CHAP. VI. — L.\ LOI DE JOULE
Mais, d'autre part, si l'on désigne par u, v^ iv les composantes du flux électrique au point M, on a
J^a quantité iii ds n'est autre chose que le volume du petit segment compris entre les sections to et w'. On arrive donc ainsi à l'énoncé suivant, qui est l'extension de la loi de Joule à un conducteur d'étendue finie en toutes dimensions :
Lorsqu un conducteur homogène, dont tous les points sont à la même température, est parcouru par un courant permanent, chaque élément de volume dx dy dz de ce conducteur dégage, dans le temps dt^ une quantité de chaleur o?Q donnée par la formule
(3) Ed<^ = S^{u'^-^v'^^w^)dxdydzdt.
Cette égalité peut se transformer comme nous avons transformé l'égalité (i) ; en effet, la loi d'Ohm donne
ox
ày
dz En vertu de ces relations, l'égalité (3) peut s'écrire :
/c)V d\ ôW \
(4) ^d^l^-zi^^u-^ —v-^^w'jdxdydzdt.
R. Clausius (') a donné des équations (2) et (4) un énoncé qu'il est intéressant de connaître.
Le potentiel électrostatique d'un système ayant pour expression
expression dans laquelle la sommation s'étend à toutes les charges
(•) R. Clausius, Ueber die bei einem stationâren elektrischen Strome in dem Leiter gethane Arbeit und erzeiigte Wàrme {Poggendorff's Annalen, Bd. LXXXVII, p. 4i5; i852. — Mémoires sur la Théorie mécanique de la chaleur, traduits par Folie, t. II, p. ii4).
44o LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.
du sjslème, lorsque la distribution électrique subit une variation infinimenl petite, ce potentiel éprouve une variation
(5) o\y = z\\èg,
ùq étant la variation de la charge électrique au point où la fonction potentielle a la valeur V.
Cela posé, envisageons tout d'abord un segment MM' de conducteur linéaire et homogène, traversé de M en M' par un courant permanent d'intensité J. Dans le temps dl, ce segment dégage, d'après l'égalité (2), une quantité de chaleur c/Q donnée par
ErfQ = — z(y—\)idf.
Imaginons que, pendant le temps dt, le segment MM' ait été parcouru par le courant uniforme d'intensité J, mais que l'électricité soit demeurée en repos sur tout le reste du système. La distribution électrique sur le système aurait alors, dans le temps dt, subi une variation ; la charge au point M aurait diminué de J dt, et la charge au point M' aurait augmenté de la même quantité. D'après l'égalité (5), le potentiel électrostatique du système aurait augmenté de
La comparaison des deux égalités que nous venons d'écrire conduit à la proposition suivante :
Soit MM' un segment linéaire, homogène, d'un conducteur parcouru par un courant permanent. Il dégage, dans le temps dt, la quantité de chaleur dQ que l'on peut calculer de la manière suivante : supposons que, dans le temps dt, le segment MM' ait été parcouru par le courant permanent qui le parcourt en réalité, tandis que le reste du système n'aurait été parcouru par aucun courant. La distribution électrique sur le système aurait subi un certain changement, entraînant une certaine variation oW du potentiel électrostatique du système, et Von aurait
(G) E^Q=— ûW.
Ce théorème peut s'étendre de la manière suivante aux conducteurs à trois dimensions :
