L'INTENSITÉ DES COURANTS

§ 1. — Courants circulant dans la masse d'un conducteur.

Lorsqvie, sur un conducteur, la distribution électrique varie, il ne suffît plus, pour déterminer l'état de ce conducteur à un instant déterminé, de connaître la distribution électrique qu'il porte à cet instant; en effet, si l'état d'un conducteur à l'instant t était entièrement déterminé par la distribution électrique qu'il porte à cet instant t^ les propriétés de ce corps devraient demeurer les mêmes, soit que cette distribution électrique restât après le temps t ce qu'elle est au temps ?, soit qu'elle subît des changements après le temps t. Or il n'en est pas ainsi. Le conducteur sur lequel la distribution varie exercera certaines actions sur un aimant que n'exerce pas un conducteur sur lequel la distribution est invariable, quelle que soit d'ailleurs cette distribution.

Il est donc nécessaire, pour définir un s ystème électrisé, de faire usage d'une représentation plus compliquée que celle qui nous a servi jusqu'ici ; d'adjoindre aux variables qui déterminent la distribution électrique de nouvelles variables, ces dernières disparaissant dans le cas particulier où, sur le conducteur, la distribution demeure indépendante du temps.

La définition de ces nouvelles variables est due surtout à G. -S. Ohm (' ), à Smaasen (2) et à G. Kirchhoff (3).

(') G.-S. Ohm, Die galvanische Kette, mathematisch behandelt {Berlin, 1827. — Traduit en français par Gaugain; Paris, 1860).

(") Smaasen, Vom dynamischen Gleichgewicht der Elektricitàt in einer Ebene oder in einem Kôrper {Pogg. Annalen, Bd. LXIX, p. i6r; 1846). — Vom dynamischen Gleichgewicht der Electricitàt in einem Kôrper und in unbegrânztem Raume{Pogg. Annal., Bd. LXXII, p. /|35; 1847).

(^) G. KiRCHHOFF, Ueber den Durchgang eines élektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisformige ( Pogg. Ann. Bd. LXIV, p. 497; 1845. — Kirchhoff's Abhandlungen, p. i). — Nachtrag zu dem vorigen Auf-

CHAP. III. — l'intensité DES COURANTS. 899

Ces ph3'siciens ont été conduits à la définition des variables dont il s'agit par la comparaison du mouvement de l'électricité avec le mouvement des fluides ; une comparaison de ce genre avait déjà conduit Fourier à la définition des principales quantités qui figurent dans la théorie de la propagation de la chaleur.

Soit M un point pris à l'intérieur d'un conducteur. Nous supposerons que ce point M correspond à une grandeur géométrique F que nous nommerons \e flux électrique au point M à l'instant t. Cette grandeur est liée à la variation que subit la distribution électrique à l'intérieur du conducteur par la convention suivante :

Autour du point M {fig. 70), traçons dans la masse du con-

ducleur un élément AB = i/w. Soit N la normale à cet élément dans un sens déterminé. Soit F le flux au point M. La variation subie par la distribution électrique sur le conducteur dans le temps dt est la même que si, pendant ce temps, l'élément doi avait été traversé, dans le sens de la normale N, par une quantité d'électricité positive dq, donnée en grandeur et en signe par

([) dq = Fcos(F,N)diodt.

Cette égalité (i) peut s'écrire d'une manière un peu diff'érenle.

satze {Pogg. Ann. Bd LXVII, p. 344; i846. — A'. Abhandl., p. 17). — Ueber die Aujlôsung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Strômen gefiihrt wird {Pogg. Ann., Bd. LXXII, p. 497; 1847. — A". Abhandl., p. 22). — Ueber die Anwendbarkeit der Formeln fur die Intensitàten der galvanischen Strômen in eineni Système linearer Leiter auf Système, die zum Theil aus nicht linearen Leitern bestehen {Pogg. Ann., Bd. LXXV, p. 189; 1848. — K. Abhandl., p. 33). — Ueber eine Ableitung der Ohm'schen Gesetze, welche sich an die Théorie der Elektrostatik anschliesst {Pogg. Ann. Bd. LXXVIII, p. 5o6; 1849. — K. Abhandl., p. ^9). — Ueber die stationàren elektrischen Stromungen in einer gekriimmten leitenden Fldche {Monatsber. der Akad. der Wissenschaften zu Berlin, 19 juillet 1875. — K. Abhandl., p. .56).

Prenons trois axes de coordonnées rectangulaires; soient m, ç, w les composantes du flux F suivant ces trois axes. Nous pourrons écrire

(2) dq ~ [acos(N, x) -t- v cos(N,j) -t- w cos(N, z)] dia dt.

Cette égalité (2) va nous conduire à une formule qui mettra nettement en évidence la relation entre le (lux et le changement de distribution électrique.

Traçons, à l'intérieur du conducteur, une surface fermée S. Soient M un point de cette surface et N,- la normale à cette surface au point M ; cette normale est dirigée vers l'intérieur de l'espace limité par la surface S.

Le changement de distribution électrique sur le conducteur est le même que si chacun des éléments ûfS de la surface S laissait, dans le temps dt^ pénétrer à l'intérieur de cette surface une quantité d'électricité

dq = Yu cos(N/, x) -\- V cos(N/,j') -h v cos( Nj, z)] «iS dt.

Le changement de distribution électrique sur le conducteur doit donc avoir pour effet, pendant le temps dt., d'accroître de

dt V [m cos(N/, x)-^ V cos(N/, J-) -+- «'cos(N,, z)\ dS

la quantité d'électricité positive que renferme la surface S.

Mais, d'autre part, si l'on désigne par p la densité électrique au "poinl (x, y, z) à l'instant t, densité que nous supposons finie en tout point intérieur à la surface S, le changement de distribution électrique pendant le temps dt accroîtra la charge électrique totale renfermée dans la surface S de

dt I I i Yfdx dy dz,

l'Intégration s'étendant à tout l'espace intérieur à la surface S. On doit donc avoir, quelle que soit la forme de la surface S,

V [acos(Nt-,a7)-f-(^cos(N;,jK)-H«^cos(I\;,^)]â?S — / / / j-dx dy dz =^ 0.

Cette égalité peut se transformer. Supposons que les quantité^ M, V., w soient continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre dans tout l'espace enfermé par la surface S; qu'il

CHAP. lit. — l'intensité DES COURANTS. 4oi

dû

en soit de même de p et de -r^» L'égalité précédente deviendra

Moyennant les hypothèses faites, elle ne peut avoir lieu pour toute surface S, à moins que l'on n'ait, en tout point où sont vérifiées les conditions indiquées,

du dx

ày

dw

ùt

Cette égalité ne s'applique pas auK divers points d'une surface le long de laquelle les quantités m, p, w, p peuvent être discontinues. Examinons ce cas, en supposant que cette surface puisse porter une électrisation superficielle variable de densité n.

Une semblable surface S {fig- 76) sépare deux régions i et -i

Fig. 76.

du conducteur. Sur cette surface prenons une aire et, par le contour AB de cette aire, menons des droites normales à la surface S. Nous limitons ces droites par deux surfaces Si, S2, parallèles à la surface S, situées l'une dans la région i, l'autre dans la région 2, toutes deux infiniment voisines de la surface S. Soient A, B,, AoB^ les aires découpées sur ces deux surfaces par la surface réglée considérée.

Aux termes près de l'ordre de A,Ao, la quantité d'électricité positive qui entre dans la surface fermée A/BiAoBo pendant le temps dt peut s'écrire

— c?/ X [ Wi cos(Ni, a?) -+- t^i cos(Ni, y) -t- (V| cos(N,, 3) KJxn

Ui cos(N2, a:)H- Vi cos(N2, j) -f- w^ cos(ÎN2, 3)] rfS

et aussi

dt^ $dS.

dt

En égalant ces deux quantités, on voit aisément que l'on doit avoir, en tout point de la surface de discontinuité S,

/ i(iCos(Ni, x) ■-!- i'i cos(Ni, j) -H Wi cos(N], z) ^^' I + «2 cos(N2, a?) -i- P2 cos(N2,jk) -I- M^a cos(N2, -z) = -7- •

Les égalités (3) et (4) nous montrent jusqu'à quel degré les flux d'une part et les densités électriques d'autre part peuvent être regardés comme des variables indépendantes. On peut toujours, pour une valeur particulière de t, se donner arbitrairement la grandeur et la direction du flux électrique en chaque point du conducteur, et la grandeur de la densité solide ou superficielle de l'électricité en chaque point du conducteur. Mais, pour les valeurs ultérieures du temps t, il n'est plus permis de se donner arbitrairement autre chose que la grandeur et la direction du flux électrique en chaque point du conducteur; car les densités, tant solides que superficielles, sont alors déterminées, pour toutes les valeurs de t, par les égalités (3) et (4).

A la surface qui sépare le conducteur du milieu isolant qui l'environne, on a, d'après l'égalité (4),

(5) u cos(N/, x) -h V cos{Ni,y) -+- w cos(N/, -z) = — -r--

Quelques auteurs ont admis que l'on avait toujours, dans ce cas,

u cos(N;, x) -^ V cos(i\;,^) -\- w cos(Nj, ^) — o. •

Mais alors aucun courant ne pourrait faire varier la distribution électrique à la surface d'un conducteur; celle-ci ne pourrait jamais changer, ce qui est inadmissible.

§ 2. — Courants uniformes.

Si le flux électrique est nul en tout point d'un corps conducteur, on dit que V équilibre électrique est éLabli sur ce corps conducteur.

D'après les égalités (3), (4) et (5), la densité électrique solide

CHAP. III. — l'intensité DES COURANTS. 4^3

OU superficielle conserve alors une valeur indépendante du temps en tout point du conducteur.

Mais la densité électrique solide ou superficielle peut conserver, en tout point du conducteur, une valeur indépendante du temps sans que, pour cela, le flux électrique soit nul en tout point. 11 suffit en effet, pour que les courants n'entraînent aucune variation de distribution à la surface du conducteur ou dans son intérieur, que l'on ait à tout instant, pour tout point intérieur au conducteur,

-du ()(' ôiv

dx dy dz '

pour tout point de la surface qui sépare le conducteur de l'isolant,

(7) u cos(N,-, x) -h V cos(N/,^) -r- w cos(N/. z) — o;

enfin, pour tout point d'une surface de discontinuité du conducteur,

( Ml cos(Ni, ip) -H (^1 cos(Ni,7) -4- (iPi cos(Ni, ^)

( -4- «2 cos(N2, x) -T- t'2 cos(N2,y) -f- «'2 cos(N2, z) = o.

Un pareil courant qui, à chaque instant, amène en tout point de l'intérieur du conducteur ou de sa surface autant d'électricité qu'il en emporte, est dit courant uniforme.

Lorsqu'en tout point d'un condvicteur le flux électrique est indépendant du temps, le courant est dit constant.

Un courant qui est à la fois uniforme et constant est dit permanent.

§ 3. — Courants linéaires.

Imaginons qu'une aire plane infiniment petite A {Jig. 77), va-

Kig. 77.

riable de grandeur et de forme, se déplace de manière à demeurer constamment normale à une ligne LL'. Elle balaye un volume que nous supposerons rempli de matière conductrice et que nous nom-

4o4 LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

merons un fil. Si ce fil est parcouru par des flux électriques quelconqvies, nous dirons qu'il est parcouru par un courant linéaire.

Soit N la normale à l'aire A, d'un côté déterminé de cette aire. C'est en même temps la tangente en L à la courbe LL'. L'aire A est traversée, dans le sens indiqué par la normale N, pendant le temps dt, par une quantité d'électricité

c/Q = ^^C [mcos(N, 37)4- pcos(N,7)-+-«'cos(N,3)]£/A.

Si nous posons

(9) J = V [a cos(N, x) -\- V cos(N,^) -\~ w cos(N, z)\dk,

nous aurons

^Q = J dt.

On dit alors que J est Vintensité au point L du courant linéaire.

Supposons, tout d'abord, que le fil LL' ne présente aucune surface de discontinuité entre les points L et L'. 11 est facile de voir que, dans ces conditions, l'intensité J est continue entre les deux points L, L'. Entre deux sections du conducteur, comprenant entre elles une longueur ds de la courbe LL', il s' accumule pendant le temps dt une quantité totale d'électricité

z- as dt.

ds

Supposons maintenant que le fil présente une surface de discontinuité, et, pour ne pas compliquer outre mesure nos raisonnements, imaginons que cette surface coïncide avec une section normale A. Cette section partage le fil en deux régions i et 2.

Lorsqu'on passe de la première à la seconde, l'intensité varie brusquement de la valeur Ji à la valeur Jo. Dans le temps dt, il s'accumule sur la surface A une quantité d'électricité

(Ji —i2)dt.

Si S désigne la densité superficielle moyenne sur l'aire A, nous aurons

CHAP. III. — l'intensité DES COURANTS. 4o5

Considérons, d'autre part, une portion LL' du fil, le long de laquelle ne se trouve aucune surface de discontinuité. Soient J, J' les valeurs de l'intensité à l'origine et à l'extrémité de ce segment, dans le temps dt, ce segment acquiert une quantité d'électricité

{i — y)dt.

Soient A la section moyenne du segment LL; G le périmètre moyen de cette section; a- la densité électrique superficielle moyenne; p la densité solide moyenne. Nous aurons

Si nous admettons que les densités p et o- soient, en général, du même ordre de grandeur, A étant négligeable devant G, nous aurons

Comparons les égalités (lo) et (i i). A étant négligeable devant G, si nous voulons que les densités électriques S et <t soient constamment du même ordre de grandeur, il faudra que (J, — J2)

soit négligeable en présence de - ,-• Ainsi, la variation brusque

que subit l'intensité d'un courant linéaire au voisinage d'une surface de discontinuité du fil est négligeable en comparaison de la variation que subit cette intensité d'une extrémité à l'autre d'un segment de longueur finie, ne présentant pas de surface de discontinuité. On peut donc énoncer la proposition suivante :

V intensité d'un courant linéaire varie d'une manière continue tout le long du fil conducteur, lors même que celui-ci présente des surfaces de discontinuité .

Un raisonnement analogue au précédent conduit aux propositions suivantes :

Si un fil conducteur parcouru par un courant linéaire n^est pas Jermé, l'intensité du courant est égale à O à ses deux extrémités.

Supposons que plusieurs fils conducteurs i, a, ..., n viennent se réunir en un même point S ; désignons par Ji , J2, • • -,

4o6 LIVRE V. — LKS CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

J„ les intensités des courants qui les parcourent , chacune de ces intensités étant comptée positivement lorsqu'elle correspond Cl un courant qui se dirige vers le point S et négativement lorsqu'elle correspond à un courant ciui s'éloigne du point S; nous aurons

(17.) Ji-T- J.2H-. . .-r- J„ — O.

La proposition exprimée par cette égalité (12) porte le nom de lemme de G. Kirchhoff. KirchhofF ( * ) l'a en effet énoncée le premier et en a montré l'importance dans l'étude des courants qui parcourent des réseaux de fils.

Il arrivera souvent, en particulier dans l'étude de l'Electrodynamique et de l'Electromagnétisme, que nous parlerons d'un élément de courant linéaire. Il ne faudra pas entendre par là une longueur infiniment petite de fil conducteur entouré de toute part par l'isolant. En effet, d'après ce qui précède, un semblable élément ne pourra jamais être parcouru par un courant fini. Il faudra seulement entendre par là que nous portons notre attention sur la partie du courant linéaire qui se trouve comprise entre deux sections infiniment voisines du fil, sans que nous supposions pour cela cette partie réellement séparée du reste du courant. Cette remarque a une importance capitale pour l'intelligence de l'Electrodynamique.

Un conducteur en forme de fil peut être parcouru par des flux uniformes. On a alors affaire à un courant linéaire uniforme. On voit sans peine que V intensité d'un courant linéaire uniforme a la même valeur en tous les points du fil.

L'intensité d'un courant ouvert étant nulle aux extrémités.du fil, on voit qvCun courant linéaire uniforme ne peut se présenter que dans un fil fermé, à moins que son intensité ne soit identiquement nulle en tout point.

Ajoutons, pour terminer ce qui concerne la définition de l'intensité d'un courant linéaire, qu'il est possible de comparer entre elles les intensités de courants linéaires permanents.

(') G. Kirchhoff, Ueber die Auflôsung cler Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Strôme gefûhrt wird {Poggendorff's Annalen, Bd LXXII, p. 497; «847- — Kirchhoff 's Abhandlungen, p. 22).

CHAP. III. — l'intensité DES COURANTS. ^oy

On peut obtenir un courant linéaire en déchargeant un condensateur à travers un fîl métallique; la théorie du condensateur étant faite, et celte théorie ayant ramené l'étude des phénomènes produits par la décharge à la détermination de certaines constantes pour lesquelles il existe des appareils de mesure, nous pouvons savoir quel est le signe et la grandeur de la quantité d'électricité qu'une armature du condensateur cède à l'autre.

Supposons que l'on efifectue la décharge du condensateur, non point au travers d'un fîl continu, de cuivre par exemple, mais au travers d'un fîl coupé dont les deux bouts plongent dans une dissolution de sulfate de cuivre. On observe alors que, pendant la décharge, il y a, dans ce voltamètre, une action chimique; un des fîls de cuivre se dissout, tandis que l'autre se recouvre d'un dépôt de cuivre.

En faisant varier de toutes les manières possibles les circonstances de la décharge, on observe la constance des deux lois suivantes :

1° Le cuivre se dépose toujours du côté où se trouve l'armature qui reçoit de V électricité positive;

1° Le poids de cuivre déposé dépend exclusivement de la quantité d'électricité qui a traversé le voltamètre; il est exactement proportionnel à cette quantité.

Ce sont là des conséquences particulières d'une loi générale due à Faraday, que nous étudions au Livre VI.

L'appareil que nous venons de décrire, étant placé sur le trajet d'un courant linéaire permanent, fournit évidemment un moyen de mesurer l'intensité de ce courant linéaire.

Le galvanomètre fournit un second moyen de mesurer cette intensité. Un courant permanent, lancé dans le cadre d'un galvanomètre, donne à l'aiguille de cet instrument une déviation permanente. En faisant traverser à la fois un galvanomètre et un voltamètre, on pourra déterminer l'intensité du courant qui correspond à une déviation donnée de l'aiguille et, par conséquent, graduer empiriquement le galvanomètre.

,fo8 LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.