THÉORÈME DE GREEN

Pour pousser plus avant l'étude de Ja fonction potentielle, nous aurons souvent besoin de faire usage d'une identité analytique dont l'énoncé porte le nom de théorème de Green.

Pour démontrer cette égalité, nous nous appuierons sur un lemme que nous allons tout d'abord établir.

Considérons un espace clos limité par une surface simplement connexe ou à connexions multiples. Soient U et F deux fonctions de x^y^ z, qui sont finies, uniformes et continues en tous les points de cet espace et de la surface qui le limite, et dont les dérivées partielles par rapport à x sont finies en tous les points du même espace et de la surface qui le limite.

Envisageons l'intégrale

dF

. dxdydz,

dx -^

étendue à cet espace. Nous allons, au moyen d'une intégration par parties, transformer cette intégrale.

Soit M un point de la surface qui limite l'espace considéré. Menons en ce point une normale à la surface vers l'intérieur de cet espace. Désignons par (N/, x) l'angle formé par cette normale ainsi dirigée avec la direction positive de l'axe des x.

Menons, au point M, une parallèle à la direction positive de l'axe des X. Si, au point M, cette parallèle pénètre à l'intérieur de l'espace considéré, l'angle (N/, x) sera aigu. Il sera obtus si cette parallèle sort de l'espace.

Menons un plan perpendiculaire à l'axe des x^ laissant entièrement du côté des x positifs l'espace considéré. Tous les points de cet espace se projettent sur ce plan à l'intérieur d'une certaine courbe fermée, à connexion simple ou multiple, qui est le contour apparent de cet espace. Divisons l'aire intérieure à cette courbe fermée en éléments superficiels.