KK'G

K^K'îG

1° Sur la sur/ace S^,

prend qui ont

La les valeurs pour limite

fonction positives supérieure

Ui(M^ u\ KG

UiCM) u".= u\ KG

U3(M) ul K^K'G

Uv(M) ul=ul K^K'G

U5(M) ul ' K3K'2G

U6(M) ul^u's K3K'2G

L'inspection de ces deux Tableaux montre immédiatement que la série qui figure au second membre de l'égalité (8) converge uniformément aussi bien sur la surface S) que sur la surface So ; qu'elle prend la valeur v(m) en tout point m de la surface S, et la valeur o en tout point de la surface So ; cette série représente donc la fonction harmonique cherchée.

Ainsi se trouve justifiée la méthode combinatoire de M. Cari Neumann. Il est à peine besoin de remarquer que cette méthode se prête indéfiniment à l'extension. Soient, par exemple, trois conducteurs C| , Co, G3. Si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à chacun d'eux, on pourra, par une première application du procédé de M. Cari Neumann, le résoudre pour l'espace extérieur à l'ensemble des deux conducteurs C|, C2; puis, sachant le résoudre pour cet espace d'une part, et d'autre part pour l'espace extérieur au conducteur C3, on le résoudra pour l'espace extérieur à l'ensemble des trois conducteurs Ci,

•278 LIVRE I'. — DISTniBCTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

C2, C3, par une nouvelle application du procédé de M. Cari Neuniann. On arrive ainsi à ce beau théorème :

Etant donnés dans l'espace n conducteurs extérieurs les uns aux autres, si Con sait déterminer la distribution que l'électricité prend, sur chacun d'eux isolément, sous l'action de charges fixes arbitrairement données, on sait déterminer la distribution de l'électricité sur V ensemble de ces n conducteurs soumis à V action de charges fixes arbitrairement données.

On sait, par exemple, déterminer, dans tous les cas possibles, la distribvition de l'électricité sur une sphère soumise à une influence donnée. On saura donc déterminer la distribution de l'électricité sur deux sphères extérieures l'une à l'autre s'influençant mutuellement. Ce beau problème a été, en effet, résolu directement par Poisson ('), et a occupé, depuis, un grand nombre de géomètres, tels que Plana, W. Thomson et G. Kirchhoff (-).

(') Poisson, Second Mémoire sur la distribution de l'électricité à la sur/ace des corps conducteurs (lu à l'Académie des Sciences le 6 septembre i8i3). (") Foi> Mathieu, Théorie du potentiel. 2° Partie, Applications, p. 65. Paris,