CHAPITRE IV

LES COUCHES DE MVEAl)

Une identité de Gre en.

Les propositions que nous allons établir dans ce Chapitre sont la conséquence naturelle d'une importante identité, déduite par Green (') du théorème qui porte son nom.

Si U et V sont deux fonctions régulières à l'intérieur d'une certaine surface S ; si N/ est la normale en un point de l'élément dS vers l'intérieur de la surface S, le théorème de Green nous donne l'identité [Liv. I, Chap. III, égalité (3)]

„) /(/"(i)AV-VAU).ferf,-^.- --g(u^^-v|il),«.

Envisageons une surface ïi, fermée, et entoui-ant un espace qui

peut contenir dos niasses électrisées, tandis que d'autres masses éleclrisées lui sont extérieures {^/ig- 60). Traçons une surfaces fermée, S' (qui peut, dans certains cas, être l'ensemble de plusieurs surfaces fermées), contenant à son intérieur toutes les masses

(') Georgk Grkkn, An Essay on the application of matlieniatical anatysis to the Théories 0/ Electricity and Magne tism. General preliminary résulta, \rl. 4 (Nolliagliain , 1828. Green's Matlieniatical Papers. p. 29). Nous avons déjà rencontré celle identité au Livre II, Chap. VI.

3o6 LIVRE III. — KTUDE EXPERIMENTALE DE LA DISTRIBUTION.

électriques que renferme l'espace clos considéré. Enfin, dans l'espace compris entre les surfaces S et S', considérons un point M et entourons-le d'une sphère de très petit rayon S".

Examinons l'espace clos limité par les surfaces i], S', S".

A l'intérieur de cet espace, la fonction potentielle V des masses agissantes est régulière et harmonique. Il en est de même de la

fonction U = -> /• étant la distance du point (^, J", z-) au pointM.

Appliquons à ces deux fonctions l'égalité (i) et nous trouverons

Considérons la troisième intégrale. Soit dS l'angle sous lequel, du point M, on voit l'élément û?S". Nous aurons

di." ^ R2 de,

[\ étant lerajon de la sphère. Si ce rayon tend vers o, on voit aisément que la troisièxne intégrale tend vers — 4'^V(M), et l'égalité précédente devient

"' I ù\\ ... n i ,."7 , àV

Dans la seconde intégrale, nous avons remplacé le symbole N/ désignant la normale à la surface S' vers l'intérieur de l'espace considéré par le symbole N^ désignant, ce qui revient au même, la normale vers l'extérieur de la surface S'.

Dans le cas particulier où la surface S ne renferme aucune charge agissante, l'égalité (2) devient