CHAPITRE PREMIEP

LE CORPS DÉPREUVE.

§ 1. — Théorie du corps d'épreuve.

Après avoir vu comment Poisson avait, par des hypothèses contestables d'ailleurs et sur lesquelles nous aurons à revenir plus tard, ramené l'étude de la distribution de l'électricité sur les corps conducteurs à un problème d'Analyse, nous avons exposé, dans ses grands traits, la suite des efforts par lesquels les géomètres ont tenté de résoudre ce problème. Nous voici arrivé à une autre partie de notre tâche ; il s'agit de tirer parti des méthodes analytiques que nous avons étudiées, d'en déduire des conséquences qui puissent servir au contrôle expérimental de la théorie de la distribution électrique. L'étude de quelques-unes de ces conséquences et leur comparaison avec les faits fera l'objet du présent Livre.

Nous commencerons par examiner la méthode par laquelle Coulomb a étudié expérimentalement la distribution électrique sur un corps conducteur, la méthode du corps d'épreuve.

Si un très petit corps conducteur, porté par une aiguille isolante en gomme laque, est électrisé, la balance de torsion dans laquelle on prendra ce petit corps pour boule fixe, tandis que la boule mobile sera électrisée par son contact avec ce petit corps, permettra aisément de déterminer des nombres proportionnels aux charges électriques prises par ce petit corps dans diverses circonstances.

28o LIVRE MI. — ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DE LA DISTRIBUTION.

Dès lors, on voit sans peine que Ion possédera une mélhode pour déterminer la distribution qu'affecte l'électricité sur un conducteur, si l'on admet l'exactitude de la proposition suivante :

Un corps conducteur, de dimensions extrêmement petites, étant mis en contact avec un autre conducteur de dimensions finies, prend une charge électrique qui est le produit de deux facteurs : i° la densité électrique qui se trouvait au point du conducteur que touche le corps d^ épreuve avant V approche de ce corps ; i° un coefficient qui dépend de la forme du corps d'épreuve et de sa situation par rapport au plan tangent au conducteur en son point de contact avec le corps d'épreuve.

Cette proposition a été énoncée par Coulomb qui en a ébauché une démonstration ('). On peut, comme nous l'allons voir, donner à cette démonstration une forme plus précise, bien que l'on puisse encore opposer quelques critiques à son absolue rigueur.

Cette démohstration reposera sur le lemme suivant (") :

On considère deux systèmes de conducteurs homothétiques V un de V autre, dont le rapport d' homothétie est \. On suppose que les charges électriques que ces conducteurs portent en leurs points homologues soient aussi dans le rapport \. La fonction potentielle aura la même valeur en des points Jiomologues de ces deux systèmes.

Si, au lieu de placer aux points homologues des deux systèmes des charges qui soient entre elles dans le rapport d'homothétie, on considère deux systèmes renfermant seulement de l'électricité superficielle, et si Von suppose quaux points homologues de ces deux systèmes les densités superficielles soient les mêmes, il est aisé de voir que des éléments homologues porteront des charges qui seront entre elles comme le carré du rapport d'homothétie ; aux points homologues des deux systèmes, les valeurs de la fonction potentielle seront entre elles comme le rapport d'ho-

(') Coulomb, Sixième Mémoire sur l'Électricité. Suite des recherches sur la distribution du fluide électrique entre plusieurs corps conducteurs ; détermination de la densité électrique dans les différents points de la surfj.ce de ces corps. {Mémoire de l'Académie des Sciences pour 1788, p. 676.)

{') J. MouTiER, Cours de Physique, t. I, p. 4o6.

ClIAP. I. — LE COUPS D EPREUVE.

molhétie ; les dérivées partielles du premier ordre de la fonction potentielle auront les mêmes valeurs aux points homologues des deux systèmes.

Cette dernière conséquence nous montre que, si l'équilibre électrique est établi sur le premier système, il l'est aussi sur le second.

Gela posé, soit un corps électrisé et isolé G (/?^. 5o). Tl porte

Fig. 5o.

en chaque point une densité superficielle D. On en approche un corps isolé et à l'état neutre E qui vient le toucher au point P en occupant une position déterminée par rapport au plan tangent TT'. L'électricité se distribue d'une certaine manière sur le corps E. Soit A sa densité au point m de la surface du corps E.

Si l'on maintient invariable le corps G, mais si, par homothétie, on réduit les dimensions du corps E dans un certain rapport "k, le centre d'homothétie étant en P, la densité A tend vers une certaine limite d que nous nous proposons de déterminer.

Pour cela, prenons l'état qui correspond à une certaine valeur A du rapport d'homothétie. Le corps E a été transformé en un certain corps e dont les dimensions sont à celles du corps E dans le rapport À. Soit 0 la valeur que prend, dans cet état, la densité A.

Formons un système homothétiqiie à celui-là, le rapport d'homothétie étant y Le corps e redeviendra le corps E, mais le conducteur G sera remplacé par un conducteur semblable et plus grand. Si, sur ce dernier, la densité avant le contact du corps E est la même qu'au point homologue du corps G, on voit aisément qu'après le contact la densité sera la même aux points homologues des corps E et e.

On voit donc que, au lieu de traiter le problème primitivement énoncé, on peut traiter le problème suivant : sans changer les

282 LIVHE III. — lirCDE EXPÉRIMENTALE DE LA DISTUIBUTION.

dimensions du corps E, on iransforme par homolhétie le corps C, le centre d'homolhétie étant en P et le rapport d'homothétie étant un certain nombre [x qui ci^oît au delà de toute limite. On suppose que la densité électrique avant le contact du corps E soit la même en deux points homologues.

On demande vers quelle limite d tend la densité A en un point du corps E après le contact.

Or l'état limite du problème est le suivant :

Une masse conductrice indéfinie est bornée au plan illimité TT'; avant le contact du corps E, le plan TT'estrecouvert d'une couche électrique ayant en tout point pour densité la densité D(P) de l'électricité qui était au point P du corps C avant le contact; on approche le corps E isolé et à l'état neutre ; quelle est, après le contact, la densité électrique d[m) au point m du corps E?

On peut admettre que l'on a

k[ni) étant une fonction de la position du point /;?, fonction dont la forme est fixée par la forme du corps E et par sa position à l'égard du plan TT'.

D'après cette expression de la charge électrique en chaque point de notre corps d'épreuve infiniment petit, on voit que la charge totale Q prise par notre corps d'éj reuve aura pour valeur

Q=:KD(P), .

K étant un coefficient qui dépend seulement de la forme du corps d'épreuve et de sa position à l'égard du plan tangent au point touché. C'est le résultat que nous avions annoncé.

Quoique, pour déterminer la valeur du coefficient K, on puisse disposer arbitrairement de la forme du corps C et de la position du point P sur ce corps, le calcul de ce coefficient ne peut être effectué que pour un petit nombre de corps d'épreuve.

Poisson ('), aj'ant résolu le problème de la distribution électrique sur deux sphères en contact, a pu déterminer le coefficient K pour un corps d'épreuve formé par une petite sphère de rayon R.

(') Poisson, Mémoire sur la distribution de l'Électricité à la surface des corps conducteurs {Savants étrangers, p. 62 ; 181 1).

LE CORPS D KPRELVK.

Il a Iroiivé

K= -^4TrR2

4Tr3R5

M. Beltrami ( ' ) a examiné le cas où le corps d'épreuve est formé par un hémisphère dont la base BB' s'applique sur le plan

Fi«. 5i.

langent TT' {^fig- 5i). Il a trouvé, en désignant par R le rajon de l'hémisphère,

K = 37iR2.

M. G. Robin (-) a traité un troisième cas. Le corps d'épreuve est le corps de plus grande attraction, dont l'équation polaire est

COS Ci I

La constante a est le diamètre ; le corps, qui est de révolution autour de son diamètre, présente au pôle un aplatissement infini. On a alors

K = 27ra-.

§ 2. — Emploi du corps d'épreuve.

Le calcul du coefficient K, souvent fort difficile, est heureusement inutile lorsqu'on se propose simplement de comparer, au

(') Beltrami, Sur la détermination expérimentale delà densité électrique à la surface des corps conducteurs {Il nuovo Cimento, 3" série, t. I, p. 2i5; 1877).

(') G. Robin, Sur la distribution de l'électricité à la surface des conducteurs fermés et des conducteurs ouverts {Annales de l'École Normale supérieure, 2" série, t. III. Supplément, p. 9; 1886).

■28 1 LIVHE m. — KTIDE EXPÉRIMENTALK DE LA DISTRIBUTION.

moyen d'un même corps d'épreuve, les densités électriques aux divers points de la surface d'un même conducteur ou de conducteurs différents, sans chercher à connaîti'e la valeur ahsolue qu'a cette densité en chaque point.

Les considérations précédentes suffisent donc à justifier l'usage que Coulomb a fait du corps d'épreuve dans ses recherches sur la distribution électrique (').

Ces recherches présentent surtout l'intérêt d'avoir fourni les premières vérifications expérimentales de la théorie, imaginée par Poisson, de la distribution du fluide électrique sur les corps conducteurs.

Nous avons vu, par exemple (p. 191), que, d'après cette théorie, en chaque point d'un ellipsoïde électrisé, la densité électrique était en raison inverse de la distance du centre au plan tangent en ce [)oint ; cette proposition est aisée à soumettre au contrôle de l'expérience. Bien que Coulomb n'ait rien laissé qui touche à ce contrôle, nous savons, par les écrits de Poisson (2), qu'il l'avait tenté et l'avait trouvé satisfaisant : «... Cette loi, dit-il, a été, en effet, vérifiée par Coulomb sur un ellipsoïde en bois, recouvert d'une lame métallique. Cet ellipsoïde de révolution avait été fait au tour par le Président de Saron, membre honoraire de notre ancienne Académie. »

Nous avonsvu également (p. 209) que Poisson (^) avait déterminé complètement la distribution électrique sur deux sphères conductrices, égales ou inégales, mises au contact. D'autre part, Coulomb ('') a fait de cette distribution une étude expérimentale

(' ) Coulomb, Cinquième Mémoire sur l'Électricité. De la manière dont le fluide électrique se portage entre deux corps conducteurs mis en contact et de la distribution de ce fluide sur les différentes parties de ces corps {Mémoires de l' Académie pour 1787, p. 421)- — Sixième Mémoire sur l'Électricité. Suite des recherches sur la distribution du fluide électrique entre plusieurs corps conducteurs : détermination de la densité électrique dans les différents points de la surface de ces corps {Mémoires de l'Académie pour 1788, p. 617).

(') Poisson, Mémoire sur l'attraction d'un ellipsoïde homogène, lu à l'Académie le 7 octobre i833 {Mémoires de l'Académie, t. XIII, p. 5oi).

(') Poisson, Mémoire sur la distribution de l'Électricité à la surface des corps conducteurs, lu à l'Académie les 9 mai et 3 août t8i2 {Savants étrangers, p. 1811, p. I.)

(') Coulomb, Cinquième Mémoire sur l'Électricité, ..., 1" Section, p. 437-

CH.vp. I. — LE CORPS d'Épreuve. 285

très complète dont les résultats ont été comparés par Poisson aux nombres déduits de ses calculs.

Coulomb mettait en contact deux sphères dont les rayons étaient entre eux dans un certain rapport b. Après le contact, on les séparait et on les éloignait l'une de l'autre. L'électricité se distribuait uniformément sur chacune d'elles, prenant sur la plus petite une densité [3 fois plus grande que sur la sphère de plus grande dimension. Voici les valeurs de [S données par le calcul et l'observation :

Rapport des densi

tés électriques

DifTérence

Rapport

des rayons.

sur les deux

spl

icres suivant

entre le calcul

et l'observation.

le calcul.

l'observation.

. . p ^ r , I Go 1

« Les deux premières différences tombent dans les limites des erreurs dont sont susceptibles les observations de ce genre ; la troisième, qui se trouve en sens contraire des deux autres, peut encore être attribuée à ces erreurs et ne prouve rien contre la théorie. Cependant, il est bon d'observer que, dans le cas où Fun des rayons est le huitième de l'autre. Coulomb n'a pas déterminé immédiatement le rapport suivant lequel l'électricité se partage entre les deux sphères : pour i^endre l'effet plus sensible, il a fait toucher la grande sphère par la petite vingt-quatre fois de suite ; puis il a conclu de cette expérience compliquée le partage de l'électricité dans chaque contact. C'est sans doute pour cette raison que la différence entre le calcul et l'observation est plus grande dans le cas de 6 = | que pour les autres valeurs de 6 (*). »

Plaçons deux sphères inégales au contact. Au pôle opposé au point de contact, sur la plus "petite sphère, sera la densité électrique maximum. Soit y le rapport de cette densité à la densité moyenne que prend l'électricité sur la grande sphère lorsque la petite a été éloignée. Les valeurs de y observées par Coulomb et calculées par Poisson sont contenues dans le Tableau suivant :

C) Poisson, loc. cit., p. 61.

286 LIVRE m. — ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DEl L.\ DISTRIBUTION.

Différence Valeurs de y suivant entre le calcul

Valeurs — ^ et

de b. le calcul. l'expérience. l'expérience.

Deux sphères égales étant au contact, si l'on désigne par h la densité électrique sur l'une d'elles à 90° du point de contact, la densité aura pour valeurs à 180°, Co" et 3o°, a/<, a'/i, a"/i.

Une sphère S en touche une autre S' de rajon double. Si l'on désigne par ]i la valeur de la densité sur la sphère à 90° du point de contact, la densité sur cette même sphère à 180" et à 60" du point de contact aura pour valeur [i/i, ^'A. A 90° du point de contact, sur la sphère S', cette densité aura la valeur ^' h.

Une sphère S en touche une autre S' de rayon quadruple. Si, sur la sphère S, la densité électrique au point de contact a une valeur h à 90° du point de contact, sur la même sphère, à 180" du point de contact, elle aura la valeur yA.

Coulomb avait déterminé par l'expérience les quantités a, a', a", [3, P', P", y. Poisson les a calculées jiar ses formules. Le Tableau suivant résume la comparaison entre le calcul et l'expcrience :

Rapports des densités électriques en différents points de deux sphères Différences

qui se touchent suivant entre le calcul

^— — — ^ -^ — et

le calcul. l'observation. l'observation.

(:ini>. II. — LES CONDUCTEURS OUVERTS. 287