CHAPITRE DIXIEME

618. Idées d*Ampère. — Pour établir la formule élémentaire des actions électrodynamiques, Ampère s'est appuyé seulement sur Thypothëse des forces centrales et sur certains faits d'expérience, sans faire intervenir aucune vue particulière sur la nature même des courants électriques. Toutefois, dès Tannée 1822^ il « cherchait à rendre raison de la force « qui a lieu entre deux éléments de fils conducteurs par la réac- « tion du fluide répandu dans Tespace et dont les vibrations « produisent les phénomènes de la lumière. » Ampère indique encore une autre manière de concevoir les phénomènes : « Quand on suppose que les molécules électri- « ques, mises en mouvement dans les fils conducteurs par « Faction delà pile, y changent continuellement de lieu, s*y <( réunissent à chaque instant en un fluide neutre^ se séparent u de nouveau y et vont aussitôt se réunir à d*autres molécules « du fluide de nature opposée, il n'est plus contradictoire d*ad- <( mettre que des actions en raison inverse des carrés des dis- « tances qu'exerce chaque molécule, il puisse résulter entre <( deux éléments de fils conducteurs une force qui dépende u non seulement de leur distance, mais encore des directions ^< des deux éléments suivant lesquels les molécules électriques <( se meuvent, se réunissent à des molécules de l'espèce opposée, « ets'enséparentrinstantsuivantpouraller s'unir à d'autres. » {Mémoires de rinstitut pour 1823, p. 294 et 299.) Ampère n'a pas poursuivi le développement de ces idées; il ne pensait pas que le moment fût encore venu de le faire utilement.

680 ÉLECTROMAGNÉTISME.

Les hypothèses d'Ampère ont été reprises par différents physiciens, en particulier par Weber et par Maxwell ; nous donnerons un exposé sommaire des théories proposées.

•lO. Formules de CSanu et de V^eber. — Si ToU fait intCF-

Tenir les actions réciproques des masses électriques qui circulent dans les conducteurs, il est nécessaire que Taction de deux masses électriques m et m' soit une fonction, non seulement de leur distance r, mais aussi de leur mouvement relatif, et le problème ainsi posé parait indéterminé. Une des hypothèses consiste à admettre que celte action, tout en restant dirigée suivant la droite qui les joint, et proportionnelle au produit des masses et en raison inverse du carré de la distance, comprend un terme proportionnel à une puissance de la vitesse relative u des deux masses et un autre terme proportion-

dr nel à une puissance de leur vitesse relative j- parallèlement à

leur distance. Ces puissances doivent être paires, si Ton veut que Taction ne soit pas modifiée quand on change à la fois le sens des deux mouvements, comme pour les courants euxmêmes, et on satisfait au problème en les prenant égales à 2, ce qui donne la loi élémentaire

Weber a examiné d*abord les cas simples de deux éléments situés sur le prolongement Tun de Tautre ou perpendiculai* rcs à une même droite. Dans le premier cas, il faut admettre que Taction de deux masses renferme un terme qui dépend de leur vitesse relative, et il a supposé que ce terme était proportionnel au carré de la vitesse. Le second cas conduisit Weber à faire intervenir Taccélération suivant la même droite, et Thypothèse la plus simple était d'admettre que . ce nouveau terme est proportionnel à l'accélération. Il en . résulte une autre loi élémentaire

11 reste à déterminer les coerficients a, ^, a et ^' qui entrent dans ces deux expressions (i) et (2).

620. — Considérons d'abord deux mobiles qui se meuvent respectiyement sur deux courbes fixes s et 5', avec des vitesses constantes if et sf\ Lorsque les deux mobiles parcourent les éléments ds et ds\ situés à la distance r et faisant entre eux Tangle e, on a

u' = (^ — 2i't''cos e -h s^'^f

ds . , ds dt dt

On en déduit

dr ^rds 'dr ds ^r ,'dr

. dt 'bsdt ^s dt Tis ^s**

Si Ton suppose que les deux courbes s et 5' sont le siège de courants d'intensités I et F, Taction des éléments ds et ds est, d'après la formule d'Ampère (351), et en considérant la force comme répulsive,

f ' ,^, tiMdsds'r 3 Dr Dr! :tlVdsds F DV iDrî/l

^ j (3) — Hr-r^^n5757r— ;^r5;5?"-;r5y^

i{ 621. — Supposons maintenant que Télément ds contienne

des masses électriques m et rriy, animées respectivement des vitesses v et v^, et que Télément ds' renferme, de même, des masses m' et m[ avec les vitesses / et v[. Si on évalue les actions des masses m et m^ sur les masses m' et m^ d'après les formules (i) et (2), la résultante devra reproduire la loi d'Ampère, sous l'une ou l'autre des deux formes (3), et, par suite, ne renfermer que les termes dans lesquels le produit ('/des vitesses est en facteur.

Les termes qui renferment les carrés des vitesses sont, à un facteur près,

(mç^-h/Wi(',')(m'4-m,'), et (m V'*4- ml ('^J (m4-mi).

€82 ÉLEGTROMAGNÉTISME.

Pour que ces termes soient nuis, ii faut qu'on ait (4) mi''-hmiÇ'î = o, ou m'4-mî=o.

Ces deux conditions sont réalisées à la fois, si Ton admet, avec Weber, qu'un courant électrique d'intensité I est formé de deux courants d'électricités contraires, marchant avec la même vitesse v en sens opposés, et ayant chacun une intensité moitié moindre. Il est même nécessaire d'admettreque la somme algébrique des masses électriques qui existent dans chaque élément de courant pour l'état permanent est nulle, si l'on veut satisfaire à la condition (203) que la densité dans le conducteur soit nulle ; mais, sans rien préciser sur le rapport des masses électriques de signes contraires, il suffirait que la somme mir^-hmyi fût nulle dans chaque élément, c'est-à-dire qu'il s'y trouvât des masses électriques de signes contraires ayant la même force vive.

La quantité d'électricité qui traverse la section du premier conducteur pendant l'unité de temps est égale à mf-f-mi^'i; si Ton désigne par a le nombre d'unités électrostatiques que renferme l'unité électromagnétique, on a

En admettant l'existence de courants égaux et opposés, ces équations deviendraient

Quand on évalue l'action des masses m et mi sur les masses m' et m[, les termes qui dépendent du produit des vitesses sont^ avec la première hypothèse,

'^rr'—,{rnv-^myV{j[m V -^m^v^ — -3(mi'-hmt«'i)(m i'4-m,t'i)C0S6,

THftORIBS GÉNÉRALKS. 683

c'est-à-dire

^IVJsds

[a^acose— û*3^-^ ;

et, avec celle de Weber,

ou

all'dsdsr ,^, Tll^r ^ ,^r T^rl

Quant au terme indépendant du mouvement relatif, il est 1 dans les deux cas égal à ^ ^—^ -» Ce terme doit être

i nul s'il y a dans chaque fil deux courants égaux et de sens \ contraires; sinon, il représenterait une action électrosta- J tique entre les conducteurs, phénomène que Texpérience n*a

I pas constaté jusqu'à présent.

Pour satisfaire à la loi d'Ampère, il faut donc qu'on ait, dans le premier cas,

et, dans le second,

^ Les expressions (i) et {'jl), qui donnent Taction élémentaire

% de deux masses électriques, deviennent alors

622. — La première expression (i)', trouvée dans les manuscrits de Gauss, est incompatible avec le principe de la conservation de l'énergie, car elle conduirait à cette conséquence

684 ÉLEGTROMAGNËTISME.

qu'un système physique limité peut produire une quantité d'énergie indéfiniment croissante.

La formule de Weber, au contraire, est compatible avec ce principe. En effet, l'expression de la force (2)' peut être considérée comme la dérivée par rapport à r, prise en signe contraire, de la fonction

Le travail produit par la répulsion d'une masse fixe sur une masse mobile est égal à la différence ^^—^^ des valeurs de la fonction t|; relative à ces deux masses pour la position initiale et la position finale. La fonction t|; peut être considérée comme représentant Ténergie potentielle du système des deux masses : elle ne dépend que de leur distance et de leur vitesse relative suivant la droile r; elle reprend la même valeur lorsque Tune des masses décrit par rapport à l'autre un chemin fermé et reprend la même vitesse aux mêmes points.

Puisque l'induction est une conséquence de la loi d'Ampère et du principe de la conservation de l'énergie, la formule de Weber, qui satisfait également à ces deux conditions, doit donner l'induction.

•23. — Cette formule permet aussi d'obtenir directement l'énergie potentielle relative de deux circuits fermés. En effet,

dr si on remplace -r- par sa valeur en fonction des vitesses des

masses électriques, on trouve, dans Thypothèse de Weber, que le potentiel d'un des éléments sur l'autre a pour expression

Hds,ds')=-lVdsds'l^f/S,.

L'énergie potentielle de deux circuits est donc

(») w=-.r//iï|^*./=.i'//ï^'**'.

Cest la formule de Neumann trouvée plus haut (353).

Lorsque les courants sont constants et parcourent des cir- \ cuits de forme inTariable, la résultante des actions exercées * par Tua des courants sur une masse quelconque m' de l'autre i 'est normale à sa trajectoire.

•2JL. PhéMomèBM 4*iM4«ctioM. — Supposons maintenant que les circuits se déplacent et que les intensités soient varia- ] blés. La distance r, au lieu d'être, comme ci-dessus, fonction seulement de deux variables indépendantes s et s\ est en .outre une fonction du temps, et l'on a r=(^{s,s\t). Pour une valeur donnée de f, la fonction 9 représente la distance de deux éléments du circuit; si t est variable et que l'on considère 5 et/ comme des fonctions de t, la valeur de 9 représente la distance de deux masses électriques en mouvement sur les conducteurs mobiles. Quant aux vitesses v et v\ si le conducteur a une section constante, elles ne dépendent point de s et de s\ en tant que variables indépendantes, puisque à chaque instant Tintensilé a la même valeur en tous les points du circuit. On aura donc, pour la vitesse relative des deux masses,

dr Dr ,7^r 'dr at D5 D5 Tit

et, en considérant les dérivées ^ et --> comme des fonctions des et 5' seulement, l'accélération relative sera

rfV .DV , DV ,,DV -bv^dr Wl>r D^Dr

■ u* -1- o nu \ V' I I I C*

dt^ bs^^ T^sbï^ ;)5'^ DfD5 DtD/ DfD5

bs bs Dt^

I La vitesse^ et l'accélération -7-3 sont relatives aux masses

Vj électriques, tandis que les termes— et 7-5- du second mem-

:it ^^ Df^

bre sont relatifs aux distances de deux éléments des deux circuits.

ÉLECTROMAGNÉTISME.

L'action mécanique de ils sur ih' s'obliendra, comme plus haut, en faisant la somme des actions que les masse»; de l'élément dx exercent sur celles de l'élément eh'. Avec la formule et rhypolhèse de Weber, on reconnaît aisément qu'il ne resle dans cette somme, comme précédemment, que les termes en tv', et avec les coefficients déjà Irouvés. Il en résulte que, daus l'étal variable, l'action mécanique est à chaque instant conforme à celle que donnerait la formule d'Ampère.

eas. — La force électromotrice qui agit sur l'élément ds' est la force qui tend à séparer les masses égales et de signes contraires contenues dans cet élément, et à les enlraîner en sens opposés. On en obtiendra la valeur en prenant la différence des actions exercées dans la direction de l'élément d.s\ sur chacune des masses qu'il contient, par les deux masses de l'élément ds. Or, quand on fait la sommedesaclions des deux masses -i-m et — m de l'élément ds sur l'une des masses m de l'élément ds, les termes qui subsistent sont les

termes en v, vv et -j-, qui changent de signe en même temps

que m. Parmi ceux-ci, les seuls qui resteront dans la diflérence finale sont ceux qui changent de signe avec la vitesse i-, quel que soit d'ailleurs le signe de v. Ces termes se réduisent

à deux, l'un provenant de ( -,- J et qui est iv — — t l'autre prn-

venant de -j-r, qui est— — ■ al' ^ dt is

La différence ainsi calculée est égale à

en tenant compte des équations (6) et supposant l'intensité ]

égale à l'unilé dans l'élément ds'. '

11 faut prendre la composante de cette action suivant ds' et, .

par suite, multiplier l'expression précédente par^; en remarquant que l'on a

la force électromotrice élémentaire devient

d^E=l^l^l(l]dsdï.

La force éleclromotrice totale, produite dans le circuit s' par le circuit 5, s'obtiendra en intégrant cette eipression par rapport à 5 et à 5'. Comme l'intensité I est seulement une fonction du temps, et que les limites de l'intégrale sont elles-mêmes indépendantes du temps, on peut écrire

b) ^=ji^mi>''-

On aura donc (353)

ce qui donne l'expression générale (^^h) de la force électromotrice produite dans un circuit par un courant extérieur. On retrouverait, de même, les autres cas d'induction.

626. DifféreMii «Mais de théorie. — De nombreuses tentatives ont été faites, à l'exemple de Weber, pour réunir dans une même théorie les phénomènes de l'électricilc statique, les courants permanents et les effets d'induction, et pour établir i|n lien entre l'électricité, le magnétisme et la lumière.

I Gauss a émis Topinion que les actions électriques ne doivent

pas se produire instantanément et qu'on doit trouver la clef des phénomènes électrodynamiques si l'on peut établir la loi

?| de propagation des forces électriques.

Différents mathématiciens ont traité le problème dans cet ordre d'idées. On peut expliquer, par exemple, les phénomènes d'induction en admettant que le potentiel électrique se propage dans le milieu avec une certaine vitesse, qui serait la vitesse même de la lumière, d'après B. Riemann, ou d'un ordre tout différent, suivant la théorie de C. Neumann.

M, Betti a-^âimile raction des coaraats à celle d*ua système rlaimanU élêmenUires, taogeats en chaque point au contour 4«i eireoitâ et polarisés périodiquement en sens contraires, et il /considère la force magnétique comme transmise dans le milieu arec une certaine vitesse.

M. L/>renz a montré, de son côté, qu'en ajoutant aux équations données par M. Kircbhoff sur les courants électriques des termes contenablement choisis, qui n'altèrent aucune conséquence eipérimentale, on obtient une nouvelle série d'équations, qui indiquent une action de proche en proche entre les éléments du milieu, et un phénomène d'ondulation se propageant arec la ? itesse de la lumière. Il arrive ainsi à des résullats tout à fait semblables à ceux que Maxwell ayait déduits d'une théorie entièrement différente.

Dans le même ordre d*idées, M. Ediung a essayé de montrer que les phénomènes électriques, tant statiques que dynamiques, se laissent expliquer à laide d*un seul fluide qui, selon toute probabilité, n'est autre chose que Téther.

M. Ediung admet que tous les corps à Tétat neutre renferment une quantité normale d'éther, et qu'une électrisation, positive ou négative^ correspond à une dose d*éther supérieure ou inférieure à la charge normale. Un corps électrisé dans un espace neutre ne subira aucune action, par raison de symétrie, quelle que soit sa charge électrique. On en déduit facilement que Taction de deux corps est proportionnelle à Texcès de leurs charges respectives sur les charges normales.

Un courant électrique n*est alors qu'un transport d'éthcr dans un sens déterminé; si l'on admet ensuite que l'action des deux masses dépend de leur vitesse et de leur accélération relative suivant la droite qui les joint, on arrive, par une marche analogue à celle de Weber, et en déterminant certains coefGcients par Tidcntification des formules avec les résultats de rexpérience, a rendre compte des lois d'Ampère et des phé-» nomcncs d*induction.

Toutes les théories qui précèdent impliquent Texislence d'un milieu intermédiaire; car, si un effet mécanique quelconque, force ou potentiel, se transmet avec une vitesse unie i d*une particule à une autre, il est nécessaire qu'un milieu de

structure convenable en ait été le siège pendant que cet effet a quitté la première particule et n*a pas encore atteint la seconde. Maxwell a fait intervenir directement les propriétés de ce milieu et il est parvenu à établir, entre les phénomènes électriques et les phénomènes lumineux, des relations numériques remarquables, conformes à Texpérience.

•27. Théorie électromm^M^tl^me de la lumière . — Nous a VOUS

VU, à plusieurs reprises, combien les différents phénomènes d'électricité et de magnétisme sont favorables à la conception de Faraday, qui consiste à abandonner Tidéedes actions à distance, et à considérer les forces comme transmises par les réactions élastiques d'un milieu intermédiaire. C'est une hypothèse analogue à celle qui sert de base aujourd'hui à la théorie physique de la lumière, mais il serait contraire à l'esprit scientifique d'imaginer ainsi autant de milieux différents qu'il y a de phénomènes à expliquer, comme on le faisait autrefois par les hypothèses distinctes du fluide calorifique, des fluides électriques et des fluides magnétiques.

Le grand problème que soulève la philosophie de la science est donc de connaître la constitution d'un milieu unique qui permette d'expliquer en même temps tous les phénomènes physiques. Si le calcul montre que les perturbations électromagnétiques se propagent, non seulement dans l'air, mais dans tous les corps, avec la vitesse de propagation de la lumière, la question aura déjà fait un grand pas, car il sera démontré que ce milieu existe et que, selon toute probabilité, les phénomènes électriques et lumineux ne sont que des manifestations dilTérentes des propriétés dont il est doué. Telle est la conséquence de la théorie de Maxwell. L'action, découverte par Faraday, d'un champ magnétique sur la polarisation de la lumière qui la traverse sera une conséquence naturelle du lien que le milieu commun établit entre les deux ordres de phénomènes.

628. É^uatioiiB uréiiéraies. — Pour déterminer les conditions de propagation d'une perturbation électromagnétique dans un milieu, nous supposerons ce milieu en repos, c'est-à-dire soustrait à tout autre mouvement que celui qui résulte de la perturbation elle-même.

Êiectr. et Mugn, I — 4 4

Ij^ hftvéâom ^11, r) et i i da o* sts donoent

u — Pc,

On en dé'luit

équation qu'on peut écrire sous la forme symbolique

I^e milieu étant immobile, les dérivées des coordonnées par rapport au temps sont nulles. Les équations (lo) du n"* 271 donnent alors

il en résulte

(...) 4,„'=(4,c+K|)('l+gj.

On a d'autre part^ par les équations (ir«j du n"" 572,

<!t les équations (st) du n"" 569 donnent

|A 7---— =— r h— -+-r~)-AF=r- AF,

un posant

^ df ?g dh

^x ^jy T^z

TH&ORIES GÉNÉRALES. 69t

Si on substitue cette valeur dans Téquation (i3), il vient ■ ("i) 4.«'=:x(g-AF).

En éliminant u entre les équations (i3) et (i4) et répétant des opérations analogues pour les autres coordonnées, on obtient finalement

Si on prend les dérivées partielles de ces équations, respectivement par rapport à x^y, z, et qu*on les ajoute, il vient

Lorsque le milieu n'est pas conducteur, ci=o, et la valeur de l'I, qui est proportionnelle à la densité de rélectricité libre, est indé-

pendante du temps. 11 reste alors^r-j-^o, c'est-à-dire que 9 est

une fonction linéaire du temps, ou une quantité constante. Ces deux fonctions et t|/ ne joueront donc aucun rôle dans tes phénomènes dus aux perturbations périodiques.