Bobines ayee noyait de fer dons. — SuppOSOns qUC la

bobine intérieure renferme un noyau de fer doux cylindrique de rayon a, et dont le coefficient d'aimantation est A:. La valeur de N ne change pas ; mais, autant du moins qu'on reste dans les limites entre lesquelles l'aimantation est proportionnelle à la force magnétisante, l'induction magnétique dans l'espace occupé par le fer doux est égale (399) à la valeur primitive

tOk ÉLECTR0116!«£T1S1E.

de la force multipliée par i -r-i-zk. La Taleur de ^deTÎent alors, dans le cas d^un solénoîde,

Si la bobine se compose de plusieurs couches, on a

il en résulte

(Sa) M=^z'/iî/iî/(^v,— x^)l iî~a^4-i2ri/i*(^v,~j,)J.

Lorsque le noyau de fer remplit la cavité intérieure et que les deu\ bobines sont en contact, on peut poser

il vient alors

(53) M = ^7:*//î/iî/(r--j)(^> —x) >'-+-X7 -ha:^4-i2rA^x*|.

Si le rayon du noyau est seul variable, et qu'on veuille en disposer de manière à rendre maximum le coefficient d'induction mutuelle, la dérivée partielle de M par rapport à x doit être nulle ; il en résulte

SrJc

OU sensiblement 3ar=2j, puisque le coefficient d'aimantation k est très grand.

Si on se donne le rayon extérieur z, ainsi que te mode d'enroulement des fils, et qu'on veuille disposer de x et de j^ de

CAS PAUTICULIERS D'INDUCTlOiN. 605

manière à readre le coefficient M maximum, on trouvera de même, en égalant à zéro les dérivées partielles -— et — -,

Enfin le coefficient de self-induction d'une bobine ayant pour rayon extérieur z, pour rayon intérieur j^, et qui renferme un noyau de fer doux de rayon Xy aura pour expression

Le problème que Ton vient d'étudier est celui qui se présente dans la construction des bobines d'induction.

555. Bobine* annulaires. — Dans une bobine formée par l'enroulement régulier d'un fil sur un anneau circulaire, le coefficient g^ (496) devient

Supposons qu'un second fil soit enroulé n fois d'une manière quelconque autour du premier; le coefficient d'induction mutuelle sera

(55) M = i^:n^^lj

Si la première bobine renferme un noyau de fer doux, de révolution autour du même axe et de section S', la valeur de g est alors

Lorsque le noyau remplit la cavité du solénoide, cette valeur se réduit à

Dans ce cas, le coeffident d*isd«clioa BMlBelle s«r «« fil

eitériear qui fait n ' tours est

(56) M = 4«,i.;i^4xi /*^,

et le coefficient de self-indaction de la bobine eUe-méme, qui renferme 2rzn^ spires, est

Nous avons vu («•s; quelles SMt les Taleurs des intégrales / — dans certains cas particuliers.

ftft#. ■•temn éicciri««cs. — Les moieurs électrifuet sont des machines renfermant des fils conducteurs, des électro-aimants ou des aimants permanents, et combinées de faiçon que, lorsqu'on y introduit un courant produit par une source étrangère, les actions réciproques électromagnétiques ou électrodynamiques, qui s'exercent entre différents oignes, sont utilisées pour provoquer un déplacement relatif de ces organes. La continuité du mouvement est obtenue, soit i Taide de contacts glissants, soit avec des commutateurs qui modifient la direction du courant dans la machine.

Ces machines pourraient être construites de manière à recevoir un travail uniforme lorsque Tintensité du courant est constante, ce serait le cas de la roue de Faraday «,53«) ; mais le plus souvent les actions sont périodiques, et le mouvement relatif des organes, oscillatoire ou rotatif, fait naître à chaque instant une force électromotrice d*induction E de sens contraire à celle Eo du courant excitateur.

Lorsqu'un régime régulier est établi, le travail des actions réciproques est utilisé uniquement à vaincre des résistances extérieures, puisque la vitesse reprend la même valeur au bout de chaque période.

L'énergie dépensée par la source, pendant chaque période 0, est égale au travail extérieur augmenté de l'énergie qui correspond à réchauffement des conducteurs. Si l'on appelle R

CAS PARTIGULIKRS D'INDUCTION. 607

la résistance du circuit, on a donc

(58) r^jcit = r^dt -+. r Ew/.

Dans le cas général, les valeurs des intégrales dépendent de la loi suivant laquelle varie le courant pendant la durée d'une période ; mais, si l'intensité est sensiblement constante, Téquation (58) se réduit a

(59) (E.-E)=IR

Le rendement p d'un pareil moteur est le quotient du travail extérieur El, pendant l'unité de temps, par l'énergie totale

dépensée EJ, ou le rapport -r; de forces électromotrices. En

désignant par I» Tintensiié du courant que produirait dans le circuit en repos la force électromoirice E», on a donc

ffi \ ^ IR , I

Le travail extérieur lui-même a pour expression (6.) EI = ii5jZi) = RI(l.-I).

Si la force électromotrice extérieure est constante, ce travail est maximum lorsque le mouvement réduit de moitié l'intensité du courant, et le rendement est alors égal à o,5o.

Si le travail extérieur est très faible, la vitesse du moteur croit très rapidement, avec ou sans limite, suivant le mode de construction ; la force électromotrice d'induction tend à devenir égale à la force éiectromotrice extérieure et le rendement tend vers l'unité.

559. Éieetromoteun. — Lorsqu'un moteur électrique est mis en mouvement par une machine étrangère, il devient le siège d'une force éiectromotrice de signe contraire à celle

<$0^ ÉLECTROXAGXtTIS».

qui produirait le mouTcment et le circuit qui le constitue» s*il est fermée est en général parcouru par uo courant électrique. L'appareil devient alors un producteur d'électricité , ou un électromoteur.

Supposons que, pour une cause temporaire quelconque, il existe dans le circuit un courant d'intensité i ; si le traTail El, absorbé par la force électromotrice d'induction, est supérieur àTéncrgie calorifique dégagée dans les conducteurs^ le courant ira croissant jusqu*à ce que Ton ait

((>o) E1 = PR.

Si la condition r]>iR est satisfaite pour un courant infiniment petit, la machine, une fois en mouvement, s'amorcera d'elle-même et donnera pour le régime régulier un courant déterminé par Téquation précédente (6^). Lorsque l'on a, au contraire, E<iR pour un courant infiniment petit, le travail extérieur ne peut faire naître et maintenir un courant électrique, à moins que l'on n'introduise d'une manière artificielle dans le circuit un courant d'intensité telle que la condition E^/Rsoit réalisée, après quoi la force électromotrice étrangère pourra être supprimée, sans que le courant cesse de se maintenir.

Une machine employée comme électromoteur pourra donc être capable ou non de créer un courant électrique ou d'entretenir un courant déjà établi, suivant la valeur de la résistance totale, ou, ce qui produit un effet analogue, suivant la nature du travail extérieur que l'on veut faire produire au courant. Comme la force électromotrice d'induction, toutes choses égales d'ailleurs, est proportionnelle à la vitesse de * la machine, on voit que, pour une résistance totale et un travail extérieur donnés, l'électromoteur sera d'autant plus facilement capable de produire et d'entretenir un courant i, que sa vitesse sera plus grande. *

Considérons deux cas extrêmes :

1^ Si une machine est composée d'aimants permanents qui produisent un champ magnétique invariable dans lequel se meuvent des fils conducteurs, comme serait la roue de .

Faraday, par exemple^ ]a force électromotrice est simplement * proportioanelle au nombre n de tours ou d'oscillatioQB de la machine, pendant i*unilé de temps, et peut être représentée par /zEf. A vitesse constante, une pareille machine se comporte exactement comme une pile ordinaire. Elle est toujours capable de produire un courant dans un circuit métallique, puisque la condition E>iR a toujours lieu lorsque le couran est très faible.

2*" Si la machine est composée de fils fixes et de fils mobiles ' (ou de deux systèmes d'électro-aimants, pourvu qu'on reste entre les limites dans lesquelles Taimantation est proportionnelle à la force magnétisante), la force électromotrice E est proportionnelle à Fintensité du courant et peut être représentée par nk\. Une machine de cette nature ne peut produire et entretenir un courant, que si la vitesse est assez grande pour qu'on ait /iA>R. Pour toute valeur de n supé-

rieure à Y' l'intensité du courant augmente rapidement jusqu'à ce que la résistance du circuit, par suite de la chaleur dégagée, ait atteint la valeur n\.

Supposons que le courant ait à vaincre à l'extérieur une force électromotrice E'.

IjC rendement de Tappareil, comme dans le cas d'une pile, a pour valeur

E IR

et le travail utilisé pendant Tunité de temps est

I Le rendement est encore d'autant plus voisin de l'unité

que le courant est plus faible, mais on ne peut plus dire, pour une machine quelconque, dans quelles conditions le travail utile sera maximum.

Si le travail extérieur n'est autre que la mise en meuve-» ment d'une seconde machine identique à la première, les forces

Electr. et Magn, I — 39

610 ËLECTROMAGNÉTISXB.

électromotrices E et E' sont proportionnelles aux nombres de tours n et n des deux machines et à une même fonction ^ (I) de rinicnsilé. Le rendement

est <'*;:al au rapport des vitesses des deux machines, et le travail .ilile pendant Tunité de temps a pour expression

L'intensité I étant une fonclion de n^n\ le travail utile maximum ne peut être détermine que si Ton connaît la forme de la fonction 9.

558. — L'élude particulière des différentes machines dépend de la loi suivant laquelle la force électromotrice est liée à rintcnsilé du courant.

Dans les machines à électro-aimants, par exemple, Taimantation est d'abord proporlionnclle a Fi ntcnsité du courant, et tend ensuite vers une limite maximum. La force électromotrice d'induction E est aussi proportionnelle à Tintensité du courant pour les courants faibles et tend vers une valeur maximum.

Lorsque l'intensité du courant est voisine de celle qui donne le maximum d'aimantation, la force électromotrice est sensiblement constante et le rendement de la machine employée comme moteur est encore égal à o,5o quand le travail utile est maximum.

Toutefois, le problème des électromoteurs est en réalité moins simple, même lorsque le sens des courants ne change pas, soit par le jeu naturel de la machine, soit que par un commutateur on redresse les courants dans le circuit extérieur. H y a presque toujours des oscillations périodiques de rintensilé dont on ne peut pas négliger l'influence.

La difficulté est encore plus grande quand on utilise direc-

CAS PARTICULIERS DMNDUCTION. 6l«

tement les courants alternatifs que produisent certains types de machines. Nous y reviendrons avec plus de détails dans la seconde partie de cet ouvrage.