CHAPITRE IV

LA LOI D'OHM

, àT

j àT

ôy

§ 1. — Énoncé de la loi d'Ohm.

La loi d'Ohm a pour but de fournir les équations du mouvement permanent de V électricité dans un conducteur homogène.

Cette loi constitue l'une des hypothèses fondamentales de la théorie des phénomènes électriques; c'est par voie d'analogie que les physiciens ont été amenés à l'énoncer.

Dans la théorie de la propagation de la chaleur à l'intérieur d'un corps homogène bon conducteur, les composantes w, f , w du flux calorifique au point (,r, y, z) sont reliées à la conductibilité k et à la températui'e T par les relations

G. -S. Ohm a admis (') que les équations du mouvement permanent de l'électricité devaient présenter une forme analogue. Il donnait au coefficient analogue à la conductibilité calorifique le nom de conductibilité électrique, et à la fonction analogue à la température les noms de force électroscopique , manifestation électroscopique, pouvoir, énergie, état électrique.

La multiplicité même de ces dénominations montre assez qu'Ohm n'avait aucune idée précise sur la nature de cette fonction dont il admettait l'existence.

En 1849, ^- K.irchhoff remarqua (2) que, dans la théorie d'Ohm,

(•) G. -S. Ohm, Die galvanische Kette, mathematisch behandelt (Berlin, 1827; traduit en fi-ançais par Gaugain , avec une Préface et des Notes. Paris, 1860).

{') G. KmcHHOFF, Ueber eine Ableitung der Ohm'schen Gesetze, welche sich an die Théorie der Elektrostatik anschliesst {Poggendorff's Annalen, Bd. LXXVIir, p. 5o6; 1849).

Siu =

ÔX

Slv =

Rw =

CIIAP. IV. — LA LOI d'ohm. 4^9

la condition de l'équilibre électrique à l'intérieur d'un conducteur homogène est exprimée par la constance de la force éleclroscopique; tandis que, dans la théorie de Poisson, la même condition est exprimée par la constance de la fonction potentielle. Cette remarque le conduisit à admettre la proportionnalité de la force électroscopique avec la fonction potentielle, et à énoncer l'hypothèse suivante, qui a conservé le nom de loi d'Ohm :

En tout point (x, y, jz) pris à Vintérieur dun conducteur homogène parcouru par des courants permanents, c'est-à-dire uniformes et constants, on a

V étant la fonction potentielle au point (jc, y-, z)\ «, v^ w les composantes du flux électrique au même point ; A un coefficient qui dépend de la nature du conducteur et de sa température au point {x, y, z) et que Von nomme sa résistance spécifique.

On donne à la grandeur géométrique qui, en un point d'un conducteur quelconque, parcouru par des courants quelconques, a pour composantes JIm, S\.v, Si.w^ le nom àe force électromotrice au point considéré. On peut alors énoncer comme suit la loi d'Ohm :

En un point d'un conducteur homogène parcouru par des courants permanents, la force électromotrice est identique en grandeur et direction à la force électrostatique donnée par les lois de Coulomb.

La loi d'Ohm est susceptible d'un énoncé, différent des précédents, qui nous sera commode lorsque nous aurons, ultérieurement, à étendre cette loi.

Prenons le système que nous avons à étudier. A l'instant <, il porte certaines charges électriques. Si l'on se contentait, pour définir l'état de ce système, de connaître ces charges électriques

4 10 LIVRE V. — LKS COXDUCTEUBS MÉTALLIQUES.

sans j joindre, à titre de nouvelles variables, les fiux électriques, ce système admettrait nn potentiel thermodynamique interne que, pour abréger, nous appellerons le potentiel thermodynamique interne du système supposé sans courant.

D'après les notations adoptées au Livre HT, Chapitre II, ce potentiel a pour valeur

Supposons qu'une charge dq passe par un point (^,JK, z) au point [x + ùx, y + S/, z + hz), ces deux points étant à l'intérieur d'un même conducteur homogène qui laisse circuler l'électricité sans éprouver de changement d'état 5 la quantité ^ subira une variation ù§^ et l'on aura

De là on déduit aisément l'énoncé que voici :

Si Cxi ^yy '^z sont les composantes de la force électromotrice en un point (x,y, z) d'un conducteur homogène, non élecirolysable, parcouru par des courants permanents, on a

(2) oz — (C^ox -^ Cy^y-\- CzOz) dq,

St étant- le travail non compensé produit dans le système supposé sans courant, lorsqiùon y transporte la charge dq du point (^, y, z') au point [x + ox^ y + oy, z + ùz).

Cette proposition constitue, comme nous le verrons par la suite, \ hypothèse fondamentale fournissant, dans tous les cas possibles, la loi des courants permanents (' ).

§ 2. — Énoncé de la loi d'Ohm pour les courants linéaires.

L'intensité d'un courant linéaire est donnée par l'égalité [Chap. III, égalité (9)]

J — V [i< cos(N, a;) -+- ccos(N, jK) -t- <^cos(N, ^)] <iA.

(' ) P. DuHEM, Le potentiel thermodynamique et ses applications, p. 323 (Paris, 1886).

CHVP. IV. — LA LOI d'ohm. 4iI

Supposons le conducteur homogène et le courant permanent. En vertu des égalités (i), l'égalité précédente deviendra

J = - ^ S [,^ cos(N, ^) + ^ cos(N, y) -H ^ cos(N, s)j dk.

La direction N coïncide avec la tangente à la courbe LL', dont ds est l'élément de longueur. On a sensiblement, en tout point de l'aire A,

■— cos(N, x)-\- ~- cos(N, y)-{- ~- cos(N, z) = —et, par conséquent, /

cH. ds

Nous nommerons résistance électrique de Vêlement ds la quantité ^ds définie par

L'égalité (3) deviendra alors

(5) iY^ds^ -z — ds.

Cette égalité exprime la loi d'Ohm pour chaque élément d'un conducteur linéaire parcouru par un courant permanent.

Soit LL' un segment de longueur finie de conducteur linéaire. La quantité

(6) K=r: f Rds

est ce que nous nommerons la résistance électrique du segment LL'. On voit que, d'après cette définition :

i" La résistance d' un fil homogène de section constante est proportionnelle à la longueur du fil et en raison inverse de sa section; elle dépend, en outre, de la nature du fil et de sa température;

2° La résistance de plusieurs fils mis bout à bout est égale à la somme des résistances de chacun de ces fils.

Des égalités (5) et (6), on déduit encore le résultat suivant : Soit LL' un segment de fil homogène parcouru par un courant

permanent d'intensité J. Soit k sa résistance. Soient V et V les niveaux potentiels en L et en L'. On a

Cette égalité a été, pour un grand nombre de physiciens, l'objet de vérifications expérimentales très précises qu'il serait trop long d'exposer ici.

§ 3. — Courants permanents parcourant la masse d'un conducteur.

En tout point d'un conducteur pai'couru par des courants uniformes, on a [Chap. III, égalité (6)]

du dv div

dx dy dz

Si le conducteur est homogène et si les courants sont constants, u, t', a' sont donnés par les égalités (i), qui transforment l'égalité précédente en

(7) AV = o.

Ainsi, à l'intérieur d'un conducteur homogène parcouru par des courants permanents, la fonction potentielle de l'électricité libre satisfait à l'équation de Laplace.

De là, on déduit immédiatement cette autre proposition :

A V intérieur d' un conducteur homogène parcouru par des courants permanents il n'y a pas d' électricité libre; celle-ci se trouve uniquement à la surface du conducteur.

A. la surface qui sépare le conducteur de l'isolant, on a, en désignant par Nj la normale avec l'intérieur du conducteur [Chap. 111, égalité (7)],

u cos(N/, x) -+- V cos(Nj, y) 4- w cos(N,-, z) = o. En vertu des égalités (1), cette dernière égalité devient

CHAP. IV. — LA LOI d'ohm. 4i3

Ces divers résultats sont dus à Smaasen (') et à G. Rirchhoff(-). Ils nous permettent d'aborder le problème suivant :

Une masse conductrice ABCD {Jig- 78) est en contact^ par une partie AC, BD de sa surface avec l'isolant; la partie AB

Fis. -8.

est maintenue au niveau potentiel Vq et la partie CD au niveau potentiel Vj. Déterminer les courants permanents qui parcourent cette masse.

1° Si cette masse est parcourue par des courants permanents, elle portera à sa surface de l'électricité libre dont la fonction potentielle V satisfera aux conditions suivantes :

Elle sera harmonique dans tout l'espace ABCD;

Elle sera égale à Vo en tout point de la surface AB;

Elle sera égale à V, en tout point de la surface CD ;

On aura -^rr = o en tout point de la surface AC, BD.

Nous savons (Liv. II, Chap. V, § 3) qu'il peut exister au plus une fonction V satisfaisant à toutes ces conditions. Nous admettrons qu'il en existe une.

(') Smaasen, Vom dynamischen Gleichgewicht der Elektricitàt in einer Ebene oder in eineni Korper {Poggendorff's Annalen, Bd. LXIX, p. 161 ; 1846). - Vom dynamischen Gleichgewicht der Elektricitàt in einem Korper und in unbegrànztem Raume {Poggendorffs Annalen, Bd. LXXII, p. 435; 1847).

(^) G. KiRCHHOFF, Ueber die Anwendbarkeit der Formeln fur die Intensitâten der Galvanischen Strôme in einem Système linearer Leiter au/ Système, die zum Theil aus nicht linearen Leiter n bestehen (Poggendorff's Annalen, Bd LXXV, p. 189; 1848. — Kirchhoff's Abhandlungen, p. 33). — Ueber eine Ableitung der Ohm'schen Gesetze, welche sic h an die Théorie der Elektrostatik anscliliesst {Poggendorffs Annalen, Bd. LXXVIII, p. 5o6; i8^^^. — Kirchhoff's Abhandlungen, p. 49)-

4l4 LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

Cette fonction V étant supposée trouvée, et le conducteur étant supposé parcouru par des courants permanents, les flux de ces courants seront donnés, à l'intérieur du conducteur, par les égalités (i).

2° Les flux ainsi trouvés résolvent le problème, si l'on admet une hypothèse : c'est qu'il est possible de trouver des courants permanents parcourant le système. On sera donc assuré de l'exactitude de la solution précédente, si l'on démontre que les courants qu'elle détermine sont permanents.

Comme ces courants sont évidemment constants , il suffit de prouver qu'ils sont uniformes.

Ils sont uniformes en tout point intérieur au conducteur ; car les égalités (i) donnent, en un pareil point,

ôii dv div s

et le second membre est égal à O, puisque la fonction V est harmonique à l'intérieur du conducteur.

Le problème qui consiste à étudier le régime permanent de l'électricité dans vin conducteur d'étendue finie en toutes dimensions se ramène, comme nous venons de le voir, à un problème

Fis. rQ.

analogue à celui de Lejeune-Dirichlet, mais plus général. Il est un cas particulier où il se ramène au problème même de Lejeune- Dirichlet. C'est le cas où le corps condvicteur n'a aucune surface de contact avec le milieu isolant. Il faut, dans ce cas, que l'une des deux surfaces maintenues à un niveau potentiel donné, surfaces auxquelles on donne le nom à^électt^odes, soit une surface fermée entourant le conducteur, tandis que l'autre électrode forme une seconde surface fermée entourée par le conducteur {Jig. 79). Dans ce cas on a, pour déterminer V, à chercher une fonction harmonique entre les deux surfaces So et S,, prenant sur l'élec-

CHAP. IV.— LA LOI d'ohm. 4'^

trode So la valeur Vq, et sur l'électrode S, la valeur V,. C'est le problème auquel on serait conduit si l'on voulait chercher la distribution électrique sur les faces en regard d'un condensateur dont l'armature interne Sq serait maintenue au niveau potentiel Vo et l'armature externe S, au niveau potentiel V,. Les résultats obtenus dans les deux derniers Chapitres du Livre III pourront immédiatement être transportés à l'étude du régime permanent de l'électricité dans le cas particulier que nous venons de définir.

Revenons au cas général.

Nommons ligne de flux une ligne dont la tangente en chaque point {^x^ jKj z) a même direction et même sens que le flux électrique au même point. D'après les égalités (i), les lignes de flux coïncident en chaque point d^un conducteur homogène avec les trajectoires orthogonales aux surfaces d'égal niveau potentiel.

Les théorèmes établis au Livre III, Chapitre III, fourniront immédiatement les propriétés des lignes de flux.

Sur l'électrode A.B, maintenue au niveau potentiel Vo {,fig- 80),

Fig. 80.

prenons un élément a|i d'aire dO.. Considérons le canal orthogonal aj^yo qui passe par le contour de cet élément. Soit i le flux électrique en un point de a^. Ce flux est normal à la surface AB qui est une surface de niveau.

Menons, au travers du canal orthogonal, deux sections normales infiniment voisines m/i, pq. Soit diù l'aire de l'élément mn . Soit y le flux au point m.

Les propriétés des éléments correspondants nous fournissent

aisément l'égalité

ida.

diii.

4i6 LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

Posons am = 5 , ap = s + ds ; soient V et IV-f-j-ds)

les niveaux potentiels en m et p. On déduira aisément de la loi d'Ohm

De ces deux égalités, on tire

— ; — i aO. = — £ -T- as.

diii os

Écrivons des égalités analogues pour tous les éléments mnpq en lesquels on peut partager le canal ajSyS, et nous obtiendrons, en les ajoutant membre à membre,

idO. i

■^ Ad.'

-£(V,— Vo).

La quantité / — ~ est la résistance du canal orthogonal a^yS

assimilé à un conducteur linéaire. Désignons-la par-^^- L'égalité précédente deviendra

Écrivons des égalités analogues pour tous les éléments dQ de la surface AB et ajoutons-les membre à membre. La somme des premiers membres

i dil

sera la quantité d'électricité qui, par unité de temps, traverse l'électrode AB, c'est-à-dire \ intensité du courant qui parcourt le conducteur ABCD. Si l'on pose

dil

on aura

L'analogie de cette égalité avec l'égalité (7) relative aux courants linéaires a fait donner à la quantité R le nom de résistance électrique du conducteur ABCD.

CHAP. IV. — LA LOI d'oIIM. 4' 7

D'après la manière dont non? lavons définie, celle quantilé R est donnée par l'égalité

do.

di)i

Pour la connaître, il faut non seulement connaître la forme du conducteur homogène ABCD et sa résistance spécifique, mais encore la grandeur, la forme et la position des deux régions AB, CD de sa surface qui servent d'électrodes.

Celle résistance se relie fort simplement à une quantité déjà définie en Électrostatique, dans le cas particulier où le conducteur forme une couche entièrement limitée par les deux électrodes S,), S, (A-.81).

Soit a un point de la surface So- En ce poinl, menons la nor-

Fis. 8..

maie N à la surface So vers l'extérieur de cette surface. Le llux au point 7., étant normal à la surface Sq, aura pour valeur, d'après les égalités (1),

La formule (9) nous donnera donc

R A Vi - Vo kJ d^ "

D'autre part, si les deux surfaces Sq et S| sont prises pour armatures d'un condensateur et portées aux niveaux potentiels Vo et V,, l'armature interne Sq prendra une charge

4l8 LIVRE V. ~ LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

el le condensateur aura pour capacité

Q I I n av

do..

Ainsi, entre la résistance cV un conducteur entièrement compris entre les deux électrodes et la capacité du condensateur qui aurait pour armatures ces mêmes électrodes, existe cette remarquable relation

I 4lT£C

Nous n'examinerons pas ici l'application des théories précédentes à des conducteurs de forme particulière. E, Mathieu (') a intégré les équations du mouvement permanent de l'électricité à l'intérieur de conducteurs en forme de sphère, d'ellipsoïde planétaire, de parallélépipède rectangle. Nous renvoyons le lecteur à son important Ouvrage.

(') Emile Mathieu, Théorie de l' Electrodynamique, Chapitres IV et V (Paris, 1888).