CHAP. VI. — I.A LOI DE JOULE
A l'inlérieur d'un conducteur homogène, ayant en tout point la même température, parcouru par des courants permanents, traçons une surface fermée S (^fig- 88). La partie du conducteur si-
tuée à l'intérieur du conducteur dégage, dans le temps dt^ une quantiué de chaleur û^Q, et l'on a, d'après l'égalité (4),
ErfQ =-srf/yyy(-^«H- ^.-^ ^\.) dxdydz,
l'intégrale triple s'étendant au volume que limite la surface S.
Soit JN/ la normale à la surface S vers l'intérieur de cette surface. Une intégration par parties donne :
= — V V[?f cos(N/, x)-^ V cos(N/,7) -+- w cos(N;, z)\ dS
Si l'on remarque d'ailleurs que, les courants étant permanents, on a, en tout point intérieur à la surface S,
du ôv ôw
T" -^ T" + X" = ^' ox oy az
on voit que l'on peut écrire
(7) Efi?Q = £C^^ C V[«cos(N,-, ar)4-pcos(N/, 7)-r- tv cos(N/, z)] rfS.
Imaginons, d'autre part, que l'espace intérieur à la surface S demeure traversé, pendant le temps dt^ pa^ les courants permanents qui le traversent en réalité, tandis que l'électricité serait en repos sur le reste du système. La distribution électrique sur le
système subirait un certain changemenl que nous pouvons déterminer.
La charge électrique en un point extérieur à la surface S ne subirait aucvin changement, puisque, en ce point, il n'y aurait aucun courant.
La charge électrique en un point intérieur à la surface S ne subirait non plus aucun changement, puisque, en ce point, le courant serait uniforme.
Mais il n'en serait plus de même en un point de la surface S. L'élément c/S de la surface S acquerrait, dans le temps dt^ une charge
0^ = — dt\u cos(N/, a-) -+- f cos(N/, y) -t- w cos(N,-, z)\ dS.
Ce changement de distribution électrique entraînerait une variation du potentiel électrostatique, ayant pour valeur, d'après la formule (5),
(8) SW ^- — zdt C V[i<cos(N/,a7) + pcos(N^, jK) + ff cos(N,-, s)]c?S.
Le rapprochement des égalités (7) et (8) conduit à énoncer le théorème suivant :
A l'intérieur d'un conducteur homogène , ayant en tout point la même température et parcouru par des courants permanents, traçons une surface fermée. La partie du conducteur qu' enferme cette surface dégage^ dans le temps dt.^ une quantité de chaleur <iQ que Von peut calculer de la manière suivante : supposons cjue, dans le temps dt, cette portion du conducteur ait été parcourue par les courants qui la parcourent en réalité, tandis que le reste du système n^ aurait été parcouru par aucun courant. La distribution électrique sur le système aurait subi une certaine modification, entraînant une variation 8W du potentiel électrostatique, et Von aurait (6 bis) E^Q= — 8VV.
Sir W. Thomson ( ' ) et R. Clausius (-) ont cherché à prouver
( ' ) Sir W. Thomson, Applications of the principle of mechanical effect to the measurement of electro-motive forces and of galvanic résistances, in absolute units {Philosophical Magazine, 4" série, t. II, p. 55i; i85i. — Thomson's mathematical and physical papers, Vol. I, p. 490)-
{') R. Clausius, toc. cit.
