CHAPITRE V

§ 1 . — Le problème intérieur de Green. — Solution de Green.

Les propriétés des couches de niveau donnent la solution immédiate, dans un cas étendu, du problème suivant :

Étant données des masses électrisées et une surface qui entoure ces niasses, distribuer sur cette surface une couche électrique exerçant, en tout point extérieur à la surface, la même action que les masses données.

Ce problème a été pour la première fois abordé par Green ('); Green a montré que ce problème pouvait être résolu lorsqu'on savait trouver, pour l'espace intérieur à la surface donnée, la fonction à laquelle Riemann a donné le nom àe fonction de Green.

Démontrons, tout d'abord, que le problème qui vient d'être énoncé ne peut admettre plusieurs solutions.

maginons, en effet, que, sur la même surface, on ait distribué deux couches distinctes, ayant pour densité au point M l'une a-, l'autre t'. Soient V la fonction potentielle delà première distribution et V la fonction potentielle de la seconde.

Les deux distributions exercent la même action en un point extérieur à la surface; donc, à l'extérieur de la surface, les deux fonctions V et V admettent les mêmes dérivées partielles. Si l'on ajoute qu'elles sont toutes deux égales à o à l'infini, on voit qu'en tout point extérieur à la surface, on a

(' ) G. Green , An Essay on the application of mathematical Analysis to the théories of Electricity and Magnetism. Arl. 5. Nottingham ; 1828 {Green's Mathematical Papers, p. 3i).

Les deux fonctions V et V ajant la même valeur sur la surface en question et étant toutes deux harmoniques à l'intérieur de cette surface sont identiques entre elles à l'intérieur de cette surface. On a donc, dans tout l'espace, l'identité

Soient N/, Ne les directions intérieure et extérieure de la normale en M à la surface donnée. Nous aurons

OU bien, en vertu de l'égalité précédente,

c'est ce que nous avions annoncé.

Assurés ainsi de l'équivalence de toutes les solutions du problème de Green qui pourront être obtenues par divers procédés, exposons tout d'abord la solution de Green.

Proposons-nous, en premier lieu, de résoudre le problème de Green pour le cas où la surface S ne renferme qu'un seul point électrisé P {/ig'- 64 ) portaat une charge /?z.

Fig. 64.

Soit G(M/) la valeur au point M/, intérieur à la surface S, de la fonction de Green de pôle P. Nous savons que, si /* désigne la distance M/P, on peut écrire (Liv. II, Chap. VI, §2)

r(M/) étant une fonction harmonique à l'intérieur de la surface S et égale à ( ) sur la surface S.

Cela étant, considérons une fonction V(M) ainsi définie : 1° En tout point M/, intérieur à la surface S, on a

V(M,)=-/nr(M,);

2° en tout point M^, intérieur à la surface S, on a

La fonction V(M) est continue dans tout l'espace, égale à o à l'infini, harmonique à l'extérieur de la surface S, harmonique à l'intérieur de la surface S ; c'est donc la fonction potentielle d'une couche électrique distribuée sur la surface S avec la densité

Cette couche ayant, aux points extérieurs à la surface S, la même fonction potentielle que la masse m, résout le problème de Green pour le cas où la surface S renferme une seule masse agissante.

Si la surface S renferme plusieurs masses agissantes, on résoudra le problème de Green en superposant les distributions qui résoudraient ce problème pour chacune des masses prise en particulier.

On voit donc que l'on sait résoudre le problème de Green si l'on sait trouver la fonction de Green pour l'espace intérieur à la surface S. Il est bien aisé de reconnaître l'exactitude de la réciproque.

§ 2. — Solution de Gauss.

Sans connaître le Mémoire de Green, Gauss fut amené, de son côté, à se poser le même problème ('); il proposa le premier une démonstration générale de l'existence d'une et d'une seule solution de ce problème; d'après ce que nous venons de dire, c'est là, par

(') Gauss, Allgemeine Lehrsâtze ùber die im verkehrten Verhàltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kràfte, Art. 29-34 [Magnetische Verein, 1889 {Gauss Werke, Bd. V, p. 281)].

contre-coup, une démonslralion de Texistence de la fonction de Green et de l'exactitude du principe dit de Lejeune-Dirichlet. Cette démonstration de Gauss n'est pas exempte de toute critique ; néanmoins, elle présente moins de points litigieux (') que la démonstration de Lejeune-Dirichlet, rapportée au Livre II, Chap. V, § 2. Nous allons donc exposer ici celte démonstration.

Théorème I. — Une surface S {fi g- 65) renferme à son intérieur des charges électriques dont la fonction potentielle est U. On peut toujours, sur la surface S, distribuer une couche mo-

nogène de masse totale donnée 011, de telle manière que la différence entre la fonction potentielle V de cette couche et la fonction U ait la même valeur en tous les points de la surface S.

Considérons, en effet, une distribution monogène, de masse donnée 31i, sur la surface S; supposons, pour fixer les idées, que cette distribution soit positive. Soit u la densité qu'offre cette distribution au point M de la surface S.

La quantité V sera certainement positive en tout point de la surface S. Il en sera de même de la quantité

Cette quantité est donc limitée inférieurement. Il en est de même de la quantité

— CaUcrcfô,

(') Voir, à ce sujet, Carl Neumann, Untersuchungen iiber das logarithmische und Newton'sclie Potential, p. XI et p. 107; Leipzig, 1877.

car cette dernière ne peut jamais devenir inférieure à

X étant la plus grande des valeurs de U sur la surface S. La quantité

est donc une quantité limitée inférieurement. Gauss admet, et c'est le seul point douteux de sa démonstration , que, parmi toutes les couches monogènes de masse totale DUL^ distribuées sur la surface S, il en est une pour laquelle la quantité Q atteint sa limite inférieure et devient par conséquent minimvim. ,

Ce point admis, la démonstration du théorème énoncé ne souffre plus de difficulté.

Imaginons que la densité t ait pris en tout point la valeur qui tf^ correspond à ce minimum de Q ; puis imposons-lui une variation infiniment petite compatible avec la condition de laisser invariable la masse donnée DFl, condition qui s'exprime par l'égalité

(i) V Sa ^S = 0.

12 doit éprouver une variation nulle ou positive. Or on a

ÔÛ= Q8VacfS-hC(V-2U)03(fS. .

Mais 3V peut être regardé comme la fonction potentielle d'une couche distribuée sur la surface S avec la densité St. La célèbre identité de Gauss donne donc

C8Vc7^S = C Vt^cr^S

et, par conséquent,

0Û = 2C(V-U)ÔC

Ainsi, pour toutes les variations 8t qui vérifient l'égalité (i), on doit avoir

(2) C(V-U)oj^S^o.

Il est aisé de voir que cette condition ne peut être remplie si la

quantité (V — U) n'a pas la même valeur en tout point de la surface S.

Supposons, en effet, que la quantité [W — U) ait des valeurs variables d'un point à l'autre de la surface S. Soit A une valeur comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs de (V — U). Comme les deux quantités V et U varient d'une manière continue sur la surface S, on pourra toujours diviser cette surface en deux régions : l'une, acdb^ en tout point de laquelle (V — U) a une valeur égale ou supérieure à A 5 l'autre, ac'd' b, en tout point de laquelle (V — U) a des valeurs inférieures à A. Prenons, en ces deux régions, deux aires égales entre elles, cd^ d d! . Divisons l'aire cd en éléments, et l'aire c' d' en éléments correspondants aux précédents, deux éléments qui se correspondent étant égaux entre eux. En un point de l'élément ofS de l'aire cd^ la densité électrique diminuera de Sa; en un point de l'élément correspondant de l'aire d d' ^ elle augmentera de la même quantité; elle ne variera pas sur le reste de la surface S. Une semblable variation «era évidemment soumise à la condition (i), et cependant, contrairement à ce qui a été démontré, elle donnera une valeur négative au premier membre de l'inégalité (2).

Donc, comme nous l'avions annoncé, parmi toutes les distribulions monogènes de masse totale OTl, il en est évidemment une pour laquelle (V — U) prend une même valeur en tous les points de la surface S. Cette valeur, évidemment fonction de 0]L, sera 'désignée par G(31L). La densité de cette distribution en un point P sera (t(D1L).

Théorème II. — On peut, sur la surface S, trouver une distribution monogène, de masse totale égale à i, dont la fonction potentielle ait une valeur constante sur la surface S.

Ce théorème se déduit immédiatement de celui qui précède, en supposant que la surface S ne renferme aucune masse électrique.

Soit Q la densité de cette distribution au point P ; soit K la valeur constante de la fonction potentielle sur la surface S.

Il est maintenant aisé de résoudre le problème de Green.

Formons, sur la surface S, une distribution dont la densité au

point P ait pour valeur

(3) 2 = a(aiL)-^^.

Soit W la fonction potentielle de cette distribution. La fonction (W — U), harmonique à l'extérieur de la surface S, sera égale à o sur la surface S et à l'infini, et, par conséquent, dans tout l'espace extérieur à la surface S. La distribution définie par l'égalité (3) a, à l'extérieur de la surface S, la même fonction potentielle que les masses que renferme la surface S ; elle résout le problème de Green.

A cette solution, Gauss a joint le théorème suivant :

Théorème IIL — La couche électrique qui, distribuée sur la surface S, exerce à Vextérieur de cette surface des actions égales à celles des charges que la surface renferme a même masse totale que ces charges.

Entourons la surface S d'une surface fermée S' {fig. 66), dont

FiK. 66.

N^ est la normale extérieure 5 soient U la fonction potentielle des charges G contenues à l'intérieur de la surface S et W la fonction potentielle des charges réparties sur cette surface. Ges deux fonctions étant identiques en tout point extérieur à la surface S, on a

Or le premier membre représente, d'après les lemmes de Gauss, la masse électrique intérieure à la surface S et le second membre

la masse de la couche répandue sur la surface S ; ces deux masses sont donc égales entre elles.

§ 3. — Solution de Lejeune-Dirichlet.

Le problème de Green peut être étudié directement, comme l'a fait Gauss, ou être ramené à la détermination de la fonction de Green pour l'espace intérieur à la surface donnée. On peut encore le ramener à la résolution du problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace intérieur à la surface donnée. C'est ce qu'a fait Lejeune- Dirichlet (<).

Gardons les notations du paragraphe précédent. Soient ni {fig- 6j) un point de la surface S et w(m) la valeur que prend U

au point m. Déterminons une fonction V, harmonique à l'intérieur de la surface S et prenant sur la surface S les valeurs u[m). Déterminons ensuite, dans tout l'espace, une fonction W(M) par les conditions suivantes :

En tout point M,, intérieur à la surface S, on a

En tout point M^, extérieur à la surface S, on a

La fonction W, continue dans tout l'espace, harmonique à l'intérieur de la surface S, harmonique à l'extérieur de cette surface, est la fonction potentielle d'une couche électrique distribuée sur la surface S. Cette couche a pour densité, en chaque point de la

(') Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen iiber die im umgekehrten Verhâltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kràfte, rédigées par F. Grube, Ch. VI; Leipzig, 1876.

CHAP. V. — LE PROBLÈME DE GREEN ET LES THÉORÈMES DE FVRADAV. 3lÇ)

surface S,

l/ày d{J\

Elle résout évidemment le problème de Green.

§ 4. — Application aux questions d'influence électrique. Premier théorème de Faraday.

Des corps G, C, G", . . . portent une quantité totale Q d'électricité. On les entoure de deux surfaces fermées, S, S' {fig- 68), cette dernière enveloppant la première. Ges deux surfaces limitent un conducteur creux.

Soit 0- la densité de la couche qui, répandue sur la surface S, résoudrait, pour les corps électrisés G, G', G", . . . , le problème

Fis. 68.

de Green. Soit o-' la densité d'une couche, de masse totale (Q + ^), en équilibre d'elle-même sur un conducteur limité par la surface S'. Soit A la valeur constante que prend la fonction potentielle de celte dernière couche aux divers points de la surface S' et à son intérieur.

Distribuons sur la surface S une couche de densité — a-, et sur la surface S' une couche de densité t'.

En un point compris entre les surfaces S et S', les charges distribuées sur les corps G, G', G", . . . auront une fonction potentielle égale et de signe contraire à la fonction potentielle de la couche distribuée sur la surface S. La couche distribuée sur la surface S' aura, en ce point, une fonction potentielle égale à A.

Le conducteur compris entre les deux surfaces S et S' sera.donc

33o LIVRE III. — ETUDE EXPERIMENTALE DE L,V DISTRIBUTION.

en équilibre électrique. Son niveau potentiel sera A. Sa charge totale sera </, car, d'après le théorème III du § 2, la masse totale de la couche distribuée sur la surface S a pour valeur ( — Q).

Nous obtenons donc ainsi l'état d'équilibre d'im conducteur creux soumis à l'influence de charges contenues dans sa cavité, que ce conducteur soit isolé et porte une charge donnée d'électricité, où qu'il soit maintenu à un niveau potentiel donné.

Les lois de cet équilibre sont les suivantes :

1° Les parois de la cavité se recouvrent d'une couche électrique dont la masse est égale et de signe contraire à la somme des masses agissantes.

2° La surface externe du conducteur se recouvre d'une couche qui serait en équilibre d'elle-même sur un conducteur plein limité par cette surface et soustrait à toute influence.

Si le conducteur creux est maintenu à un certain niveau potentiel, la masse de cette couche est la même que celle de la couche qui porterait le conducteur plein à ce niveau potentiel.

Si le conducteur creux porte une charge donnée, la masse de cette couche est la somme de cette charge et des charges qui exercent l'influence.

3° A l'extérieur du conducteur creux, Vaction exercée se réduit à celle de la couche qui recouvre la surface externe de ce conducteur.

Les deux premières propositions permettent d'expliquer l'expérience suivante, qui est due à Faraday ( ' ).

Une cloche conductrice C, étroite et creuse {fig. 69), est reliée à un électroscope à feuille d'or E. Dans la cloche C, descend une boule éleclrisée B. Lorsque cette boule est assez loin de l'ouverture de la cloche, on peut regarder cette cloche comme formant sensiblement un conducteur fermé. A partir de ce moment, la divergence des feuilles de l 'électroscope ne variera plus si la boule descend davantage dans la cloche ; car la surface externe de la cloche

( ' ) Faraday, On static electrical inductive action ( London and Edinburgh Philosophical Magazine, Vol. XXII; i843.— Réimprimé dans Faraday's Expérimental researches on Electricity, t. II, p. 279).

Cl l'électroscope portent une charge totale égale à celle de la boule B et cette charge, en équilibre d'elle-même, a une distribution indépendante de la position de la boule B.

Si la boule B vient à toucher la surface interne de la cloche, sa

Fig. Gg.

charge neutralisera exactement la charge de cette surface interne, et la surface externe conservant une charge égale à celle de la boule B, en équilibre d'elle-même, la divergence des feuilles de l'électroscope demeurera ce qu'elle était avant le contact de la boule B avec les parois de la cloche.

§ 5. — Le problème extérieur de Green. — Le second théorème de Faraday. — Les écrans électriques.

Le problème que nous venons d'étudier sous le nom de problème intérieur de Green est corrélatif d'un autre problème, que nous nommerons problème extérieur de Green et qui peut s'énoncer de la manière suivante :

Etant données une surface fermée S et des charges électriques qui sont toutes situées à V extérieur de cette surface, distribuer sur cette surface une couche électrique qui, aux points intérieurs à la surface S, exerce même action que les masses données.

Soient U la fonction potentielle de la masse donnée et V la fonction potentielle de la distribution cherchée. Pour que le problème

soit résolu, il faut et il suffit qu'en tout point intérieur à la surface S ou situé sur la surface S on ait

A étant une constante arbitraire. On voit sans peine, d'après cela, que le problème admettra une infinité de solutions, chacune des valeurs de A correspondant à une et une seule solution. Une solution étant donnée, on en déduira toutes les autres en superposant à la couche trouvée une couche quelconque en équilibre, d'elle-même sur un conducteur limité par la surface S.

Pour trouver une solution de ce problème, celle par exemple qui correspond à la valeur o de la constante A, formons une fonction W, harmonique dans tout l'espace extérieur à la surface S, égale à o à l'infini et égale à U sur la surface S. En tout point M/, intérieur à la surface S, prenons

V(M,)-U(M,), et en tout point M^, extérieur à la surface S, prenons

La fonction V, continue dans tout l'espace, égale à o à l'infini, harmonique à l'extérieur de la surface S, harmonique à l'intérieur de la surface S, est la fonction potentielle d'une couche électrique distribuée sur la surface S avec la densité

f dY dY \dNi ' d^e.

/ dU dW

[ôNi'^ àNe

Celte distribution résout le problème posé.

La solution de ce problème est ainsi ramenée à la solution du problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace extérieur à la surface S.

Y a-t-il lieu de chercher à simplifier celte solution dans le cas où la surface S serait une surface de niveau pour les charges données? Si la fonction potentielle avait une valeur constante sur la surface S, elle aurait aussi une valeur constante à l'intérieur de cette surface, car elle ne peut, à l'intérieur de cette surface, présenter ni maximum ni minimum. Les charges données exerceraient

une action nulle à l'intérieur de la surface S et le problème précédent serait immédiatement résolu en distribuant sur la surface S une couche de densité nulle.

Il n'y a donc pas lieu de chercher, dans le cas actuel, de théorèmes analogues à ceux qui ont été développés au Chapitre précédent.

Il est à peine besoin de remarquer que si un conducteur, plein ou creux, limité à la surface S, est soumis à l'action des charges données, extérieures à la surface S, il se recouvrira d'une couche électrique résolvant le problème posé au début de ce paragraphe. Cela est évident, s'il n'existe aucune charge électrique à l'intérieur de la surface S. Dans le cas où le conducteur est plein, nous savons qu'il en est ainsi. Il reste à examiner si, dans le cas où le conducteur est un conducteur creux, compris entre les deux surfaces S et S', la paroi S' de la cavité peut être électrisée.

Or, entre les deux surfaces S et S', d'après la loi fondamentale de l'équilibre électrique, la fonction potentielle a une valeur constante. Comme elle ne peut présenter ni maximum ni minimum à l'intérieur de la surface S', elle aura à l'intérieur de cette surface la même valeur constante. La surface S', séparant deux régions de l'espace en lesquelles la fonction potentielle a la même valeur constante, est à l'état neutre.

Ce que nous venons de dire nous montre qu'à l'intérieur d'une cavité entourée par des parois conductrices isolées ou mises en communication avec une source à un niveau potentiel fixe, aucune action électrostatique ne peut être exercée par des charges électriques quelconques placées à l'extérieur. La paroi conductrice jouera le rôle à^ écran interceptant les actions électrostatiques. En tout point intérieur à la cavité, un électromètre demeurera au repos. C'est ce que Faraday a démontré par la célèbre expérience de la cage.

L'usage a prévalu de donner le nom de théorèmes de Faraday aux lois fondamentales de l'électrisation par influence des conducteurs creux. On doit cependant remarquer que, dès 1824, Poisson ( ' ) qui, par le moyen des fonctions de Laplace, savait résoudre

(') Poisson, Mémoire sur la distribution de l'électricité dans une sphère creuse, électrisée par influence (Bulletin de la Société Philomathique, p. 49; 1824).

334 LIVRE iir. — ÉTLDii: expérimentale de la distribution.

le problème de Lejeune-Dii'ichlet pour les espaces limités par une surface sphérique, avait étudié complètement le problème de l'électrisation d'une sphère creuse sous l'action de charges données, tant intérieures qu'extérieures. Il avait énoncé les théorèmes de Faraday pour ce cas, restreint il est vrai, avec une grande précision. Citons ici ces énoncés :

« ... La distribution de l'électricité sera connue sur les deux faces de la sphère creuse. On peut remarquer : i° que l'épaisseur de la couche électrique sur la surface intérieure est indépendante des forces extérieures. . . et du rajon a de la surface extérieure; 2° que l'épaisseur relative à celte dernière surface ne dépend que de son rayon, des forces extérieures, et de la totalité E + E' du fluide appartenant à la partie pleine de la sphère et aux corps compris dans son intérieur. Si, par exemple, les forces extérieures étaient toutes nulles, on aurait..., de sorte qu'elle resterait la même quelles que fussent l'épaisseur de la sphère creuse, et la disposition des corps électrisés placés dans son intérieur; elle ne changerait pas si l'électricité passait par étincelle de l'un de ces corps dans un autre, ou dans la partie pleine de la sphère. »

« ... Les actions totales exercées sur les points extérieurs ne dépendront, comme l'épaisseur de la couche électrique à la surface extérieure, que du rayon de celte surface, des forces extérieures, et de la totalité du fluide appartenant à la sphère et aux corps placés dans son intérieur; elles seront indépendantes de la distribution de l'électricité dans ces corps, et les mêmes, abstraction faite des forces extérieures, que si les deux fluides étaient réunis au centre de la sphère creuse. »

«... L'action exercée sur les points situés dans l'intérieur de la sphère creuse ne dépendra que de son rayon intérieur et des forces intérieures. Si toutes ces forces étaient nulles, il n'y aurait aucune action exercée sur ces points; de manière qu'un électromètre, placé quelque part que ce soit dans l'intérieur de la sphère creuse, n'indiquerait aucun signe d'électricité, quelles que soient d'ailleurs l'épaisseur de cette sphère et la grandeur des forces extérieures. Comme un plan peut être regardé comme une sphère d'un rayon infini, il en résulte qu'une feuille métallique d'une très grande étendue, et d'une épaisseur quelconque et partout la

même, doit empêcher l'action de ces corps de se transmettre; ou, pour parler plus exactement, son action devra neutraliser celle de ces corps; de telle sorte que des corps légers n'éprouveront ni attraction ni répulsion lorsqu'une feuille métallique sera interposée entre eux et des corps électrisés, pourvu que les uns et les autres soient très éloignés du bord de cette feuille. »

« Il serait à désirer que les théorèmes que nous venons de démontrer fussent vérifiés par l'expérience. Pour que les résultats relatifs aux points intérieurs soient conformes à l'observation, il suffira que la surface intérieure du corps que nous avons considéré soit sphérique, quelle que soil d'ailleurs sa forme extérieure ; et réciproquement les propositions qui se rapportent aux points extérieurs devront s'accorder avec l'expérience, lorsque ce corps sera une sphère renfermant un espace vide de forme quelconque. »

Les restrictions indiquées par Poisson lui étaient imposées par ce fait qu'il ne savait résovidre le problème de Lejeune-Dirichlet que pour l'espace terminé à une sphère. Elles disparaissaient aussitôt que l'on admettait l'existence générale d'une solution de ce problème. Green indiqua sommairement, en 1828, comment on pouvait traiter l'électrisation par influence d'un conducteur creux. Faradaj n'a donc fait que vérifier expérimentalement les prévisions de Poisson et de Green.