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A70. Éncririe potentielle dee covFante. — Considérons différents circuits C^^G.^yC^,,. dans lesquels les intensités des courants sont I,, I^, I3,. ; soient L,, L,, L,,... leurs coefGcients de self-induction, etM^.j, M,.3,Mj.3,.., leurs coefficients d'induction mutuelle.
Les flux de force qui traversent chaque circuit sont
Q.^LJ^-hM^Ja+M^jIj-h ,
622 ÉLECTROMAGMÉTISME.
et l'énergie potentielle de l'ensemble des courants {&z%) est
(5) W=^(Q,ï, + OA+ )=^^0I.
D'après Téqualion (i), on a donc
Le courant qui traverse la section S de Tun des conducteurs a pour composantes, en donnant à i/, v et iv la même signification que plus haut (ae9),
dz as
Si Ton remarque, en outre, que le produit ^ds représente un élément de volume, on aura
W -:^ // fr " + Gv'-h mo)dxdjdz.
Iîem[)laçant enfin les composantes //, v, tv par leurs valeurs tirées des équations (4)} on obtient
On peut intégrer par parties chacun des termes, ce qui donne, par exemple,
Tf ^ dxdj dz = FYdxdj - Ty ^ dxdjdz .
PROPRIÉTÉS DU CBAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE. 623
En répétant la même opération pour tous les autres termes, il vient
Si Ton étend cette expression à tout Tespace renfermé dans une surface très éloignée qui comprend le système total des aimants et des courants, la première intégrale, relative à la surface même, est nulle, puisque les composantes de la force magnétique sont en raison inverse du cube de la distance. D*autre part, en remplaçant dans la seconde intégrale les termes compris entre parenthèses par leurs valeurs tirées des équations (2), on obtient
W = 1^ fff{^' + Y^ + Z^) dxdjrdz,
' ou, en appelant 9 l'induction magnétique en un point, c'està-dire le produit de la force par \i..
L'énergie potentielle des courants peut donc être exprimée par une intégrale (5) qui renferme les courants eux-mêmes,
. ou par une intégrale (6) relative a toutes les parties de l'espace dans lequel exisleni des forces magnétiques. Dans le premier cas, Faction réciproque des courants est considérée
- comme s'exerçant directement a dislance ; dans le second cas, cette action résulte de l'élasticité du milieu intermédiaire. Si Ton adopte cette manière de voir, on voit que l'énergie potentielle du milieu en chaque points par unité de volume, a pour expression
e,n ELECTROMAGNÉTISME.
B7 1 • népUcemcnt Fclatlf ûeu eîwmîtm. — LeS rormulcs { .
correspondent au cas où, le circuit étant immobile, Tinduction est due aux seules variations du champ; alors les quantités F, G et H sont en chaque point seulement des fonctions du temps. Mais si, tout en laissant le champ variable, on déplace ou on déforme le circuit, les coordonnées x. y . z doivent être considérées elles-mêmes comme des fonctions du temps. L'équation (i) doit s'écrire alors
La force électromotrice utilisée pendant le temps dt est — ^0, de sorte que la force électromotrice d'induction e, à un instant donné, a pour expression
fy)
J \:>z:>s~^:>z tV "^ :>z ^sJTt J \^t :)5 ^t i>s ^t tV/ '^'
Considérons le premier terme de Tinlégrale, et substituons aux dérivées partielles^ et ^ leurs valeurs tirées des équations (s*); ce terme devient
/V X7^^ rj^r ^Fdx ;)F^r dFdA^'^j^ / \ ^v ^5 T^x ^s ^j ^s ^z ^s ) ^t
on
Oa obtiendra des résultais analogues en opérant de même pour le deuiième et le troisième termes. Remarquons, en outre, que Ton a
et que les groupes de cette forme disparaissent quand on étend riatégrale à un contour fermé.
La valeur de la force électromotrice se réduit donc a
Chacun des trois groupes que renferme la parenthèse représente la force éiectromotrice qui agit à un instant donné sur Tunité de longueur parallèle à Tun des axes. Si on suppose, en outre, que le champ renferme des masses électriques donnant un potentiel ^, les valeurs les plus générales des composantes P', Qy R de la force électromotrice seront
