CHAPITRE PREMIER

LOIS FONDAMENTALES DE L'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE SUR LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

§ 1. — Condition de l'équilibre électrique.

Le potentiel thermodynamique interne d'un système électrisé est donné par l'égalité (i 5) du Chapitre précédent

(0 ,f = E(r — TS) + w + 0ig',+ e25r2-f-... + e„^„.

Supposons que l'on se donne la disposition des diverses parties du système, leur état physique et chimique, et proposons-nous de savoir suivant quelle loi se distribuera sur un semblable système une charge électrique donnée.

Imaginons pour cela que l'on fasse varier la distribution électrique sans déplacer les diverses parties du système ; une semblable modification n'engendrant aucun travail externe, on voit que l'on obtiendra la condition d'équilibre électrique en écrivant que, pour toute modification de ce genre,

c'est-à-dire

(■j.) E8(r — T2)-+-8W -1-0(01 5-1-1-02 5f2 + ...+ e„gr„):= o.

Supposons que le système soit formé de conducteurs sur lesquels on peut modifier la distribution électrique sans modifier l'état physique et chimique d'aucun d'entre eux, ce que nous exprimerons brièvement en disant qu'il est formé de conducteurs

métalliques. Alors, dans tout changement de distribution électrique, nous pourrons supposer invariable l'état physique et chimique des diverses parties du système, ce qui nous donnera

8(r — TS) = o,

et réduira l'égalité (2)3

(3) 8W-+- ©1 og-i-i- 02 8g'2-^-- .-HÔraSçr,, = o.

Imaginons en premier lieu la modification suivante : La charge ùq passe de l'élément C) en un point de l'élément t'2. Nous aurons

(4) 8^1= — ogr, oq^ = ^q\ 8^3 = 0, ..., 85-,^ = o.

Calculons 8W.

La valeur initiale de W est

La valeur finale est

.^■23 "2rt

, Qn-

1n-\qn'\

Nous avons donc

8W = -s^^+sS^^^ + il+...4--il

''12 \''21 ''23 ''in

Soient V|, Vo les niveaux potentiels respectifs des éléments

CHAP. I. — L EQUILIBRE KLECTRK

, P2- Nous aurons

'"12 fl» fin

ce qui donnera, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

En vertu des égalités (4) et (5), l'égalité (3) devient

La modification particulière que nous venons de considérer entraîne donc la conséquence suivante :

Pour que V électricité soit en équilibre sur un conducteur métallique dont tous les points sont à la même température, il faut que la quantité (eV-f-B) ail la même valeur en tous les points du conducteur.

Nous allons montrer maintenant que cette condition est suffisante, c'est-à-dire que, si elle est remplie, l'égalité (3) a lieu pour une variation quelconque de distribution électrique.

Pour le prouver, remarquons en premier lieu que, dans une modification quelconque de la distribution électrique, on a

(6) 8W = £(Vi ^^ -H V2 05-2 + • . .+ V„ 8^„),

égalité qui se démontre comme on a démontré l'égalité (5). L'égalilé (3) devient alors

(s V, + e, ) 8^1 -t- (s V2-i- 62) 8^2 -^ . . . + (e V„ 4- e„) Sgr,, :^ o.

Supposons que les éléments c,, ..., vi, forment un premier conducteur C, en tout point duquel (e V-j- 0) a une même valeur A \ que les éléments i'A+i, • • ., ^-t forment un second conducteur C, isolé du premier, en tout point duquel (s V + 0) a une même valeur A', etc.

L'égalité précédente deviendra

A(85ri-f-. . . -{- Zqk) -+- A'(8^A-(-i-f-. . .-H og-/) -H. . . — o. D. - I. 24

Or, d'après la loi de la conservation de l'électricité (Liv. I, Chap. 1), on a

8g'i + - • •-+- ^qk = 0,

l'égalité précédente est donc démontrée.

Ainsi l'égalité

(7) £ V -t- 6 = consl.

constitue la condition nécessaire et suffisante de l'équilibre électrique sur un conducteur métallique dont tous les points sont à la même température.

Peut-on trouver une distribution électrique ayant aux divers points des conducteurs une densité solide finie, sauf sur certaines surfaces en tout point desquelles elle aurait une densité superficielle finie, et satisfaisant à cette condition? Cela serait impossible si la fonction 8 n'était pas une fonction continue dans toute l'étendue d'un même conducteur; si, de plus, elle n'était pas régulière dans tout l'espace occupé par ce conducteur, sauf peutêtre sur certaines surfaces. On est ainsi condpit à faire sur la quantité 0 la première des hypothèses indiquées au § 4 du Chapitre précédent.

Si l'on admet, sur la quantité 0, les hypothèses indiquées au paragraphe en question, on verra sans peine que l'égalité (7) entraîne les conséquences suivantes :

1° A l'intérieur d'un conducteur sur lequel l'équilibre électrique est établi, il n'existe pas de surface électrisée ;

2° En tout point à l'intérieur d'un tel conducteur, V électricité a une densité solide finie et donnée par V égalité

(8) ■ p=7^Ae.

Cette densité dépend uniquement de la constitution du conducteur au voisinage du point considéré ; elle ne varie d'une manière discontinue que si ce point traverse une surface de discontinuité de la substance conductrice.

cnAP. I. — l'Équilibre électrique. 871

Considérons une région d'un conducteur remplie par une substance homogène. 0 aura alors la même valeur en tout point dont la distance aux limites de cette région sera supérieure au rajon d'activité moléculaire. Les égalités (y) et (8) deviendront alors

V = const., p = o.

C'est donc seulement dans une région Jormée par une substance homogène que la fonction potentielle a une valeur constante et la densité électrique une valeur nulle. Nous retrouvons ainsi les lois fondamentales de la théorie de Poisson, mais nous les retrouvons entourées de restrictions que la théorie de Poisson n'aurait pu nous faire prévoir.

§ 2. — Stabilité de l'éq[uilibre électrique.

L'équilibre électrique est-il toujours stable? En d'autres termes, une distribution électrique qui satisfait à la condition {'j) correspond-elle a un minimum de potentiel thermodynamique interne? Pour résoudre cette question, cherchons le signe de 8-J.

Nous avons

Comme <y,, q-^, ..., q,i sont les variables indépendantes, nous aurons

Cherchons donc l'expression de o^W.

L'égalité (6) nous donne

32W = £(oV, oqi-h 0V2 05'2+-.--+ oYnOqn)'

D'ailleurs, nous avons

oVj ^ 1 -(-... H- >

fil r^s fin

fnl rni l'n—in

372 LIVnE V. — LES CONDUCTEUHS MtTALLIQUES.

Nous trouvons donc aisément l'égalité

l L Vn2 f'is ri,J

>'ll-}ll .1

Imaginons que l'on place, en l'élément r,, une charge 5^, ; en l'élément Ç21 wne charge 0^25 • • -, en l'élément (^«, une charge oq,i ; cette distribution électrique admettra un potentiel électrostatique ^, et l'on verra sans peine que l'égalité (9) peut s'écrire

Or nous avons vu [Liv. I, Ghap. IX] que le potentiel électrostatique de tout système électrisé était positif ; la quantité o^W est donc positive; il en est de même de t'^§^ et, toute distribution d'équilibre rendant nécessairement minimum le potentiel thermodynamique interne, l' équilibre électrique sur un système de conducteurs métalliques dont tous les points sont à la même température est assurément un équilibre stable.

CIIAP. II. — LES CONDUCTEUnS HOMOGÈNES. StS