OHAP. II. — LA FONCTION POTENTIELLE HORS DES CHARGES. II
Pour chacune des surfaces électrisées que renferme le système, formons l'intégrale double
y.dS,
7 étant la densité superficielle en un point de l'élément dS, et r la distance de ce point au point M (x, y, z).
Ajoutons ensemble toutes les intégrales ainsi obtenues, et nous aurons la valeur de la fonction potentielle au point M
(4) \{x,y,z)=^JJJUadbdc+^^~dS.
La fonction V ainsi définie est une fonction des coordonnées x^ y, z du point M.
Le point M demeurant à dislance finie de tous les points électrisés, r est toujours différent de o. L'élément soumis à l'intégration est toujours fini; il \arie d'une manière uniforme et continue avec les coordonnées x, y, z du point M. La quantité V est donc une fonction uniforme, finie et continue des coordonnées x, y, z du point M.
Lorsque l'une des trois variables x, y, z croît au delà de toute limite, toutes les quantités r croissent au delà de toute limite ; tous les éléments sous le signe d'intégration tendent vers o, et il en est de même de la fonction V. Mais les produits ^V, J'Y, ^V gardent en général, dans c^cas, des valeurs finies.
On a évidemment, en vertu de l'égalité (4),
J^w dy't dzP ~ jk^J J J ^ dx"^ dy^dzP
<s , , — - - dS.
dx"^ dy^ dzP
De cette formule, on déduit aisément la conclusion suivante :
Lorsque le point M reste extérieur aux masses agissantes, les dérivées partielles d'ordre quelconque de la fonction potentielle au point M par rapport aux coordonnées de ce point existent et sont des fonctions uniformes, finies et continues des coordonnées de ce point. Toutes ces dérivées tendent vers o lorsque le point M s'éloigne indéfiniment. Le produit d'une dérivée quelconque d'ordre p
Il LIVRE I. — LES FORCES ELECTROSTATIQUES.
par une fonction homogène et du degré p des variables jc, ^, ^ tend également vers o dans ce cas, tandis que le produit de la même dérivée par une fonction homogène et de degré (/> + i) des mêmes variables demeure, en général, fini.
La relation
(6) r^=(x — a)'i-i-(y — by-h(z — cy
donne
et, par conséquent,
r i 3{cp — ay
L'égalité (5), qui est applicable toutes les fois que le point M est extérieur aux masses agissantes, donne alors
ôx
\=-^JJJ^,dadbdc^Z^j'ff^S^^dadbdc
^^ ^c , Q VC "^i^ — aY
■ss^^^-^ss^
On a de même
dS,
Si l'on ajoute membre à membre les trois égalités ainsi obtenues en tenant compte de l'égalité (6), on arrive à la proposition suivante, dont nous verrons à chaque instant l'importance :
En tout point M, extérieur à l'espace qui renferme l'agent, on a l'égalité
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L'expression
t)2V d^\ ù'^Y dx^ dy^ dz^
se présente si fréquemment dans les calculs qu'il est utile de la représenter par un symbole ; on adopte, en général, aujourd'hui, dans les Traités français et allemands, le symbole AV. L'équation précédente devient alors
{-; bis) . AV=o.
Nous venons d'esquisser brièvement les principales propriétés de la fonction potentielle en un point extérieur à l'espace qui renferme l'agent. Ces propriétés ont une telle importance qu'il serait impardonnable d'ignorer l'histoire de leur découverte (').
Lagrange, le premier, dans ses Remarques générales sur le mouvement de plusieurs corps qui s^ attirent mutuellement en raison inverse des carrés des distances (^), a signalé la propriété fondamentale de la fonction potentielle :
« Soient, dit-il, M, M', M", ... les masses des corps qui composent le système donné \ x, y, z les coordonnées rectangulaires de l'orbite du corps M dans l'espace ; x' , y', z' celles de l'orbite du corps M', etc. 5 qu'on fasse, pour abréger,
il =
MM'
\^{x-x')^ + {y-yy^-i-(z-
MM
x/{x - x")^-^ {y—yy -t- i-s ■
et qu'on dénote, à l'ordinaire, par -t-> • • • les coefficients de dx.^ . . . ,
dans la différentielle de la quantité Q regardée comme fonction des variables x^ y, z, x'
. . . ; on aura
I du I dQ M 55' M 5k'
I dQ M dz
(') Voir Max Bacharach, Abriss der Geschichte der Potentialtheorie (Dissertation inaugurale). Wurzbourg; i833.
(») Lues à l'Académie de Berlin le 20 octobre 1777 {^Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1777, publiés en 1779, pp. i55-i74).
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pour les forces avec lesquelles le corps M est attiré par les autres corps M', M", . . . , suivant les directions des coordonnées 0",^, z,. . . . Cette manière de représenter les forces est, comme on le voit, extrêmement commode par sa simplicité et sa généralité. »
Lagrange ajoute en terminant (p. l'ji) : « On prouverait par les mêmes principes que ces théorèmes seraient également vrais si les corps agissaient les uns sur les autres par une force d'attraction mutuelle proportionnelle à une fonction quelconqvie de la distance. ))
La remarque de Lagrange paraît n'avoir pas été aperçue de ses contemporains et Laplace a dû, par ses propres efforts, retrouver la fonction potentielle; car le premier qui en fasse usage, après Lagrange, est Legendre ('), et il désigne la propriété fondamentale de cette fonction comme « un théorème que M. Laplace a bien voulu me communiquer ».
Laplace a employé, pour la première fois, la fonction potentielle en 1784, dans sa Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes. Il en a fait ensuite un fréquent usage dans la Mécanique céleste et, par là, a contribué, plus que tout autre, à révéler l'importance de cette fonction.
Dans le Mémoire (2) où Poisson a fondé l'Electrostatique théorique, la fonction potentielle a, pour la première fois, été employée dans les recherches de Physique ; le rôle qu'elle y joue n'a cessé de grandir depuis cette époque.
Le nom àç. fonction potentielle lui fut donné par Green (^) en 1828. Gauss ('*) lui donna en i84o le nom de potentiel; ce nom prête à certaines confusions; aussi Clausius (^) a-t-il proposé de
(') Legendre, Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes {Mémoires des Savants étrangers, pp. [\ii-l\i\. Paris; 1785).
(^) Poisson, Mémoire sur la distribution de l'électricité à la surface des corps conducteurs, lu à rAcadcmie des Sciences les 9 mai et 3 août 181 2 {Mémoires des Savants étrangers, p. i; 181 1).
(^) G. Green, An essay on the application of mathematical analysis on the théories of electricity and magnetism. Nottingham; 1828.
{*) G. -F. Gauss, Allgemeine Lehrsàtze in Beziehung auf die im verkehrten Verhàltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs Kràfte {Mémoires de Goettingue, i84o, Gauss, Werke, t. V).
(^) Clausius, La fonction potentielle et le potentiel; traduit en français par Folie. Paris; 1870.
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reprendre la dénomination de Green. Il est à regretter que cet exemple, auquel nous nous conformerons dans le présent Ouvrage, n'ait pas été suivi par tous les physiciens.
Le symbole AV, adopté aujourd'hui en France et en Allemagne pour représenter l'expression
est dû à Murphj ('). Lamé désignait cette expression par AjV, Betti par A-V, Green par 5V. Les auteurs anglais emploient volontiers les symboles VV et V- V.
L'égalité fondamentale
AV=o
est due à Laplace. On lui donne, en général, le nom d'équation de Laplace. Laplace l'a donnée, sous cette forme, seulement en '7^7 (")• Mais, dès l'^Sa (^), il avait donné l'équation, transformée de celle-là en coordonnées polaires, qui sert de point de départ à la théorie des fonctions Y„ de Laplace.
(') MuRPiiY, Elementary principles of the theory of electricity , heat and moleculars attractions. Part I, p. \!{0', i853.
(^) Laplace, Mémoire sur la théorie de l'anneau de Saturne {Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1787, pp. 249-267. Paris; 1789).
(') Laplace, Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes {^Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1782. Paris; 1785).
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