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CIl.VP. IV. — LES COUCIIKS DE NIVEAU. 3o7
De l'égalité (a), nous déduisons une autre égalité analogue. Appliquons-la, en effet, à l'espace compris entre une surface fermée S, à l'extérieur de laquelle peuvent se trouver certaines charges agissantes et une sphère de très grand rayon. Le terme relatif à la surface de cette sphère s'évanouira lorsque son rayon croîtra au delà de toute limite, et l'on aura l'égalité, vraie pour tout point extérieur à la surface S et aux charges agissantes,
'»^-<^')-SA^5^-^i;;''^-S.
Si toutes les charges agissantes sont intérieures à la surface S, cette égalité devient simplement
Examinons le rôle de l'équation (3).
Lorsque l'on connaît l'existence, à l'intérieur de l'espace limité par la surface i], d'une fonction harmonique V, et que l'on connaît
dY en outre les valeurs de V et de - — sur la surface S, elle permet de
calculer la valeur de V en tout point intérieur à S.
Les fonctions de trois variables réelles qui vérifient l'équation AV = o jouissent de propriétés fort analogues, en bien des cas, à celles des fonctions de variables imaginaires ('). Le théorème précédent constitue un des principaux éléments de ces analogies.
On sait que si une fonction y(5) de la variable imaginaire z est finie, uniforme et continue à l'intérieur d'une certaine aire limitée par un contour fermé 5 et que si x désigne l'affixe d'un point intérieur à ce contour, on a
^l^fU-)r-..l f /-[^Idz,
(') Parmi les ouvrages importants pour l'étude de ces analogies, citons : !'. Appell, 5m/- les /onctions de trois variables réelles satisfaisant à l'équation AF = o (Acta matliematica, t. IV, p. 3i3; i884). — P- Painlevé, 5m/- les lignes singulières des Jonctions analytiques {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. II. B.; i888).
3o8 LIVRE III. — ETUDE EXPERIMENTALE DE LA DISTRIBUTION.
le contour s étant parcouru de manière à laisser à gauche l'aire limitée.
La démonstration de ce théorème fondamental de Cauchy peut être calquée (') sur la démonstration de l'égalité (3) donnée par Green et reproduite ci-dessus. Ce théorème montre que l'on peut calculer les valeurs de la fonction f(z) en un point quelconque intérieur à une aire, si l'on connaît les valeurs de la fonction aux différents points du contour de cette aire.
Mais une différence importante est à signaler entre les égalités (3) et (6). L'égalité (6) détermine la fonction /(.r) à l'intérieur de l'aire lorsqu'on connaît seulement les valeurs de cette fonction aux divers points du contour. Au contraire, pour calculer la valeur de V en un point d'un certain espace, l'égalité (3) exige que l'on connaisse en Ions les points de la surface qui limite cet espace, non
seulement la valeur de V, mais encore la valeur de sa dérivée -r^rr
oN/
suivant la normale à la surface.
Or, il est aisé de voir que l'on introduit ainsi, dans la détermination de V(M), des éléments superflus (-). Les démonstrations qui sont exposées au Livre 1, Chapitre V, § 3, conduisent, nous l'avons vu, au résultat suivant :
Pour que la fonction harmonique V soit déterminée sans ambiguïté dans tout l'espace intérieur à la surface S, il suffît que l'on connaisse les valeiirs. de V en tous les points de la surface S ; ou bien les valeurs de V pour certaines régions de cette surface et les
valeurs de ^^ pour les autres régions. Si l'on connaissait seule-
ment les valeurs de -rrr en tout point de la surface S, la fonction V
serait, à l'intérieur de cette surface, déterminée à une constante près.
Toutefois, cette différence apparente entre les égalités (3) (;t (6) se transforme de nouveau en une analogie par un examen plus approfondi, car le théorème de Cauchy exige, lui aussi, pour le
(') V. Hkrmitk, Cours d'Analyse de la Faculté des Sciences de Paris, rédigé par H. Andoyer.
{") G. KiRCHHOFF, Vorlesungen iiber matliematische physilc. Médian il, , p. i85.
CIIVP. IV. — LES COUCHES DE xrvE.vi". 309
calcul de /(ar), des éléments superflus. Pour déterminer /(x), il n'est pas nécessaire de connaître les valeurs de f{z) en tous les points du contour, mais seulement soit la partie réelle, soit la partie imaginaire de f(z).
Quoiqu'il en soit, la remarque précédente conduit à se proposer ce problème : Faire disparaître du second membre des égalités (3)
et ( o) soil -t:-> soit V.
C'est pour faire disparaître — r- du second membre de ces éaa-
lilés que Green a créé la fonction que nous avons étudiée au Chapitre VI du Livre II, et, par conséquent, posé pour la première fois le problème qui a reçu le nom de Lejeune-Dirichlet.
F'aire disparaître V en laissant seulement -r^ constitue l'objet d'un
problème analogue, sur lequel nous aurons à revenir au Tome II du présent Ouvrage lorsque nous étudierons la distribution magnétique, et que nous nommerons le problème dérivé de Lejeune- Dirichlet. Selon que l'on veut faire disparaître V du second membre de l'équation (3) ou du second membre de l'équation (5), on se trouve en présence du problème dérivé intérieur, ou du problème dérivé extérieur de Lejeune-Dirichlet.
§ 2. — Propriétés fondamentales des couches de niveau.
Le problème dérivé extérieur de l^ejeune-Dirichlet présente ordinairement des difficultés bien plus grandes que celles que présente le problème de Dirichlet. Nous allons voir, toutefois, qu'il existe un cas particulier où il peut être immédiatement résolu.
Imaginons que la surface S soit une sur/ace de niveau renfermant à son intérieur toutes les charges agissantes. Soit A la valeur constante que prend, à sa surface, la fonction potentielle. L'égalité (5) donnera, pour tout point M^, extérieur à la surface S,
Mais on sait, par un des lemmes de Gauss, que la première des deux intégrales qui figure au second membre a la valeur o. On a
3lO LIVRE III. — ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DE LA DISTRIBUTION.
donc
égalité qui résout immédiatement, dans ce cas, le problème dérivé extérieur de Lejeune-Diriclilet.
Par quelle égalité doit-on remplacer l'égalité (7), lorsque, au lieu de considérer un point Me extérieur à la surface S, on considère un point Mj intérieur à la surface S, mais extérieur aux masses agissantes?
On peut toujours mener la surface S' de telle sorte que le point M,- lui soit extérieur ; l'égalité (5) donnera alors
L'égalité (2) deviendra alors
ou bien,
cause
de l'é
gai i té
dz =
qui résui
Ite
imm€
îdialement d(
es lemmes de Gauss,
Uv r
dz^
.iTlA.
Cherchons une interprétation, des égalités (7) et (8).
Nous nommerons couche de niveau une couche électrique distribuée sur la surface de niveau 2 et ayant en chaque point une densité superficielle déterminée par la formule
I ^V i ^ 4ti d\e "^411 àNe
La fonction potentielle de cette électricité aura pour valeur en un point quelconque M de l'espace la quantité
CIUP. IV. — LES COUCHES DE NIVEAU. 3ll
On aura alors, d'après l'égalité (8), en tout point intérieur à la surface S,
et en tout point extérieur à la surface S, d'après l'égalité (n),
On en conclut qu'une couche de niveau exerce, à C extérieur de la surface sur laquelle elle est répandue, la même action que les charges électriques situées à V intérieur de cette surface et qu^ elle rC exerce aucune action en un point intérieur à cette surface.
L'égalité (9) montre que cette couche, distribuée sur un conducteur limité par la surface de niveau considéré, j formerait une couche électrique en équilibre. De là ce nouveau théorème :
Si Von sait trouver les surfaces de niveau d^ un système de masses électrisées, qui contiennent ces masses à leur intérieur, on sait trouver la distribution qu affecterait d^ elle-même V électricité sur un conducteur limité par une quelconque de ces surfaces. Il suffit de donner à la densité en chaque point de cette surface une valeur en raison inverse de la distance de ce point à la surface de niveau infiniment voisine. Cette distribution admet les mêmes surfaces de niveau extérieures que les charges primitivement considérées.
La quantité totale d'électricité qui forme la couche de niveau a pour valeur
Les lemmes de Gauss conduisent immédiatement au théorème suivant :
La masse totale d\ine couche de niveau a même fj^randeur et même signe que les masses dont elle peut remplacer l'action pour les points extérieurs.
