f = Eo(U — TS

de telle façon que, pour tout déplacement de ce genre, on ait

(18) ES(U — TS) — ^g;-^o.

Soit r l'énergie interne du système ainsi modifié ; soit ^ son entropie; soit dQ le travail effectué dans un déplacement du genre de celui que nous considérons par les forces extérieures qui agissent maintenant sur le système. Dans un semblable déplacement, le travail non compensé effectué a pour valeur, d'après l'égalité (4),

(19) t^-c = — Eo(U — TS) + ^e.

Mais, par hypothèse, l'état du système a été maintenu le même avant et après l'addition des nouvelles forces ; on a donc

D'autre part, les forces extérieures données qui agissent sur le système après l'addition des nouvelles forces se composent :

1° Des forces extérieures données qui agissaient auparavant sur le système ; dans la modification considérée, elles effectuent un travail d^e |

2° Du premier groupe de forces ajoutées ; dans la modification considérée, ces forces effectuent le travail — d^e '■>

3" Du second groupe de forces ajoutées ; dans la modification considérée, ces forces effectuent, par hypothèse, le travail d^].

CIIAP. I. — NOTIONS DE THERMODYN.VMIQUK. 345

f/8 = d<£e — divg -+- dxB'i = d(E'i,

et l'égalité (19) devient

dz = — E 0(1] — TS) -h dS'i.

D'après l'inégalité (18), cette quantité est nulle ou négative; dès lors, d'après les propositions de Thermodynamique que nous rappelions au commencement de ce paragraphe, la modification correspondante, entraînant un travail non compensé nul ou négatif, ne peut se produire ; le système, soumis aux actions mécaniques qui agissent réellement sur lui et à celles que nous y avons adjointes, ne peut subir aucun déplacement qui n'altère pas l'état de ses diverses parties ; les liaisons qui lui interdisent toute modification autre que des déplacements de ce genre assurent l'équilibre du système.

Mais, grâce à ces liaisons par lesquelles chacun des corps qui constituent le système est supposé maintenu dans un état invariable, les propositions de la Mécanique rationnelle relatives aux systèmes formés de corps solides sont applicables au système précédent. On peut, en particulier, lui appliquer le principe des vitesses virtuelles.

D'après ce qui précède, le système est en équilibre sous l'action de quatre systèmes de forces données :

1° Les forces mécaniques extérieures, qui agissaient primitivement sur lui ;

2° Les actions mécaniques intérieures, que les divers corps qui le constituent exercent les uns sur les autres ;

3" Des forces égales et directement opposées aux forces extérieures ;

4° Des forces effectuant, dans tout déplacement virtuel, un travail cKb'^ égal ou inférieur à Eô(U — TS).

Le premier et le troisième système de forces se détruisent. On peut donc dire que le système est en équilibre sous l'action du second et du quatrième groupe de forces.

Mais, dans toute modification du système où ses diverses parties changent de position sans changer d'état, les forces du second groupe effectuent un travail virtuel d(Ei; les forces du quatrième groupe eff'ectuent un travail virtuel d(B'^ ; en vertu du principe des

vitesses virtuelles, le système ne peut être en équilibre sous l'action de ces deux groupes de forces si l'on n'a

d(s>i -+- d^'i le.

Cela doit avoir lieu toutes les fois que d^\ vérifie l'inégalité (i8). On doit donc avoir