LES CONDUCTEURS OUVERTS

§ 1. — Distribution électrique sur un conducteur ouvert soumis à une influence quelconque.

Coulomb ( ' ) a énoncé le premier, comme conséquence de l'expépérience, que Félectricité en équilibre sur un corps conducteur réside tout entière à la surface de ce corps. Comme cette proposition est l'une des conséquences les plus immédiates et les plus générales de la théorie de Poisson, on serait en possession d'une excellente vérification de cette théorie si l'on pouvait démontrer que, dans l'étal d'équilibre, il n'j a pas d'électricité à l'intérieur de la substance conductrice. Mais on s'aperçoit sans peine que celte vérité ne peut être démontrée ni par les expériences de Coulomb, ni par aucune expérience. On peut bien, il est vrai, creuser dans un conducteur des cavités communiquant avec l'extérieur par de petites ouvertures et prouver que les parois de ces cavités ne sont pas électrisées ; mais les points intérieurs à la masse conductrice elle-même sont inaccessibles et l'on ne peut prouver directement qu'ils sont à l'état neutre.

Les expériences que l'on décrit dans les Traités de Physique comme propres à vérifier la proposition de Coulomb sont, en réalité, des expériences propres à étudier la distribution de l'électricité sur des conducteurs ouverts^ c'est-à-dire sur des conducteurs limités par deux surfaces infiniment voisines l'une de l'autre, bornées à un même contour que l'on nomme le bord du conducteur. Telle est une calotte sphérique formée par une feuille de clinquant.

Il est donc intéressant de chercher dans l'étude de la distribution

(') Coulomb, Quatrième Mémoire sur l'électricité, où l'on démontre deux principales propriétés du fluide électrique : la première, ...; la seconde, que, dans les corps conducteurs le fluide parvenu à l'état de stabilité est répandu sur la surface des corps et ne pénètre pas dans l'intérieur {Mémoires de l'Académie pour 1786, p. 67).

288 LIVRIÎ III. — ÉTUDE EXPERIMENTALK DE L/V DISTRIBUTION.

électrique sur les conducteurs ouverts l'explication des expériences en question ; cette explication résulte de quelques beaux théorèmes dus à M. G. Robin (').

Par le contour KK' {fig. 02), nous faisons passer une aire limitée à deux côtés S. En tout point M de cette aire, nous élevons une normale sur laquelle nous prenons, de part et d'autre de la surface S, des longueurs infiniment petites MM,, MMo. Les points M,, Mo décrivent deux surfaces S,, So, infiniment voisines de la surface S et passant par le contour RK'. J^'intervalle entre les deux

surfaces S), So est rempli par une matière conductrice. Ce conducteur étant chargé d'électricité et soumis à l'action de charges électriques données, l'électricité s'y distribue de manière que sa densité soit a, au point M, et o-o au point Mo. Le problème de la distribution sur les conducteurs ouverts consiste à déterminer vers quelles limites S,, So tendent vers o-,, 0-2, lorsque les deux surfaces S(, So tendent vers la surface S.

SoitW(m)la fonction potentielle au point m de la surface S de toutes les charges agissantes. I^a fonction potentielle au point /?i sera

^s, Ml m >^Sj M7«i

La surface S étant tout entière intérieure au conducteur, cette quantité doit avoir la même valeur en tout point m de la surface S.

(' ) G. Robin, Sur la distribution de V électricité à la surface des conducteurs fermés et des conducteurs ouverts {Annales de l'École Normale supérieure, 2" série, t. III. Supplément, p. 9; 1886).

CIIAP. II. — LliS CONDLCTELRS OUVERTS. "^89

La limite vers laquelle elle tend lorsque les deux surfaces S,, So tendent à se confondre avec la surface S aura, elle aussi, une valeur indépendante de la position du point m sur la surface S. Cette limite étant évidemment

on obtient la proposition suivante

Si, SU7' la surface S, on distribue une couche électrique dont la fonction potentielle, ajoutée à la fonction potentielle des niasses agissantes, forme une somme qui ait la même valeur en tout point de la surface S, et dont la masse totale soit égale à la charge électrique communiquée au conducteur ouvert, la densité de cette couche a pour valeur (S, + So).

Ce principe servira à la détermination de (S, + Ilo); c'est ainsi, par exemple, qu'au Chapitre VllI du Livre précédent nous avons pu déterminer cette quantité pour une calotte sphérique.

(S, + S2) étant supposé connu, il reste à déterminer S, et S2.

Soient iN, la direction MM, et Ng la direction MMj.

Si une charge électrique égale à l'unité est placée au point M,, elle subit, de la part de la couche de densité o-, distribuée sur S,, une action dont la composante suivant N) est/, (M,); de la part de la couche de densité 0-2 distribuée sur So, une action dont la composante suivant N, est^2(M,); des charges extérieures, une action dont la composante suivant N, est 'i>(M,). On a, d'après un théorème connu,

27rscr.(M,)=/,(M.)-i-«"'2(M,)-r-<V(Mi).

Si une charge électrique égale à l'unité est placée au point M^, elle subit, de la part de l'électricité distribuée sur la surface S, avec la densité o-i, une action dont la composante suivant N, est ^, (Ma); de la part de la couche de densité o-o distribuée sur la surface S2, une action dont la composante suivant N, est/2(M2) ; de la part des charges extérieures une action dont la composante suivant N, est ({^(Mo). On a

i-t:!.{Mi)~--fi{M^)-ff,{^U)-^{^h).

Des deux égalités que nous venons d'écrire, on déduit

/ 2Tr£[a,(Mi)-ff2(M2)]= /,(Mi) - /2(M2)

( -f- <V(Mi)-+- «j^(M2).

Lorsque les deux surfaces S|, S2 tendent vers la surface S, le premier membre a pour limite

Clierchons vers quelle limite tend le second membre.

Si une charge électrique égale à l'unité était placée au point M, les composantes suivant N( des actions qu'elle pourrait subir peuvent être désignées par les notations suivantes :

Composante de l'action exercée en M :

Par la couche de densité ^j distribuée sur la surface S.... Fi(M)

» 'i » Si. . . Gi(M)

» CT2 » s.,... GjCM)

Par les charges extérieures ^F(M).

On voit aisément que

/i( Ml) a pour limite F,(M):

/ïfMî) a pour limite F2(l\l) ;

^2(Mi) a même limite que G2(M); ^.ç"i(M2) a même limite que Gi(M) ; 4^(Mi) et 4'(M2) ont pour limite T(]V1).

De là on déduit en premier lieu que

^l(M2) + ^2(Ml) + ^(Ml)

a même limite que

G, (M) -4- G2(iM)-l-vr(M).

Mais, en vertu des lois de l'équilibre électrique, l'ensemble des charges réparties sur le système a une action nulle en tout point INJ intérieur au conducteur. On a donc, à tout instant,

et, par conséquent,

lim[^i(^;2) + ^2(M,) + 'HI^Ii)]-f>-

CllAI'. II. — LES CONDCOTEURS OUVERTS. 29I

Le second membre de l'égalité (i) a donc même limite que

/i(Mi)+/2(M2)H-tî;(M2), et l'on a

(2) 27:£[S,(M) — i:2(M)] = F,(M)-hF2(M) + ^f(M).

Soient q une des charges agissantes et Pie point où elle est concentrée. Nous aurons

S,(M'Uos(M'M,N,)

's rtm'

S.2(M')cosrM'M, Ni) 's W^\

7cos(PM, N,)

F.(M) = sC ^i(M-)cos^M'M,lN,)^^g^ '^s MM'

F,(M) = .CME>^2liM2UV><,s,