SA] = G

Pour qu'elle ait la même valeur que dans le cas précédent, il faut et il suffit que l'on ait

'"^Ir-^^^/AT^"'

quelles que soient les quantités m^ et ^2« Lies deux fonctions 'fi^, <i^2i sont donc indépendantes de A).

On arrive ainsi aux conclusions suivantes :

i" Deux masses matérielles m,, m2 exercent V une sur Vautre une attraction

mi7?i2 — —, • >

la fonction cp,2 pouvant changer de forme avec la nature physique et chimique et avec la température des deux molécules m, et mi^ mais ne pouvant pas dépendre de leur densité.

1° Une masse matérielle nit et un élément portant une charge électrique q^ exercent une attraction mutuelle

la fonction <hn pouvant changer de forme avec la nature physique et chimique et avec la température des deux molécules,

CHAP. II. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'lN SYSTÈME ÉLECTRISÉ. 359

avec la densité de la molécule qui pot te ta èharge q^-, mais ne dépendant pas de la densité de la masse nii.

Si l'on répétait les mêmes raisonnements sans supposer v, à l'état neutre, on trouverait encore :

3° Que la fonction -io» ne peut dépendre de la densité Aa de Vêlement qui porte la charge q<i.

4° Que la fonction '/to ne peut dépendre des densités A,, Ao des éléments qui portent les charges </), «72-

Les résultats que nous venons d'obtenir ont , indiquons-le en passant, une première application à la Mécanique céleste.

Pour expliquer la forme de la queue des comètes, M. Faye a supposé que l'aclion mutuelle de deux particules matérielles s'exprimait par une formule renfermant un terme de plus qu'on ne l'avait cru jusqu'à ce jour. Ce terme représenterait une force répulsive dont la grandeur dépendrait du volume spécifique des particules entre lesquelles elle agit; très petite pour les corps dont la densité est mesurable par les moyens qu'emploie le physicien, cette force deviendrait grande pour les gaz très raréfiés qui composent la queue des comètes. M. Resal, dans son Traité de Mécanique céleste, a développé la théorie de semblables forces.

11 résulte de ce qui précède que la supposition d'une semblable force est incompatible avec l'hypothèse généralement admise que, pour connaître la densité d'un corps, il est permis de remplacer la connaissance des autres corps par la seule connaissance des forces données qu'ils exercent et des liaisons qu'ils imposent. Il resterait à connaître celle de ces deux suppositions qui doit être rejetée.

Nous avons indiqué l'importance de l'hypothèse généralement admise sur la compressibilité des corps. Nous aurons plus tard à revenir sur cette hypothèse. Mais, pour le moment, les résultats que nous avons à établir en sont indépendants.

§ 3. — Introduction de la loi de la gravitation universelle et de la loi de Coulomb.

Nous allons maintenant, pour achever la détermination du potentiel thermodynamique interne d'un système électrisé, intro-

36o LIVRE IV. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE.

duire la proposition suivante qui résume les lois de la gravitation universelle et de Coulomb :

Si deux particules de masse lUx-, '>i2i portant des charges électriques Çi, q-y, sont situées à une distance /■^2 supérieure à une certaine longueur très petite \ que nous nommerons le rayon d'' activité moléculaire, leur attraction mutuelle se réduit à

Il en résulte que, lorsque /"ja surpasse )>, la quantité ^(2 ne diffère de

que par un terme indépendant de /(o, et ce terme est nul, puisque d/,2 doit s'annuler lorsque /(o devient infini. Nous avons ainsi

Xl2(''l2)= ;r-®i2(/-12),

les quantités Si2i ^a, '^{2 dépendant de l'état physique et chimique, de la température des éléments Ci, Co, mais point de leur densité dans le cas où l'on admet l'hypothèse indiquée au paragraphe précédent. Ces quantités deviennent égales à o lorsque /'la surpasse 1.

Ajoutons enfin cette hypothèse :

La somme

étendue à toutes les charges situées à une distance inférieure à ). de Vélém.ent V\ est, en général, une quantité très petite de r ordre de \.

En d'autres termes, les choses se passent en toutes circonstances comme si l'action mutuelle de deux particules électrisées était donnée par la loi de Coulomb même aux distances infiniment petites. C'est encore une hypothèse purement gratuite; on pourrait parfaitement supposer que la somme précédente a une

CHAP. 11. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'uN SYSTÈME ÉLECTRISÉ. 36 r

valeur finie comme les sommes analogues

^i2(rii)mi-{-£i3(ri3)m3-i-. . .-+- ii«( /•!„)/«„,

iléunlssons les résultats contenus dans les égalités (i), (4), (5), ((S) et dans celles que nous venons d'obtenir. Posons

(lo) i2| — i H. ..H >

''12 ''13 f'in

les sommes étant étendues à tous les éléments du système autres que l'élément Vt. Posons ensuite

(i2) Pi= 2Fi + £i(rn)m2-^£n{ri3)ni3-i-...-h£in{rin)>nn,

(i3) 01= Gi-+- t{^i(ri2)m2-4-<j>i3(/'i3)/«3-t-----i-4'i»(''i«)"^«»

les sommes s'étendant à tous les éléments situés dans une sphère

de rayon A ayant son centre en un point de l'élément (^|. Nous

aurons, en vertu des égalités (i), (4), (5), (8),

£ = — - ( mi iii -f- «12 i22 + • • • -+" "^n^n )

, ,, , + -(g-i Vi-(-72 V2-+-...+ ^,i V„)

+ - ( mi Pi H- /?l2 P2 + . . . -r- nin P/i )

Chacune des quatre sommations qui figurent au second membre s'étend au système tout entier.

Chacun des quatre termes du second membre a une signification remarquable.

Les actions intérieures qui s'exercent dans un système électrisé sont, en vertu des hypothèses faites, de quatre sortes :

1° Deux masses matérielles exercent l'une sur l'autre une attraction donnée par la loi de la gravitation universelle; le potentiel de ces actions est le terme

(niiQi -\- m^Qi-h . . . + mn^n)-

L'étude de ce terme constitue la Mécanique céleste.

2° Deux masses matérielles, situées à une distance inférieure au rayon d'activité moléculaire, exercent Tune sur l'autre une attraction qui dépend de leur état physique et chimique et de leur température. Ces forces, dites Jorces capillaires, ont pour potentiel le terme

- (miPi -\- m2P2 + . . .-I- /n„P„).

L'étude de ce terme constitue l'étude de la capillarité, au sens général que l'on peut aujourd'hui donner à ce mot. Nous avons esquissé ailleurs (^) comment la Thermodynamique pouvait faire sortir de ce point de départ toute l'étude de la capillarité.

3" Deux masses électrisées exercent l'une sur l'autre une répulsion donnée par la loi de Coulomb. Ces forces ont pour potentiel le terme

-(g-iVi-^- <72V2-t-...H-gr„V„).

4° Deux masses «^^, m^, portant des charges électriques ^,, ^2? et situées à une distance inférieure au rayon d'activité moléculaire, exercent l'une sur l'autre une attraction

()4^i2(ri2) à<]t.2i{ri<i,)

qui dépend de leur état physique et chimique et de leur température. Ces forces ont pour potentiel le terme

Nous allons, aux Livres suivants, étudier, en partie seulement, les propriétés de ce potentiel. Nous laisserons de côté les consé- (juences que l'on peut déduire de son étude dans les recherches relatives à la pression électrique et aux phénomènes électrocapillaires, nous bornant à renvoyer le lecteur au Mémoire que nous avons publié à ce sujet (2).

Les forces dont nous venons de parler ont été pour la première

( ' ) P. DuHEM, Applications de la Thermodynamique aux phénomènes capillaires {Annales de l'École Normale supérieure, i" série, t. II, p. 207; i885).

(") P. DuHEM, Sur la pression électrique et les phénomènes électrocapillaires {Annales de l'École Normale supérieure, 3° série, t. V, p. 97; 1888. — T. VI, p. i83; 1889).

CllVP. II. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'uN SYSTÈME ÉLECTRISÉ. 363

fois considérées par M. H. von Helmholtz ; « En effet, dit-il (' ), tous les phénomènes qui se passent dans les conducteurs de la première classe (c'est-à-dire dans ceux oii le courant a lieu sans éleclrolyse) peuvent évidemment se déduire de l'hypothèse que les différentes substances chimiques exercent des attractions différentes sur les deux électricités, et que ces attractions n'agissent qu'à des distances inappréciables, tandis que les deux électricités agissent aussi l'une sur l'autre à de plus grandes distances. »

Soient r et S l'énergie interne et l'entropie qu'aurait le système si, le ramenant à l'état neutre, on conservait la disposition, la densité, la température et l'état physique ou chimique de ses diverses parties. Nous aurons évidemment

E(V— T2)=— -{niiiîi-h //i2l>2 + ...-+-/n«a„) -I- - (m, Pi -i- m,P,+...H-m„P„).

D'autre part, soit W le potentiel électrostatique du système; nous aurons

Moyennant ces notations, l'égalité (i4) deviendra (i5) i = E(r — TS)H-\v+e,^,+ e2^2 + -.- + Q«7«. ■

C'est la forme du potentiel thermodynamique interne d'un système électrisé à laquelle nous étions parvenus dès 1886 (^).

Les formules (9) et (10) du Chapitre précédent nous donnent immédiatement l'énergie interne et l'entropie d'un système électrisé. Si nous posons

AU

(') II. Hklmholtz, Ueber die Erhaltung der Kraft, p. 4? (Berlin, 1847- Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlutïgen, t. I, p. 48). (') P. DuHEM, Le potentiel thermodynamique et ses applications, p. 209.

nous aurons

(i8) ES =ES-i-IIi^,-f-Il2 5'2H--..+ H„^„,

(19) EU= Er + W-4- K,^i-i-K2^2 + ...-(- K„^„.

ISous aurons souvent, dans ce qui va suivre, à faire usage de ces formules (i5), (18), (19).

§ 4. — De la continuité de la quantité e.

En nousappujant sur les principes que nous venons d'exposer, nous arriverons, au prochain (chapitre, à cette conséquence :

La quantité

(i3) e, = Gi+ 4/12(^12) m2-+-4'i3(n3)»î3-)-. ■. + ^\n{rxn)inn

varie d\ine manière continue avec les coordonnées x^^ j^,, z^ d'un point de Vêlement v^^ même lorsque ce point franchit la surface de discontinuité qui sépare deux corps de nature différente.

Voyons, dès maintenant, ce que l'exactitude d'une semblable ])roposition fait supposer des quantités G et <^^^.

JNous avons vu (§ 1) que, si A' est la densité de l'élément dx'dy'dz'^ l'intégrale

A' (^ ( /') dx' dy dz' ,

dans laquelle /• désigne la distance d'un point de l'élément dx' dy' dz' k un point de l'élément (',, et qui est étendue à un volume infiniment petit comprenant l'élément Vi, doit être infiniment petite quelle que soit la forme de ce volume.

En s'appuyant sur ce lemme, on montrera facilement que la proposition précédente est en effet exacte si l'on admet les deux hypothèses que voici :

1** La quantité G, est une constante absolue qui ne dépend d'' aucune des propriétés particulières de l'élément Vi.

1" La quantité (|>,2, tout en dépendant de l'état physique et chimique de la température de la masse m2, ne dépend d'aucune des propriétés de Vêlement Vt qui porte la masse q^ .

CHAP. II. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'uN SYSTÈME ÉLECTRISÉ. 365

Nous admettrons ces hypothèses, dont la seconde est conforme à la manière de voir d'Hehnholtz exposée à la fin du paragraphe précédent.

Nous admettrons aussi, dans ce qui va suivre :

i" Que les dérivées partielles du premier ordre de la quantité 6 varient d'une manière continue dans tout l'espace;

2° Que les dérivées du second ordre de la quantité 6 n'éprouvent de discontinuité quaux points où la matière est discontinue.

Il est aisé de montrer que l'on peut faire sur la fonction (]/(2 des hypothèses qui entraînent les deux résultats que nous venons d'énoncer ( ' ) ; nous ne nous y arrêterons pas.

(') P. DuHEM, Sur la pression électrique et les phénomènes électrocapillaires. i" Partie : De la pression électrique, Chap. I, § II {Annales de l'École Normale supérieure, 3" série, t. V, p. io3; 1888).