CIIAP. V. — MOUVEMENT DE L'ÉLECTRICITÉ DANS UNE PLAQUE

3° Le long des bords /,, /o des électrodes, nous aurons (32) V-V„ V = V2.

Le problème analytique auquel se ramène maintenant la détermination de la fonction V est identique au problème auquel nous avait amené l'étude du mouvement permanent de l'électricité dans une plaque. Si donc on sait trouver, à la surface d'une lame courbe, un système de coordonnées isothermes, V étude du mouvement permanent de V électricité dans cette lame est ramenée au même problème analytique que l'étude du mouvement de V électricité dans une plaque.

Cette relation va devenir plus claire encore par les développements suivants :

Rappelons d'abord les propriétés géométriques des systèmes isothermes, telles que Gauss les a établies (').

Supposons que, sur une surface, on connaisse un système isotherme. Au point P(a, [3) de la surface, faisons correspondre sur un plan un point />(^,jk), dont les coordonnées rectangulaires :r, r aient pour valeurs respectives

A toute figure infiniment petite tracée sur la surface cette loi fait correspondre une figure infiniment petite semblable tracée sur le plan. On dit qu'une semblable correspondance fournit une représentation conforme ou un tracé géographique de la surface sur le plan. L'angle de deux lignes tracées sur la surface est égal à l'angle des deux lignes qui les représentent sur le tracé géographique.

Réciproquement, si l'on a le tracé géographique d'une surface sur un plan, tout système de coordonnées rectiljgnes et rectangulaires sur ce plan est la représentation d'un système isotherme de la surface.

Ces propositions montrent que la recherche d'un système iso-

(') Gauss, Allgenieiiie Auflosung der Aufgabe die Tlieile eiiier gegebeneii

Flàche auf einer andern gegebenen Flàche so abziibilden dass die Abbildung

dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen àhnlich wird (Gauss, Werke,

Bd. IV, p. 193). — G. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. I, p. 146.

therme sur une surface est équivalente à la recherche d'un mode de représentation conforme de cette surface sur un plan.

Si donc, à la surface de la lame en laquelle nous voulons étudier le mouvement permanent de l'électricité, nous savons trouver un système isotherme, nous savons, par cela même, faire le tracé géographique de la lame sur un plan. Ce tracé nous dessinera une plaque, dont le hord et les électrodes seront les images du bord et des électrodes de la lame étudiée.

On peut toujours supposer que la correspondance entre la lame et sa représentation ait été obtenue en égalant respectivement k X et à y les paramètres a, ^ du système isotherme pris, sur la lame, pour système de coordonnées. La fonction V(a, [3) se transformera par là en une fonction Ni^x^y')^ qui présentera les propriétés suivantes :

1° En vertu de l'égalité (3o), en tout point de Ia plaque , image de la lame, on aura

2° En tout point du contour des électrodes de la plaque, images des électrodes de la lame, on aura, en vertu des égalités (Sa),

3'^ En tout point du bord de la plaque, image du bord de la lame, on aura, en vertu de l'égalité (3i),

N,- étant la normale au bord de la plaque vers l'intérieur de cette plaque.

Ainsi, la fonction V(a, [^), qui résout sur la lame le problème du mouvement permanent de l'électricité, est identique à la fonction V(^, y) qui résout le même problème pour la plaque, représentation conforme de la lame, et nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Lorsqu'on sait faire sur un plan le tracé géographique d'une lame courbe et trouver le mouvement permanent de V électricité dans une plaque coulée sur ce tracé, on sait trou-