000 42° 1,0340 Â 1,000) 24 I,OIII 44 1,0381 6 1,0007 26 1,0190 46 1,0418 ) 1,0011 28 1,011 48 1,0490
Comme l'amplitude diminue d'une manière continue, on divise chaque durée partielle &, — 4, & —t,,..... par le nombre 1+ 0, 1H... qui convient à l'écart correspondant réduit en angle et on obtient des valeurs approchées 4,, &,,...…. de la durée de 20 oscillations infiniment petites. Si elles ne diffèrent pas d'une manière systématique, c'est que le phénomène est régulier et la correction exacte. On prendra enfin comme durée d'oscillation la moyenne de toutes ces valeurs.
D'une manière générale, si &,, t,...…. im, sont les durées réduites de 727 séries de x oscillations, c'est-à-dire si l’on a observé un nombre total #7 — N d’oscillations, la durée = rela-
tive aux amplitudes infiniment petites est
Les erreurs commises sur l'époque des passages intermédiaires n'affectent pas d'une manière appréciable la valeur de r et la précision dépend surtout de l'exactitude avec laquelle on a pointé le passage initial et le dernier. Si ces observations
(1) Daroxpeau et CHevaLiER, Vogage de la Bonile. Observations magnétiques, t. 11, p. 9: 1846.
sont faites à o°,1 près, on aura, pour un quart d'heure, une approximation relative d'environ 0,0002.
Quand il n'y a pas intérêt à vérifier l'exactitude de la correction des écarts séparément pour les différentes séries, on peut faire la réduction d’une manière plus rapide. Soient © Pis Pas..., Pm les nombres des oscillations infiniment petites de durées +, qui seraient effectuées pendant les durées 4; — 4, lo — li, 3 — tb, des x oscillations qui forment les séries suc- CESSIVESs ; on a
h—tb=pir=nt(i+h;).
En appelant N—/”#7 le nombre total des oscillations et
' Un FE lo ] r .
FE NUL durée moyenne, on en déduit > 8 . , 3 | Ne Sp nr(m + Sp) = Ne (+ } me (7) { à 17 re a A LOF 7} ù DC m }
Lorsque les déviations ne dépassent pas 35°, la valeur de £ [
agi : . LOUP ES , se réduit sensiblement au premier terme CG: Si la suite des
amplitudes est assimilable à une progression géométrique, la correction se fera par une autre méthode.
iT En posant 3—e ? —e-?, les durées propres de » oscillations successives sont
THB), s(i+fia), T(1Hbia?), ..... , T(1Hbiar=t); on a donc 8 vie nr =T[n+fi(i+a+ pes ar Jen (it), n I1I—a@ ei e RER TI (18) = — = fit].
Sy 1— a n 1—@ 45702 =
Pour déterminer le terme de correction, on prendra le rapport de deux amplitudes «° et 4” séparées par »1 oscillations, ou la moyenne des rapports analogues empruntés aux meil-
leures observations, ce qui donne &*— >; — | — |
Lorsque l'amortissement est faible, on a très sensiblement x —1—À7; sile nombre des oscillations n’est pas trop grand, de façon que le produit 2717 reste de l'ordre des centièmes, on peut écrire
: n(n—1).,, ; DE LA QI RATE —————— À T—=I—NÀÂT| 1. — VA LE
(19) sms fr8 fi s)|
Nous prendrons comme exemple l'observation d'une boussole d'intensité horizontale faite à Pondichéry le 5; juin 183> par Darondeau et Chevalier. Les observateurs avaient pointé 1400 oscillations par séries de 50; nous donnerons seulement les lectures relatives aux différentes centaines.
Nombre Durée de Écart Durée des passages. 100 oscillations. moyen. réduite. 100 000,4 D 1 3625,33 200 366 ,0 25 ,0 361 ,66 300 304 ,7 1070 962 ,04 400 A15T RS TÉL 361 ,04 500 363 ,0 11) 361 ,94 600 362 ,3 9 ,79 HO OT 700 362 ,0 7,79 301,70 800 362 ,0 6 ,0 361 ,75 900 20204 100 362 ,26 1000 362 ,0 3 ,79 361 ,89 1100 362 ,0 NP 0 361 ,93 1200 362 ,5 2070 362 ,23 1300 302 ,0 5600 361 ,96 1400 20240 1,79 262 ,27
Moy. | 3635,25- 361,94
La durée de l'oscillation, par la formule (16), est donc
NS ON ep
La réduction a été faite par les valeurs de $ empruntées à la table par interpolation. La somme de ces valeurs relatives aux 14 séries est 28 — 0,0502; la formule (15) donne alors
hs AGE
Enfin, jusqu'au 800° passage, le rapport d'un écart moyen au suivant varie, sans aucune règle, de 1,24 à 1,29 et la moyenne est 1,267; les déviations sont ensuite trop faibles pour qu'on en puisse déduire une évaluation approchée de l’amortissement. On a donc
) T0012#r207 99 ARE 7 L'écart de la première oscillation ayant été de 35°, pour lequel £, — 0,0238, la formule (18) donne, avec #7 — 1400,
GB, 1—a? 0,0238 1 — 0,001325
à —— = ——— + ———— —0,00360 An l1 —< 1400 0,00472 d «
L73709207er 3s
