Formmles équlTalentea à eelle d'Ampère. — NouS avons
Yu (a^o) que Taction de deux éléments de contour de deux feuillets magnétiques^ laquelle est équivalente à Taction élémentaire électrodynamique, peut être exprimée d'une infinité de manières différentes, soumises à cette condition que la résultante des actions d'un circuit fermé sur un élément ait une valeur déterminée.
496. — i"* Formule de M . Reynard. — La première forme que nous avons rencontrée (a^s) pour l'action de ds sur ds est, en supposant Télément ds à Torigine des coordonnées et dirigé suivant Taxe des x, une force dont les composantes sont
Le facteur a dans ces équations représente le produit lVds\ et x^y,z sont les coordonnées de l'élément ds. La force elle-même est exprimée par la formule
^ Wds'ds . ^ , /= 5 — sm cos [JL ,
dans laquelle est l'angle de l'élément ds avec la droite r et ■y |jl' l'angle de Télément ds avec le plan rds.
En appelant d^ l'angle sous lequel de Télément ds on voit
l'élément ds^ angle qui est égal à -^— ; — , cette formule peut
encore s'écrire
/= cos[jL rfp.
C'est la formule de M. Reynard
524 EILICTROMAGiNÉTISMË.
Pour délerminer la direction de cette force élémentaire/ nous remarquerons d*abord qu'elle est normale à l'élément ds puisqueyi==o.
Elle est située dans le plan rds. Ce plan a, en effet, pour équation, en désignant parX,Y,Z les coordonnées courantes,
X [jdz — zdj ) H- Y [zdx —ydz) -h Z [xdy — j> dx) = o.
Son intersection avec le plan des jz est
\[zdx—'xdz)-^-Z{xdY—rdx)^=o^
d où il résulte
On a d'ailleurs
i^d^ sin^ 6 = (j rfc — ^djY h- (zdx — xdzf-h {xdj —j dx)^
= r^ill±ljï-^ [jdz ^zdjY=^ 4- {jdz - zdyY,
ce qui donne
^ a^dx^ si n^ 6 r (ydz — zdy yi ' ~ T» 1. "" /^(Ar'sin^e J'
Or, l'expression *■ — -, — ^^ est le cosinus de Tancle que fait • ' n/.vsinO ° ^
avec Taxe des x la normale au plan rds : la parenthèse est
donc le carré du sinus de cet angle ou le carré du cosinus de
Tangle [x'que fait le plan avec Taxe desx, c'est-à-dire avec
l'élément ds, et on a
,. a^.vsinOcosu.' IVdsds' .
j=z ^ î- ~ — - — sinOcosji..
Ainsi l'action de ds sur ds est située dans le plan rds^ normale a Télémenl ds\ proportionnelle au sinus de l'angle que
ACTIONS ÉLÉMENTAIUES. 525
fait rélément ds avec la distance /* et au cosinus de l'angle 'que fait rélément ds avec le plan rrf.v, et enfin en raison inyerse du carré de la distance.
Prenons comme plan des xz le plan rds et^dans ce plan, la ligne 00' qui joint les deux éléments comme axe des x, La force qui agit sur l'élément ds placé à Torigine des coordonnées est située dans le plan des xz ei perpendiculaire à ds'. Pour avoir sa direction, il suffit de projeter Télément ds sur le plan des xz; une droite située dans ce plan et normale à la projection sera ladirection demandée; elle est perpendiculaire au plan projetant et, par suite» à l'élément ^/.qui passe par son pied dans ce plan.
Les composantes de cette force parallèles aux axes sont
r I' r. llV/.çsinO ,, , ^ IVdxdz' /,z=/cos^= p — ds cosji. cosp= — ^j— ,
fv = ^y
^ r • « Il'rf.çsinO ,, , . ^ Mdzdx' f,=fs\n^= — -^ — -rf.ç cospi. smg= — -.
Désignant encore par 0' Tangle de la droite r avec l'élément ds et par eu l'angle des deux plans rds et rds , on a
ce qui donne
rfz'^^rf.v'sinO'coso), dx=dscos(ù,
ir
/x = -j sin sin 6' cos a> dsds\ y, = -j- sin cos 0' dsds.
*] L'action de deux éléments de courants consécutifs est évi-
demment nulle.
En résumé, nous'n'avons plus ici une action et une réaction égales et opposées, mais sur chacun des deux éléments une action différente, dirigée normalement à cet élément et ^ dans le plan déterminé par l'autre élément.
L'existence d'une force normale à l'élément est incompa-
52« ÉLECTHOMAGNÉTISME.
lible avec Tidéc d'une action à distance ; mais si Ton envisage^ au contraire, les forces électrodynamiques comme le résultat d*uoe modification dans les propriétés élastiques du milieu, on conçoit aisément que la réaction de ce milieu sur un élément de courant puisse être normale.
4M. — a* Formule générale . — On peut ajouter à chacune des composantes y^, fyy et /« une différentielle exacte des coordonnées, sans que Taction du circuit fermé sur l'élément ^5' M)it modifiée. On peut donc prendre comme composantes do ,' Taction élémentaire les expressions générales suivantes, dans \ lesquelles X, Y et Z désignent des fonctions quelconques de ^ coordonnées : r
rf^5'=ar/X,
478. — 3' Formule d'Ampère. — Si Ton impose à la force .. élémentaire la condition d'être dirigée suivant la droite qui ' joint les deux éléments, on obtient la formule d'Ampère; cette * formule est la seule qui satisfasse au principe général de l'é- ; galité de l'action et de la réaction et, par conséquent, aux conditions essentielles d'une force véritablement élémentaire. Pour toute autre solution, l'action de l'élément ds sur Télément ds ne sera pas égale et directement opposée à celle de . l'élément ds sur l'élément ds.
470. — 4* Formule de Grassmann. — Remplaçons les fonctions arbitraires X, Y et Z respectivement par xf, jfci zf^ en désignant par/ une fonction de la distance r. Les composantes de la force élémentaire seront alors
d^X=ad[xf\
r/-'=.a[rf(./)-:^^/|].
Cette opération revient à ajouter à la force donnée par la
ACTIOiNS ÉLÉMENTAIRES.
, rorihulc de M. Rcynard une autre force d^^ dont les composantes sont
d^i,=ad{x/)=a[fdx+xdj],
d\^=:ad{xf)=a[fdjr'hjdf],
d%=ad{zf)^a[fdz^zdf].
La force elle-même est donnée par Téquation ou, en tenant compte de la relation dr=ds cos 0^
Cette force fait avec la droite r un angle dont le cosinus est
xd{xf)-^ydirf) + rd(zf) Jrdr+r^dj ^d[rf)
Enfin Tangle 8 qu'elle fait avec Télément ds est
cosS =
dsds^^^
[dxd [xf) + djd {jf)-^dzd{zf%
ou
adr ,. ^. afds .
cosS— , ,a, dlrf) — -jj—smO.
Si Ton impose à cette force la condition d'être perpendicu laire a la droite qui joint les deux éléments^ on a alors
d'où Ton déduit
d(rf) = o,
rj=\, f=^;
par suite la force ajoutée a pour valeur
Xa
d^^^ = afds sin ô = — 7 rf5 sin ô
538 ÉLECTUOMAGNÉTISME.
On verrait d'ailleurs que celte force (P^^ fait avec rélémenl ds un angle égal à Oh--.
Lorsque les deux éléments sont dirigés suivant la même droite, comme la force (P^^ est nulle et que la force donnée par la formule de M. Reynard est aussi nulle, Taction des deux éléments est nulle.
Dans cette hypothèse, qui est celle de Grassmann, la force réelle (P^ serait la résultante d'une force en raison inverse du carré de la distance, définie par la formule de M. Reynard, et d'une force €P^^ en raison inverse de la simple distance, normale à la droite qui joint les éléments et dont la direction
fait avec l'élément ds un angle égal à --+-0.
On pourrait encore imaginer plusieurs autres conditions également compatibles avec l'expérience ; mais ces quelques exemples suffiront pour montrer Tindétermination du problème, et en indiquer les principales solutions.
