II) U(P) = — A. U'(P) = A
•^° Au |)oint P', {VI) U(P') = -- V(P'), U'(P')=:A';
3" Au point P",
(iS) U(P')--- VC-P"), U'(P'') = V(P").
Soit W la fonction potentielle totale, définie eu chaque point par l'égalitC
i" D'après les égalités (i 1), au point P, nous aurons
2** D'après les égalités (12), au point P', nous aurons
3l4 LIVIIE m. — ÉTUDE EXPÉRIMENT.VLK DE LV DISTRIBUTION.
3" D'après les égalités (i3), au point P", nous aurons
L'égalité (i5) entraîne le théorème suivant :
i" L'équilibre électrique est établi sur la couche conductrice limitée par les surfaces S, S'.
Les propriétés des couches de niveau donnent iminédiatomenl ces propositions :
2" La couche o-' est égale en signe et en quantité à la charge OÏL répandue sur les conducteurs C, C, C"; la couche a est égale en grandeur et de signe contraire à la charge SW.. L'étal d'équilibre obtenu sur le conducteur limité par ces deux surfaces est donc Vétat d^ équilibre de ce conducteur supposé isolé et à l'état neutre avant d'avoir subi l' influence des niasses OÏL.
3° La couche i' serait en équilibre d' elle-même sur le conducteur qui la porte.
4" La couche a- serait en équilibre d' elle-même sur un conducteur plein limité extérieurement par la surface S.
Les égalités (i4) et (i6) donnent encore cette proposition :
5° L'action électrostatique exercée soit en unpoint de l'espace clos que renferme le conducteur creux, soit en un point de l'espace qui lui est extérieur, se réduit à l'action des charges inductrices.
§ 4. — Une classe particulière de condensateurs.
Les propriétés des couches de niveau vont nous permettre également d'étudier d'une manière complète un problème particulier de la condensation électrique ('). ,
Si l'électricité était en équilibre d'elle-même sur la masse conductrice G {fig. 62), elle admettrait certaines surfaces de niveau; soient S, S' deux de ces surfaces de niveau, la surface S' entourant la surface S ; entre ces deux surfaces S, S', coulons une matière conductrice C. Nous aurons un système de deux conduc-
(') J. MouTiKU, Cours de Physique, t. I; 1881.
CHAI». IV. — LES COLCIIES DE .MVKM:. 3i5
leurs dont l'un, C, porte le nom ([''armature interne, l'autre, C, d^ armature externe. La bouteille de Lejde sphérique réalise un semblable système ; une bouteille de Lejde cylindrique et très longue le réalise approximativement.
En mettant une des armatures en communication avec une
Fis. 62.
source à un niveau potentiel constant (') et l'autre armature en communication avec le sol, nous aurons un condensateur; ce condensateur prendra deux formes différentes selon que l'on mettra en communication avec la source l'armature externe ou l'armature interne.
i" L armature interne est en communication avec la source au niveau potentiel A,. L'armature externe est en communication avec le sol.
Pour déterminer la distribution électrique sur le système, désignons par V le niveau potentiel auquel serait porté le conducteur C par une charge égale à l'unité en équilibre d'elle-même à sa surface. Les surfaces S, 2' seraient des surfaces de niveau de cette charge, et elles correspondraient à des valeurs u et u' de la fonction potentielle.
Gela posé, distribuons sur le conducteur C une charge a en
C) L'armature interne ne peut être mise en communication avec la source ou avec le sol que si l'armature externe présente un petit orifice. Nous négligerons l'influence perturbatrice de ce petit orifice.
3l6 LIVRE III. — ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DE LA DISTRIIILTION.
équilibre d'elle-même ; sur la surface S vme couclie de niveau changée de signe de masse — 6 = — a ; sur la surface ^' ne plaçons aucune électricité.
Soit Via fonction potentielle de la charge «5 soit U la fonction potentielle de la charge b. Si l'on remarque que la fonction V prend la valeur av en un point de la surface C et une valeur au en uu point de la surface S, on verra facilement, d'après les propriétés des couches de niveau, que la fonction potentielle totale a pour valeur o en tout point compris entre les surfaces 2 et S', et a(v — u) en tout point du conducteur C. Si donc on a eu soin de déterminer la charge a par l'égalité
on aura obtenu la distribution électrique sur le condensateur.
Le premier coefficient de Gaugain [Liv. II, Ghap. XI] est défini par l'égalité ;;? := -• On a donc, dans le cas actuel,
Pour obtenir le coefficient m' , il nous faut isoler l'armature externe avec une charge — b, égale ici à — a, et mettre l'armature interne en communication avec le sol. Gelle-ci prendra une
ciiarge «i et m' sera le rapport -j-' Nous pouvons aisément déterminer a,.
Sur la surface du corps G, distribuons une charge a, en équilibre d'elle-même; sur la surface S, une couche de niveau changée de signe de masse totale — a, ; sur la surface S', une couche en équilibre d'elle-même, de masse totale — 6 + «). On voit sans peine que l'équilibre sera établi sur le système ; que le conducteur G' portera une charge totale — b\ qu'à l'intérieur du conducteur C, la fonction potentielle totale aura une valeur
«i c — ttiU — {b — ai)u .
On déterminera «, en égalant cette valeur à o. On aura donc
CH.VP. IV. — LES COUCHES DE NIVEAU. 'ilj
La force condensante de l'appareil a pour valeur
I — mm ou bien, d'après les égalités (18) et (19),
■.i° u armature externe est en communication avec la source au niveau potentiel =1. ; V armature interne est en communication avec le sol.
On aura alors
( 17 OIS ) a =^ — , ,
(18 /jis ) m = r >
{10 fjis) r — I H .
La force condensante de l'appareil est la même dans les deux cas. Mais la charge prise par le collecteur n'est pas la même.
Appliquons les résultats précédents au cas où l'armature interne est une sphère de rajon R et les surfaces 2, S' des sphères, concentriques à la première, de rayons p, p'. On a alors
La force condensante de l'appareil a pour valeur
ÏÏ~p
Lorsqu'on prend l'armature interne pour collecteur, elle se charge d'une quantité d'électricité
ÏÏ-p
LIVRB m.
El IDE EXPERIMENTALE DE LA DISTRIBUTION.
Si l'on prend au contraire l'armature externe pour collecteur, elle se charge d'une quantité d'électricité
a — pM,.
Electromètre absolu de Sir "W. Thouison.
On peut rapprocher l'électromèlre de Sir W. Thomson des condensateurs dont nous venons de parler. Toutefois, nous exposei^ons directement la théorie de cet appareil comme dernière application des propriétés des surfaces de niveau.
Deux conducteurs C, F sont en présence (//^. 63). Ces deux
conducteurs sont en partie situés dans une région de l'espace limitée par une surface S, mais ils s'étendent à des distances de la surface S très grandes par rapport aux dimensions de cette surface.
Non seulement à l'intérieur de la surface S, mais encore à une grande distance de cette surface, la surface qui limite le conducteur C a la forme de deux plans parallèles P et P', la surface qui limite le conducteur F a la forme de deux plans II, II', parallèles à ces deux-là.
Le conducteur F est mis en communication avec le sol et le conducteur C avec une source au niveau potentiel a. Il est facile de trouver la distribution électrique sur ces deux conducteurs -, la distribution sur le conducteur F nous intéresse seule.
A l'intérieur de la surface S, les surfaces de niveau ne peuvent évidemment différer que très peu de plans parallèles. Soit x la
CUAP. IV. — LES COUCHES DE MVE.VU. 3 KJ
dislance d'un point au plan P. L'équation de Laplace, que la fonction potentielle doit vérifier en dehors des masses agissantes, se réduit alors, pour ceux, de ces points qui sont intérieurs à la surface S, à la forme
dyy
Si l'on désigne par D la distance OA des deux plans P, Il ; par E l'épaisseur 1111' du plateau F, on voit sans peine que, dans l'espace compris entre les plans P et D, on a
Dans l'espace situé au delà du plan II', on voit aisément que
Soit N la normale extérieure au conducteur F en un point du plan n. Soit N' la normale extérieure au même conducteur en un point du plan n'. L'égalité (21) donnera
5N ~ 1)' et l'égalité (22),
dy dN' ~ ^'
Le plateau F ne porte pas d'électricité sur sa face II'. Sur sa face n, il porte une couche électrique dont la densité en chaque point a pour valeur
Supposons qu'un cylindre MM'NN', normal aux plans II, II', divise le conducteur F de façon à isoler un disque mobile. Pour que ce disque et la partie restante du conducteur F (anneau de garde) continuent à ne former qu'un seul conducteur, électrisé comme nous venons de l'indiquer, un fil F réunit le disque à l'anneau de garde. Soit 2 la surface de base du disque mobile. Ce disque, ne portant d'électricité que sur sa base inférieure, est soumis à une force, dirigée suivant N, et ayant pour grandeur
320 LIVRE in. — ÉTUDE EXPÉRIMEXT.VI.E DE LA DISTRIBUTION.
En d'autres termes, le disque mobile est attiré par le disque fixe, et l'attraction a pour valeur
^^8^ïï^"'
Il suffira de faire équilibre à cette attraction par une force connue, pour obtenir la détermination de la valeur absolue du niveau potentiel «.
CHAP. V. — LE PROBLÈME DE GREEN ET LES THÉORÈMES DE FARADAY. 32t
