CHAI». V. — MOUVEMENT DE' L'ÉLECTRICITÉ DANS UNE PLAQUE

ver le mouvement permanent de l'électricité dans la lame courbe.

Ces théorèmes, dont il serait difficile de citer l'inventeur, tant ils sont intimement liés à une foule de questions d'analyse, ont été donnés explicitement par G. Rirchhoff(').

Démontrons encore, pour terminer cette étude, ce beau théorème :

Lorsque V électricité se meut dans une lame d'un mouvement permanent , les lignes d'égal niveau potentiel et les lignes de flux forment toujours un système isotherme.

Ces deux familles de lignes, lignes équipolentielles et lignes de flux, forment toujours, en effet, un système orthogonal. Nous pouvons donc supposer que l'on ait pris ces lignes comme système de coordonnées curvilignes à la surface de la lame, les lignes a coïncidant avec les lignes éqiiipotentielles, et les lignes ^ avec les lignes de flux.

On devra toujours avoir l'égalité

( ^\ «> /B ^\ ^ /A dW

Mais, pour que les lignes équipotentielles coïncident avec les lignes

P = const.,

il faut que V ne dépende que de a, ce qui réduit l'équation (28) à

d /B dY\

ôx \A. doL J

On a donc, en désignant par W(^) une certaine fonction de [i,

(*) G. KmcHHOFF, Ueber die stationàren elektrischen Strômungen in einer gekriimmten leitenden Flàche {Monatsber. der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 19 juillet 1875. — Kirchhoff's Abhandlungen, p. 56). — Sur les relations que ces théorèmes présentent avec la théorie des fonctions analytiques, voir l'Ouvrage déjà cité de M- F. Klein, Ueber Rieniann's Théorie der algebraischen Functionen und ihrer Intégrale (Leipzig, 1882).

dV D'ailleurs, -^ ne dépend que de a; si nous désignons cette fonction de a par $(a), nous aurons

et l'égalité (19) deviendra

Faisons maintenant le changement de variables suivant, changement qui ne modifiera pas les lignes coordonnées :

a'= / ^(a) da,

La fonction ).(a, [i) se transformera en une fonction 4^(a', |i'), et nous aurons

Le système des lignes

a'=const., [B'=const.

forme donc un système isotherme; et, comme ce système coïncide avec le système

a = cons!., p = const.,

le théorème énoncé se trouve démontré.

M. Boltzmann (»), G. Kirchhofï (2), É. Mathieu (3) ont résolu complètement, au moyen de ces principes, le problème du mouvement de l'électricité dans certaines surfaces. Nous renvoyons le lecteur à leurs travaux, et notamment au Traité de É. Mathieu.

(') Boltzmann, Ueber die Bewegung der Elektricitàt in krummen Flâchen {Sitzungsber. der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien, t. LU, p. 2i4; i855).

(') G. KiRCHHOFF, loC.cit.

(') É. Mathieu, Théorie de l' Électrodynamique. Paris, 1888.