I ^^ FM
^^ ' '^ [S,(M')-4-S2(M')]cos(M'M,N,)
On arrive ainsi à ce théorème de M. G. Robin (') :
Lorsque Von a déterminé la somme (Si-f-Sj) des densités électriques aux points correspondants des deux faces d'un conducteur ouvert, une quadrature suffit pour déterminer séparément les densités S| ei S2 en ces deux points.
Dans la démonstration précédente, nous avons confondu, pour plus de brièveté, les normales en M|, Mo aux surfaces S|, So avec
(') Si la surface S, est fermée et que la surface S^ lui soit intérieure, on a, en tout point de cette dernière, a^= o; partant S^= o, et l'équation (3) devient
,... V 'ZCosCPM.N.) C\ S(M')cosfM'M.\ ) ,^
^^ PM ^s MM
Cette équation fonctionnelle détermine la distribution électrique sur un confliicteur fermé. M. G. Robin a fait un grand usage de cette équation. Elle lui a servi à résoudre la belle et difficile question de la distribution électrique sur un sjjhéroïde sensiblement différent de la sphère. Poisson s'était arrêté au cas du sphéroïde peu différent de la sphère (G. Robin, loc. cit.; voir aussi, plus haut, Livre II, Chap. X).
292 LIVilE III. — KTLDIi KVPÉRIMlîXT.VI.t: DE L.K UISTIUBI TIO.N.
la normale en M à la surface S. Cette confusion est évidemment rendue légitime par la quasi-identité de direction de ces normales, sauf aux points très voisins du bord RK' du conducteur. Comme d'ailleurs, au voisinage de ce bord, les densités S,, ^o peuvent être infinies, il est permis de se demander si la démonsti*ation précédente n'est pas par là mise en défaut. Toutefois, il est aisé de voir que la démonstration précédente demeure valable si l'on admet, comme nous le ferons, qu'à une distance infiniment petite 8 du bord KR' les densités 2l)i, S^, tout en étant infiniment grandes,
sont infiniment petites par rapport à < • Dans tous les exemj)les connus, elles sont de l'oi'drc de — -•
§ 2. — Conducteur o ivert soustrait à toute influence.
Supposons, en particulier, qu'vm conducteur ouvert et isolé, auquel on a communiqué une charge connue d'électricité, soit soustrait à toute influence, et cherchons la distribution électrique sur un semblable conducteur.
Nous savons, tout d'abord, que cette distribution sera monogène, et que la densité électrique aura en chaque point le signe de la charge totale.
L'équation (3) deviendra
Supposons la surface S partout convexe dans le sens de la normale N,. Le second membre de l'égalité (4) aura un signe constant qui sera celui de [S, (M') + 112 (M')], c'est-à-dire le signe de la charge totale distribuée sur le conducteur. D'où ce théorème :
Si un conducteur ouvert, dont la sur/ace est convexe, est soustrait à toute influence, la densité électrique a une valeur absolue plus grande en un point de la Jace externe qu^au point correspondant de la face interne.
Si le conducteur ouvert porte une charge totale Q répartie en une chai'ge Qj distribuée sur la face Sj et une charge Qo répartie
CIIVP. n. — LES CONDLCTEl'RS OUVERTS. 2Ç)3
sur la face Sa, il est intéressant de connaître d'une manière simple
les limites entre lesquelles est compris le rapport ^- Ce résultat
est obtenu par le théorème que nous allons démontrer.
Supposons, pour abréger, que l'ouverture du conducteur soit plane {/ig. 53), bien que les théories qui seront exposées dans
Fie. 53.
l'étude des intégrales curvilignes (t. III, Livre XIII) permettent de généraliser la démonstration suivante. Sur le plan P de l'ouverture, le bord. KK' découpe une aire limitée A. Supposons que la surface S ne coupe pas le plan P à l'intérieur de l'aire A. Au voisinage du bord KK', la surface S est tout entière d'un côté déterminé du plan P; supposons qu'elle soit au-dessous de ce plan.
L'action exercée au point M de la surface S par l'électricité distribuée sur les surfaces S), Sj est égale à o ; il en est de même de la composante suivant N) de cette action et de la somme de ces composantes pour toute la surface S ; écrivons l'égalité à o de cette somme
cos(M',M, N,)
^S f/Si
s Al", iVl J
M'jM
Soient }JL un point de l'aire A et v la normale en ce point à la face supérieure du plan P. L'aire A et l'aire S réunies forment ime surface fermée à laquelle le point M'j est extérieur et le point M'^
•2'j4 LIVRK m. — ÉTbDK EXPÉRIMENTALE DE LA DISTRIIÎLTION.
inténeur. On a donc, d'après les lemmes de Gauss,
n cos(M')M, Ni) ^^g ^ n cos(M'i;jL, y) ^^ ^ ^ •^s M', m' '^a M^'
Scos(M',M,Ni) -^ n cos(M; [ji. V) c Ali' IVl ^-'i \l' ..
L'égalité précédente devient alors
1 cos(M', u, v)
fM
^à, L^A m;[jl' J
Faisons tendre les deux surfaces Si et So vers la surface S ; les deux quantités
^A mY|I' ' ^A M^'
tendent vers la limite commune
ç\ ros(lM'[j., v)
A M'fx'
c'est-à-dire vers l'angle to sous lequel du point M' on voit l'aire A, cet angle étant compté positivement ou négativement suivant que le point M' est au-dessous ou au-dessus du plan P. Nous avons donc
Soient Q le maximum et Q' le minimum des valeurs de w. L'égalité précédente nous donnera
JT.-iï ^ Qi ^ 4^-û ^^) — ?— >q;>-I> —
Ces inégalités peuvent encore s'écrire
a' Os a (6) . >^< -.
4tc Q 4''^
CIIAP. II. — LES CONDUCTEURS OUVEUTS. 29»
Comme application des inégalités précédentes, proposons-nous
de déterminer deux limites supérieure et inférieure du rapport-^
pour une calotte conductrice résultant de la section d'un ellipsoïde de révolution allongé par le plan d'un parallèle {fig- 54)-
Soient a l'angle du plan de base avec le plan tangent tout le long du contour ; 2 ^ l'angle au sommet du cône de révolution circonscrit au contour à partir du pôle de la calotte. Il est aisé de voir que l'on a
ii = 2a, i2'=27r(i — cos^)
et, par conséquent,
cos3 Qî
On voit que, lorsque les dimensions de l'ouverture sont infiniment petites du premier ordre, la charge totale répartie à l'intérieur de la calotte devient infiniment petite du second ordre. Un corps d'épreuve, mis au contact des parois intérieures de la calotte, ne rapportera pas d'électricité.
Aux théorèmes précédents, M. G. Robin en a joint un grand nombre d'autres ; nous renverrons à son Mémoire pour la démonstration des suivants que nous ne faisons qu'énoncer :
i" Une surface fermée S {fg. 55) est formée par deux calottes C et C ; si l'on sait déterminer d'une part l'influence exercée par des charges électriques quelconques sur la surface S ; d'autre part, l'influence exercée sur la calotte G par une charge placée en un
point courant M' de la calotte C, une triple quadrature permet de
Fi g. 55.
déterminer l'influence exercée sur la calotte C par une charge placée en un point quelconque de l'espace.
'>•" Une surface fermée S {^fig- 56) est formée d'une zone Z et de deux calottes C et C. Supposons que l'on connaisse : i" la
Fig. 56.
distribution électrique sur la surface S soustraite à toute influence ; 2" l'influence sur la calotte (Z + G) d'un point variable M' de la calotte C ; 3° l'influence sur la calotte (Z + C) d'un point variable M de la calotte C. De ces données, on peut conclure la distribution de l'électricité en équilibre d'elle-même sur la zone Z.
Ce beau théorème a permis à M. Robin de déduire des résultats obtenus par Sir W. Thomson pour la calolle sphérique la distribution de l'électricité en équilibre d'elle-même sur la zone sphérique.
