LE MOUVEMENT PERMANENT DE L'ELECTRICITE DANS UNE LAME MÉTALLIQUE

§ 1 . — Le mouvement permanent de l'électricité dans une lame plane.

L'étude expérimentale des conducteurs d'étendue finie en toutes dimensions esta peu près inabordable; ce n'est donc pas de cette étude qu'il est possible de déduire des vérifications expérimentales de la loi d'Ohm. Il est, au contraire, facile d'étudier les conducteurs linéaires ; mais ce cas est si particulier, que la vérification expérimentale de la loi d'Ohm dans ce cas pourrait laisser des doutes sur la valeur générale de la loi. G. Kirchhoff (') a donc comblé une lacune en montrant comment on pouvait étudier, au double point de vue théorique et expérimental, le mouvement permanent de l'électricité dans un conducteur métallique dont une seule des dimensions est très petite, c'est-à-dire dans une lame métallique. M. Smaasen (-) est parvenu presque en même temps à des résultats théoriques conformes à ceux de Kirchhoff.

Commençons par supposer lune des faces de la lame, que nous prendrons pour face supérieure, rigoureusement plane. La face inférieure, très voisine de celle-là, sera rigoureusement ou approximativement plane.

Sur la face supérieure, prenons un système d'axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy {fig- 82).

Soit AB = ds un élément linéaire pris sur la face supérieure de la plaque. Par tous les points de cet élément, menons des normales

(') G. Kirchhoff, Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene , insbesondere durch eine kreisfôrmige {Poggendorjf's Annalen, Bd. LXIV, p. 497; 1845. — Kirchhoff' s Abhandlungeti, p. i). — Nachtrag zu dent vorigen Aufsatze {Poggendorff's Annalen, Bd. I^XVIF, p. 344; 18/16).

(*) W. Smaasen, Vom dynaniischen Gleichgewicht der Elektricitàt in einer Ebene oder in eineni Korper {Poggendorff's Annalen, Bd. LXIX , p. 161; i8',6).

à la face supérieure de la plaque. Elles engendrent, dans l'intérieur de la plaque, un petit rectangle ABA'B' dont l'aire est 8 ds^ S étant l'épaisseur très petite de la plaque au point A.

Soit n la normale à cet élément, c'est-à-dire la normale à l'élé-

Fig.

ment ds dans le plan de la face supérieure de la plaque. Soit c^o) un des éléments de second ordre en lesquels on peut décomposer l'élément ABA'B'. Le rectangle ABA'B' sera traversé, dans le sens de la normale n, pendant le temps dt, par une quantité d'électricité

dCl = dt V \uco's{n, x) -^ V cos{n, y)\dM.

I X) ds = X « dM .

1 ABA'ir

1 \'> ds = ^ ^' doi,

\ AUA'B'

et l'égalité précédente pourra s'écrire

(2) ^Q = [X') cos(rt, x) -+- \'> cos(rt, y )\ ds dl.

Les quantités "O et <>, définies par les égalités (i), sont ce que nous nommerons les composantes du flux superficiel au point As

A la face supérieure de la plaque, traçons un petit rectangle

Fig. 83.

-JD'

ABCD i^fig. 83), dont les côtés AB ;= dx et AC ^=-dy soient pa-

CHAP. V. — MOUVEMENT DE l'ÉLECTRICITÉ DANS UNE PLAQUE. 4^1

rallèles aux axes Ox, Oy. Par le contour de ce petit rectangle, menons des normales à la plaque, qui y découpent un parallélépipède ABCDA'B'C'D'. Ce petit parallélépipède renferme une quantité totale ^ d'électricité répandue à son intérieur, ou bien sur ses faces ABCD, A'B'C'D'.

Nous poserons

et nous nommerons P la densité électrique en un point A de la plaque.

On voit sans peine que l'on a

Oy

~ôi'

Cette égalité montre que, si les courants sont uniformes, on devra avoir

Ox Oy

Soit ABA'B' un élément rectangulaire compris entre deux génératrices AA', BB' de la tranche de la plaque {Jig- 84)- Soit Ng la

normale à cet élément vers l'extérieur de la plaque. Soit ds la longueur AB. Soit ^ds la quantité d'électricité qu'il renferme. On trouvera facilement

X) coë (rie, ^) -+■ "•>? cos(ne, y) =

dt

Si les courants sont uniformes, le second membre sera nul, et l'on aura, en désignant par /?/ la direction opposée à ne-,

(6) XD cos(«,-, x) -+- V cos(n,-, y) — o.

Les lignes de Jlux superficiel doivent être tangentes au bord de la plaque.

Supposons la plaque homogène et les courants permanents. Soit àl la résistance spécifique de la substance qui forme la plaque. Soit V la fonction potentielle. Nous aurons, en vertu de la loi d'Ohm,

__ ^ dY __ ^ ^^

" ~ ~ ^ 5^ ' ^ ~ ~ Jl 6»/ ■

Les égalités (i) deviendront alors