ES SURFACES DE MVEAU ET LEURS TRAJECTOIRES ORTHOGONALES

§ 1. — Théorèmes généraux.

La fonction potentielle de certaines charges électriques est, <lans tout l'espace, une certaine fonction finie, continue et uniforme des coordonnées

Dans une région de l'espace où la fonction potentielle n'est point constante, elle prend certaines valeurs, parmi lesquelles la ^aleu^ C. L'équation

où C est traité comme une certaine constante, représente en général une certaine surface, variable d'une manière continue avec la valeur de la constante C.

La considération de semblables surfaces s'est d'abord présentée on Hydrostatique, dans la théorie de la figure des planètes, à Maclaurin et à Clairaut ('), qui leur ont donné le nom de surfaces de niveau. Chasles (2), qui en a introduit l'usage en Electrostatique, leur a conservé ce nom, auquel on substitue souvent celui de surfaces équipotentielles.

Supposons qu'une ligne rencontre une semblable surface en un point (i, Tj,t^). Soient [x^y^z) les coordonnées courantes d'un

C) Maclaurin, Treatise of fluxions, Art. CiO; i-/\i. — Clairaut, Théorie de la figure de la Terre, p. 4o-5a; i^'i^-

(^) CiiASLKs, Mémoire sur l'attraction d'une couche ellipsoïdale infiniment mince {Journal de l'École Polytechnique, t. XV, XXV" Cahier, p. 3o4-3i6; 1837). — Enoncé de deux théorèmes généraux sur l'attraction des corps et la théorie de la chaleur (Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. Vin, p. 309; 1839). — Théorèmes généraux sur l'attraction des corps (Addition à la Connaissance des Temps pour iS^â, publiée en 1842).

298 LIVRE m. — KTUDI-: lîXPÉUIMENTALE DE LA DISTRIBUTION.

point de celle ligne, s l'arc complé sur celte ligne. La ligne rencontrera normalement la surface si l'on a

à/(l-n,Q dy dfa,r,.X,) dz ^ ^ <)^ ds Oti ds '

àJSl -TnV) dz àfa,:^^) daf^^ ()f ds (^^ ds " '

df{\,T,,0 dx ()/(?. Y), n dy iïr^ ds d\ ds

En intégrant deux des trois équations (elles se réduisent à deux distinctes)

Oz ^ ôy

dz — — ,- ~ d.r = (),

Ox àz

ây ax

on obtiendra une famille de lignes dont chacune est normale à toutes les surfaces de niveau qu'elle rencontre.

Chasles, qui a introduit la considération de ces lignes dans le domaine de l'Electricité, leur a donné le nom de trajectoires orthogonales aux surfaces de niveau. A.ujourd'hui, on leur donne souvent, à l'imitation de Maxwell, le nom de lignes de force, créé par Faraday pour les lignes analogvies que l'on rencontre dans l'étude de l'Electromagnétisme.

Ce dernier nom peut se justifier ainsi.

La force éleclroslalique en un point a pour composantes

V Af Y Jf 7 Jf

4 f)x OZ oz

Il est aisé de voir qu'elle est, en tout point, normale à la surface de niveau et tangente à la trajectoire orthogonale qui passent par ce point. La trajectoire orthogonale marque donc, en chaque point, la direction de la force.

La force, normale en chaque point à la surface de niveavi qui passe par ce point, est dirigée du côté de cette surface de niveau vers lequel la fonction potentielle va en diminuant.

La connaissance des surfaces de niveau permet donc de déter-

CllVP. III. — SURFACES DE MVEAU ET TRAJECTOIRES ORTHOGONALES. 2<)<)

miner, en chaque point, la direction de la force électrostatique; elle permet aussi d'en déterminer la grandeur relative. Traçons, en effet i^fig. 5^), les surfaces de niveau

aa, V-i-rt, V, V — «, V

qui correspondent à des valeurs de la fonction potentielle variant en progression arithmétique de raison infiniment petite ( — a\ Soit M un point de la surface V; soit ô la distance normale du

l'-is;. 37.

V+2aV+a> V V a,V

point M à la surface (V — «) ; soit N la direction de la normale au point M à la première surface menée vers la seconde; c'est la direction de la force électrique au point M, force qui a pour grandeur

Mais on peut, si l'on veut, prendre c/N--o; on a alors dS =^- — rt, et, [)ar conséquent.

La grandeur de la force électrostatique est, en chaque point, inversement proportionnelle à la distance entre la surface de niveau qui passe par ce point et la surface de niveau infiniment voisine.

La surface d'un conducteur électrisé est une surface de niveau. Supposons qu'elle corresponde à une certaine valeur Vde la fonction potentielle. Dans l'espace qui environne ce corps, traçons une surface de niveau infiniment voisine de la surface du corps;

3oo Livniî m. — étloe expérimentais: de l.v distribution.

elle correspond à une valeur (V — a) de la fonction potentielle, a étant une quantité infiniment petite, positive ou négative. Soit S la distance normale d'un point M de la surface du conducteur à cette surface de niveau. Nous aurons en ce point

ÔN a

Mais la densité superficielle de l'électricité a pour valeur au point M

__ J dY

47t dNe'

On a donc

La densité électrique est, en chaque point d'un conducteur électrisé, inversem.ent proportionnelle à la distance normale entre ce point et la surface de niveau infiniment voisine de ce conducteur.

Donnons, dès maintenant, une application de ces théorèmes généraux.

Considérons un ellipsoïde électrisé et soustrait à toute influence.

La fonction potentielle de cet ellipsoïde [Livre II, Chapitre VIÏ,

égalité (17)] dépend seulement, en coordonnées elliptiques, du

paramètre u. Les surfaces de niveau de cet ellipsoïde sont donc

les surfaces

u = const.

D'où ces deux propositions :

Les surfaces de niveau d' un ellipsoïde électrisé et soustrait à toute influence sont des ellipsoïdes homofocaux à celui-là.

Les trajectoires orthogonales sont des lignes d'intersection des deux familles d^ hyperholoïdes homofocaux à V ellipsoïde donné.

Le théorème général démontré en dernier lieu donne alors celte proposition :

En chaque point d' un ellipsoïde électrisé et isolé, la densité électrique est inversement proportionnelle à la distance entre cet ellipsoïde et V ellipsoïde homofocal infinim,ent voisin.

CH.VP. ni. — SURFACES DK NIVEAU ET TRAJKCTOIRES ORTHOGONALES. 3oi

Revenons aux propriétés générales des surfaces de niveau.

Considérons un élément <ia> sur une surface de niveau {fig. 58). Par tous les points du contour de cet élément, menons des trajectoires orthogonales. Ces lignes engendrent une surface qui limite un canal infiniment délié. Chasles, qui a mis en évidence les remarquables propriétés d'un semblable canal, lui a donné le nom de canal orthogonal; on le nomme parfois aussi tube de force.

Coupons un semblable canal par deux sections normales c/o>

et c/d)', sections qui sont évidemment situées sur deux surfaces de niveau. Le tronçon ainsi formé est limité par une surface fermée à laquelle nous pouvons appliquer les lemmes de Gauss. Si nous supposons que le canal orthogonal n'ait rencontré aucun corps électrisé entre les deux sections diù et d\ù\ nous aurons

la sommation s'étendant à la surface considérée.

Les trajectoires orthogonales étant toujours tangentes à la force, on a en tout point des parois latérales du canal

Il reste donc, en désignant par dixi et f/oj' les aires des deux bases du canal et par Fj^, Y^ les composantes de la force électrostatique suivant les normales à ces bases extérieures au canal, composantes qui sont, en valeur absolue, égales à la force

(i) F>- dm -H V's diù' — G.

De cette égalité il résulte, en premier lieu, que F^ et FJ, sont de signe contraire. Si donc, à une extrémité, la force entre dans le canal, elle en sort à l'autre. La direction de la force marque donc, dans le canal, un sens de parcours constant.

3uZ LIVUE m. — ÉTUDE EXPÉKIMENT.VLE DE L.\ DISTRIBLTIOX.

En second lieu, si l'on désigne par F et F' les valeurs absolues de la force en un point des éléments cIm et c/co', l'égalité (i) peut s'écrire

F doi — F' <fio'.

La quantité F d(.o est donc la même pour toutes les sections du canal.

On peut exprimer ces diverses particularités en regardant vin canal orthogonal comme rempli d'un certain fluide incompressible qui s'écoulerait d'un mouvement permanent dans le sens de la force électrostatique et dont la vitesse en chaque point serait proportionnelle à cette force; de là le nom de /lux de force souvent donné au produit Y d^M.

L'égalité (i) nous montre que, dans une région extérieure aux masses agissantes, où la force électrique est partout finie, un canal orthogonal ne peut se fermer. Un canal orthogonal est donc limité seulement par des corps électrisés, ou bien encore il s'étend à l'infini ou se ferme sur lui-même.

Considérons unxanal orthogonal aboutissant par ses deux ex- Irémités aux surfaces de deux conducteurs {fig. Sq). Les surfaces

Fig. 5;).

des conducteurs étant des surfaces de niveau, le canal orthogonal les rencontre normalement. Soient <fiî, r/Q' les éléments superficiels que le canal orthogonal rencontre normalement. Ces deux éléments sont dits éléments correspondants.

Prenons, dans le milieu non électrisé qui sépare ces deux conducteurs, deux sections normales du canal orthogonal : l'une, t/to, infiniment voisine de dQ.\ l'autre, f/co', infiniment voisine de dOl . Soient F^-, F^^- les (brccs en c/oi et t/w' comptées vers l'intérieur du

CHAP. [II. — SURFVCKS DE MVKVU ET TRVJECTOIIIES ORTHOGONALES. 3o3

canal, c'est-à-dire vers l'exlérieur des conducteurs. Nous aurons, d'après l'égalité (i),

Fn doi -- Fj; rfw' = G.

Si Ne, N^ sont les normales vers l'extérieur des conducteurs en dû et dQ,\ lorsque les éléments diù et dtù' tendent respective-

ment vers dû et dÇi\ Y^ tend vers — £ -rr- et Fv tend vers — £ yrrr •

L'égalité précédente devient donc, à la limite,

Soient «T et o-' les densités électriques superficielles en un point des éléments dû et dû' . On a

et l'égalité précédente devient

(T dil -\- t' dil' ~ o.

A^wr deux conducteurs en présence, deux éléments correspondants /•enferment des quantités d'électricité égales et de signes contraires.

Cette proposition peut être regardée comme la traduction théorique de la classique expérience sur l'influence électrique, où deux conducteurs électrisés mis en présence se chargent sur leurs faces en regard d'électricités de signes contraires.

§ 2. — Étude expérimentale des surfaces de niveau.

Faraday (') a donné une méthode qui permet d'étudier expérimentalement les valeurs que prend la fonction potentielle aux divers points du champ qui environne un conducteur électrisé et, par conséquent, de déterminer les surfaces de niveau et leurs trajectoires orthogonales.

(') Faraday, Expérimental Researches on Electricity ; Série XI : On Induction; \rt. IV. Induction in curved Unes (lu à la Société Royale de Londres, le •Ji décembre 18I7. — Réimpression dos Exp. Researches, p. 38o).

3o4 LivnE m. — étudi': kxpkrimkntai.e de lv distribution.

En un point du champ où la fonction potentielle des charges agissantes avait une valeur V, on place le centre d'une très petite sphère de rayon R, tenue par une aiguille isolante en gomme laque. On met cette sphère en communication avec le sol par un fil fin. Elle prend une charge Q. On coupe la communication avec le sol, et l'on porte cette sphère dans la balance de Coulomb, qui fait connaître la charge Q. Cette détermination permet de connaître la valeur de V.

En effet, au moment où celte sphère est en communication avec le sol, la fonction potentielle en son centre doit avoir la valeur o, ce qui donne immédiatement la relation

Faraday a pu, par ce moyen, reconnaître l'existence des lignes de force. Leur forme courbe l'avait frappé; il y voyait la preuve que l'induction électrique se propageait par l'intermédiaii'e d'un milieu; selon lui, si cette action s'était exercée à distance, les lignes de force eussent été droites. Malgré les idées fécondes que renferment quelques parties du passage que nous avons cité, on ne peut méconnaître ce que les considérations qu'il contient onl de peu rigoureux.