AU A

^■^■"=-iS

Mais les quantités -^j -— - varient d'une manière continue, non

^ ox ôy

seulement à l'intérieur de la plaque, mais encore à la traversée de ses faces. Chacune de ces quantités aura, en tout point de l'élément ABA'B', sensiblement la même valeur qu'au point A. On peut donc remplacer les égalités précédentes par

— ) — désignant ici les valeurs que prennent ces quantités au

point A. • La quantité

est ce que nous nommerons la résistance spécifique de la plaque au point A; l'introduction de cette quantité nous permet d'écrire

Supposons maintenant que la plaque ait une épaisseur constante, de manière que la quantité Itt ait la même valeur en tout point. L'égalité (4) deviendra

elle doit avoir lieu en tout point de la plaque, tandis qu'en tout

CIIAP. V. — MOUVEMENT DE l'ÉLEOTRICIïÉ DANS UNE PLAQUE. 4^3

point du bord de la plaque on doit avoir, en vertu de l'égalité (()),

Considérons donc une plaque dont L soit le bord ( fig. 85). Sur cette plaque, deux aires, l'une limitée par la ligne Lo, l'autre limitée par la ligne L,, sont maintenues respectivement aux niveaux potentiels Vo et V,. Pour déterminer les courants perma-

nents qui parcourent cette plaque, on commencera par chercher une fonction V vérifiant tout point de l'aire comprise entre les lignes L, Lo, L(, l'équation aux dérivées partielles (9), prenant la valeur Vq en tout point de la ligne Lo> 1^ valeur V, en tout point de la ligne L, et satisfaisant à la condition (10) en toul point de la ligne L. Les composantes du flux seront alors déterminées en chaque point par les égalités (8).

Le problème ainsi posé se présente sous la même forme que le problème du mouvement permanent de l'éleclricilé dans un conducteur à trois dimensions. Mais on possède, pour le résoudre, des méthodes qui n'ont pas d'équivalent dans le cas de trois variables. Ces méthodes, que nous ne pouvons détailler ici (*), reposent essentiellement sur quelques théorèmes que nous allons indiquer.

Considérons une variable complexe

z — X -^^ iy.

Soit

Z = F(a7 4- iy)

une fonction analytique quelconque de cette variable. Cette fonc-

(') Voir, pour l'exposé de ces mélhodes, G. Kirchhoff, Voiiesungen iibei mathematische Pliysik-Mechanik, Leçon XXI (Leipzig, 1877).

lion peut toujours être mise sous la forme

X et Y étant deux fonctions analytiques réelles de x et de y. La première est la partie réelle de Z; nous la désignerons par IHZ. La seconde est le coefficient de la partie imaginaire de Z. Nous la désignerons souvent par Jf Z.

La quantité Z ne devant dépendre de ^ et de jK que })ar (jr H- /j-),

on aura

iTL \ dZ iïL dx i ôy 0:

égalité qui devient

.dY .dX dx dy

ou bien

De là, on déduit aisément

l d'-X \ dx-^ \ d^Y \ dx*

d'-X dy'd'-Y

àXdYdXdY dx dx ày dy

Les égalités (i i) montrent (jue, si l'on désigne par F(^ + iy) une fonction quelconque de la variable imaginaire [x 4- iy), les expressions

(i3) ^ ^%V{x^iy),

(i3 bis) V = J V{x-\-iy)

représentent deux intégrales de V équation aux dérivées partielles

^9^ 'dlc^^-^-dy^ =^-

L'égalité (12) montre que les deux équations

( îl Y {x + iv) = const., (i4) \ \ Ji

( J Y{x H- ly) = const.

CHAP. V. — MOUVEMENT DE l/ÉLECTRIClTÉ DANS UNE PLAQUE. 4^5

représentent deux familles de lignes qui se coupent orthogonalement. Si l'une de ces familles représente les lignes équipolentielles, V autre représente les lignes dejlux et inversement.

Ces belles propositions montrent que tous les théorèmes importants de la théorie des fonctions de *'ariables imaginaires trouveront une image dans l'étude du mouvement permanent de l'électricité dans une plaque (').

Toute fonction de la variable complexe {x — «jk), conjuguée de la précédente, présentera des propriétés analogues. On peut démontrer la proposition suivante :

Soient F(x -'r iv), G{x — if) deux fonctions analytiques quelconques de deux variables complexes conjuguées; le symbole

tl F( jr — t>) -4- •« G(^ — i»

représente V intégrale générale de V équation

Les relations de la théorie des fonctions de variables imaginaires avec la théorie de la représentation conforme conduisent au théorème suivant, que nous ne ferons qu'énoncer :

Soient données deux plaques P et P', dont V une est la représentation conforme de Vautre, ce qui signifie qu'à tout point de l'une on peut faire correspondre tout point de l'autre de manière que :

1° Tout point du contour de la plaque P corresponde à un point du contour de la plaque P' et réciproquement;

2" Tout point du contour des électrodes de la plaque P corresponde à un point du contour des électrodes de la plaque P' et réciproquement;

3° Si un point M de la plaque P tend vers un point m du contour de la plaque, le point M', qui correspond à M sur la plaque P', tend uniformément vers le point /?/ qui correspond à m sur le <;ontour de la plaque P' ;

(') Voir V. Klein, Ueber Hiemann's Théorie der algebraischen Funktionen und ihrer Intégrale (Leipzig, 1882).

4" Toute figure infiniment petite tracée sur la plaque P corresponde à une figure semblable tracée sur la plaque P' et réciproquement;'

Si l'on sait trouver le mouvement permanent de l,' électricité dans la plaque P, on sait le trouver dans la plaque P' et réciproquement. Les lignes équipotentielles et les lignes de jlux de l'une des plaques ont respectivement pour représentation les lignes équipotentielles et les lignes de Jlux de l'autre plaque.

Faisons l'application du premier de ces théorèmes à un cas particulier intéressant.

Les deux électrodes se réduisent à deux points : l'un M, {fig. 86),

Fig. m.

de coordonnées («<, ^,), l'autre Mo, de coordonnées {a->, b^)- La fonction potentielle en ces deux points ne sera pas donnée, ni même assujettie à avoir une valeur finie. Nous nous donnerons seulement l'intensité J du courant amené par la première électrode et emmené par la seconde.

Posons

Cl = «1 -1- ibi, C2 = «2-1- '^25 Z ^^ X -+- ij,

Cherchons la partie réelle et le coefficient de / dans la partie imaginaire de Z.

Si nous posons

oc — «1 = /'i COSGi, 37 — «2 = r^ COS62,

y — ^1 = /'i sin6i, y — b^=^ r<i sinOa,

nous aurons

îlZ^log^, 3Z:^e, — 62

CHAP. V. — MOUVEMENT DE l'ÉLECTRICITÉ DANS UNE PLAQUE. 4^7

Nous aurons donc une intégrale particulière de l'équation (lo) en posant

(i5) V=Klog^,

K désignant une constante. Les lignes de flux, représentées par l'équation

Oi — 62 = const.,

seront des arcs de cercle joignant les points M,, M2. Par conséquent, si l'on prend deux de ces arcs de cercle pour limiter la plaque et, en particulier, les deux arcs qui forment un même cercle, on sera assuré que la condition (10), relative aux bords de la plaque, sera satisfaite.

Ainsi, la formule (i5) déterminera le mouvement permanent de l'électricité dans une plaque métallique circulaire, sur le bord de laquelle se trouvent deux électrodes, M(, M2, pourvu seulement que la valeur de la constante K concorde avec la valeur J de l'intensité du courant amené par l'éleclrode M( .

Or il est aisé de déterminer la constante K de manière qu'il en soit ainsi.

Autour du point M, , traçons sur la plaque un demi-cercle de rajon très petit R, ; soit ds un élément de ce cercle. Nous devrons avoir

^=-¥/^^*- La formule (i 5) donne

On doit donc avoir

Ce résultat, reporté dans la formule (i5), donne (' ) (,6) V=«J>ogiî.

Comme nous l'avons vu, les lignes de flux sont des arcs de cercle unissant les deux électrodes. Les lignes d'égal niveau po-

(') La fonction V est ici déterminée à une constante près.

dR,

Ri'

LES CONDUCTEURS METALLIQUES.

lenliel sont données par

const.;

ce sont d'autres cercles coupant orthogonalement les premiers.

G. Kirchhofï a vérifié par l'expérience ce dernier résultat.

Imaginons que l'on unisse deux points M, M' de la plaque par un fil métallique renfermant un galvanomètre. Pour que le galvanomètre n'accuse aucun courant, c'est-à-dire pour que l'équilibre électrique demeure établi sur le fil^ il faut que les deux points M et M' soient au même niveau potentiel. On a donc ainsi un moyen de reconnaître expérimentalement si divers points sont sur une même ligne de niveau. ,

D'autre part, d'après l'égalité (17), si le niveau potentiel est le même en divers points de la plaque, on doit pouvoir, par ces points, faire passer un cercle qui ait son centre sur la ligne M, Mo, et coupe cette ligne en deux points conjugués harmoniques par rapport & M, Mo. G. Kirchhofï cherchait à tracer un pareil cercle, passant aussi près que possible des divers points qu'il avait reconnus expérimentalement être au même niveau potentiel. Dans le Tableau suivant, la première colonne donne le rayon de semblables cercles. Les colonnes suivantes donnent la distance des divers points étudiés au cercle auquel ils correspondent. L'unité de longueur employée est le centième de pouce.

Écarts.

-Hl

La dernière série se rapporte au diamètre de la plaque, normal à M, Ma-

Ces recherches mettent en évidence ce premier résultat, conforme à la théorie : les lignes d'égal niveau potentiel sont représentées par l'égalité (17), en sorte que la fonction potentielle est

une simple fonction du rapport -^- G. RirchhofT a poussé plus

CHAP. V. — MOUVKMENT DE l'ÊLECTRCCITÉ DANS UNE PLAQUE. 4^9

loin, et a démontré par l'expérience que la fonction potentielle

était proportionnelle à log — » et cela de la manière suivante :

Soient, sur la plaque, deux points M et M', entre lesquels existe une différence de niveau potentiel donnée Y — V'=A;

pour que la fonction potentielle soit proportionnelle à log — > il faut et il suffit que l'on ait

(18) — -f = consl.,

de quelque manière que les deux points M et M' soient situés sur la plaque.

Voici comment G. Ivirchhoff a vérifié l'exactitude de celle relation :

Dans le fil du galvanomètre était intercalée une pile thermoélectrique, entretenant entre les deux extrémités du fil une différence de niveau potentiel constante. Pour que le galvanomètre n'accusât, dans ce cas, aucun courant, il fallait, comme le montre l'étude des courants thermo-électriques, que les deux extrémités du fil touchassent deux points M, M' de la plaque, dont la différence de niveau potentiel soit égale et de signe contraire à celle que la pile thermo-électrique entretient entre les deux extrémités du fil. Pour deux couples de tels points, quelle que soit leur position sur les plaques, l'égalité (i8) doit être vérifiée.

G. Kirchhoff a d'abord étudié ainsi des couples de points situés sur la ligne M» Mo. On avait, dans ce cas,

n + ^2 = r\ -H r; = Ml M, = iij,

relation qui, jointe à l'égalité (i8), permettait de calculer /', lorsqu'on connaissait /"j. G. Kirchhoff a comparé les valeurs de r\ ainsi calculées aux valeurs de r\ observées, et il a trouvé les résultats suivants :

/•', obs 10,4 17,3 22,8 28 3i,5 34,4

r\ obs. — r\ cale -i-o,4 — o,[ — 0,4 -+-0,2 0,0 — 0,2

G. Kirchhoff a ensuite étudié les couples situés sur un cercle de

43o LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

5 pouces de rayon, passant par les deux points M', M2, dont la distance était, dans cette expérience, de i pouce. Il a trouvé :

r\ obs

r\ obs. — r\ cale. . .

Ces expériences, on le voit, fournissent une vérification très complète et iT'ès précise de la loi d'Ohm.

On peut résoudre, pour un grand nombre de cas, le problème du mouvement permanent de l'électricité dans une plaque (*). M. Quincke et M. Adams ont donné un grand nombre de vérifications expérimentales des résultats théoriques obtenus (^). La loi d'Ohm se trouve, par ces vérifications, placée hors de toute contestation.

§ 2. — Courants dans une lame courbe.

On peut étudier le mouvement permanent de l'électricité dans un conducteur limité par deux surfaces courbes très voisines, comme on a étudié le mouvement de l'électricité dans une plaque.

Considérons la face supérieure de la plaque et, à sa surface, traçons un système de coordonnées curvilignes orthogonales. Ce système est formé par deux familles de lignes : les lignes [3, que

représente l'équation

a = const.,

et les lignes a, que leprésente l'équation

P = const.

Si ds désigne la distance du point (a, (3) au point

(a + doc, p -+- d'^), on a

(19) ds^-=zA'idoc'^-{-B^dp,

A et B étant deux fonctions positives de a, [3.

(') G. KiRCHHOFF, Vorlesungen iiber niathematische Physik-Mechanik , XXI" Leçon (Leipzig, 1877). — E.Mathieu, Théorie de l' Électrodynamique, Chap. IV et V. Paris, 1888.

(") Quincke, Ueber die Verbreitung eines electrischen Stromes in Metall-platten {Poggendorff's Annalen, t. XCVII, p. 882; i856). ^ Adams, Proceedings of the royal Society of London, Bakerian Lecture, t. XXIV, p. i; 1875.

CIIAP. V. — MOUVEMENT DE LÉLECTRICITÉ DANS UNE PLAQUE. 43l

Le petit rectangle, dont les sommets sont les points

(a, P), (a + ^/a,P), (a, ? + rfp), {% + doL, ^ -^ d^\ a pour aire (io) diù^ hBd%d^.

Les flux superficiels, dans une semblable lame, se définissent comme dans une plaque. Au point (a, ^), nous désignerons par/ la composante du flux suivant la ligne a, et par "• la composante du flux suivant la ligne ^.

Soit P la densité moyenne de l'électricité au point (a, ^) de la plaque. Nous trouverons sans peine que

(il) AB -,- = - ( — ^ -f- -,„--

Si S désigne la densité moyenne sur le bord de la plaque et n/ la ligne tangente à la plaque, normale au bord, et dirigée vers l'intérieur de la plaque, on aura

(•22) /cos(/î/, a)-+-^cos(/i/, p)=— -^•

Si les courants sont permanents, on devra, d'après l'égalité (21),. avoir, en tout point de la plaque,

et, d'après l'égalité (22), avoir, en tout point du bord,

(24) fcos(ni, a)-i- ffcosi/ii, ^) = o.

11 est facile de voir que cette dernière égalité peut encore s'écrire, en désignant par dl un élément du bord de la plaque,

(^5) ^f^-^^^dl=''-

Supposons non seulement que les courants soient permanents, mais encore que la plaque soit homogène-, soit ^H. la résistance spécifique de la matière qui la forme; soit 8 son épaisseur au point (a, ^). Posons

(26) tl-î-

La loi d'Ohm va nous donner, comme on le voit sans peine,

^ -^ îl A da '

(^7) ■ - r dV

Supposons que la plaque ait en tout point la même épaisseur; % sera indépendant de (a, ^). En vertu des équations (2-), l'équation (23) deviendra

d /B dV\ d /A dV

tandis que l'égalité (25) deviendra

^'^•^^ A Toi II ^" B â^ di ~ "■

Si l'on adjoint à ces équations la condition de prendre des valeurs données le long du contour des électrodes, on aura obtenu toutes les conditions qui déterminent la fonction potentielle V. Une fois cette fonction déterminée, les égalités (27) donneront les composantes du flvix superficiel en chaque point de la lame.

La détermination de la fonction V se simplifie notablement, si l'on sait trouver à la surface de la plaque un système de coordonnées curvilignes pour leqviel on ait constamment A = B. Un pareil système porte le nom de système isotherme. On lui donne encore le nom de système isométrique, qui est dû à M. O. Bonnet et qui rappelle le fait suivant : Si Von convient de prendre toujours d<x =: d^^ un système de coordonnées isothermes partage la surface en carrés infiniment petits.

Supposons que nous ayons choisi un système isotherme pour système de coordonnées curvilignes relatives à notre surface, et voyons ce que deviennent les conditions (28) et (29) qui déterminent la fonction V :

1° En tout point de la lame, nous aurons

2" En tout point du bord de la lame, nous aurons

^ ^' dx dl ^ d^ dl ~ "'