AV = ~ ^ AB
ou bien, en désignant par o la densité électrique au point considéré,
p = — Ae.
Ainsi, dans toute région où 0 demeure constant, il n'y a pas d'électricité. Mais, dans les régions où 0 varie, il peut se trouver de l'électricité. Par conséquent, à l'intérieur d'un conducteur sur lequel l'équilibre électrique est établi, il peut y avoir de l'électricité :
1° Si la nature du conducteur varie ;
2° Si le conducteur est homogène, à une distance inférieure à ()v -f- ul) des surfaces terminales.
Examinons particulièrement ce dernier cas.
Nous avons déjà vu (Chap. II) comment, sur un corps métallique homogène jusqu'au voisinage des surfaces terminales, l'électricité se distribue à l'approche de l'isolant qui confine au
(') VoLTA, Sur l'Électricité dite galvanique {Annales de Chimie et de Physique,!^" série, t. XL, p. 225; 1801). Volta employait, dans l'énoncé des lois qu'il a découvertes, le terme, quelque peu obscur, de différence de tension électrique entre deux métaux. Cette différence a été, pour la première fois, regardée comme une différence de niveau potentiel par G. Kirchhoff, dans son Mémoire : Ueber eine Ableitung der Ohm'schen Gesetze, welche sich an die Théorie der Elektrostatik anschliesst {Poggendorff's Annalen, Bd. LXXVIII, p. 5o6; 1849. — Kirchhoff' s Abhandlungen, p. 49)-
corps. Voyons maintenant comment elle se distribue dans les régions voisines de la surface par laquelle le métal confine à un autre métal, homogène, lui aussi, jusqu'au voisinage de ses limites.
Nous admettrons qu'en un point M du corps a, situé à une distance /, inférieure à (X -(- |ji.) de la surface qui sépare le corps a du corps b, surface dont le rayon de courbure est supposé très grand par rapport k (\-+- [x), % et A6 ont des valeurs qui dépendent seulement de la nature des deux corps a et 6 et de la distance /. Nous désignerons ces valeurs par 0(a, 6, /) et A0(«, b, l). Il en résulte qu'une surface parallèle à la surface de séparation des deux corps a et b est à la fois une surface de niveau et une surface d'égale densité électrique. La densité électrique y a une valeur p(a, b, l) qui, elle aussi, dépend uniquement de la nature des deux corps a el b et de la distance / de la surface considérée à la surface de séparation.
Lorsque / égale ou surpasse (À -+- [jl), p(rt, b, l) prend la valeur o et 0(«, b, l) prend la valeur 0«, qui dépend uniquement de la nature du corps a.
La surface de séparation des deux corps a cl b peut-elle renfermer une distribution électrique superficielle?
Par un point M de cette surface (Jig- 89), menons une nor-
Fig. 89.
maie N^ vers l'intérieur du corps a, et une normale N^ vers l'intérieur du corps b. S'il existe au point M une distribution superficielle, elle a pour densité
£V dY
Mais la condition (2) donne
dNa "
ec^N,
dY
t dNh
i^s[dr«^(«'^'«)-^dN;^(^'«'^)]-
D'ailleurs, par hjpothèse (Liv. IV, Chap. II), les dérivées partielles dvi premier ordre de la quantité 0 sont continues, même à la traversée de la surface de contact de deux conducteurs. On a donc
// n'y a pas d'électricité siu' la surface de séparation «, b\ il y en a seulement au voisinage de cette surface.
Nous avons vu comment l'électricité était distribuée à l'intérieur du corps a au voisinage du corps h\ elle est distribuée d'une manière analogue à l'intérieur du corps h au voisinage du corps a; l'ensemble de ces deux distributions possède une propriété remarquable.
Prenons un élément i/S de la surface de séparation («, 6) {^fig. 90); au contour de cet élément, circonscrivons un petit cy-
Fig. 90.
— Ja.,1) h
lindre, normal à la surface, et limitons-le, de part et d'autre de la surface («, b\ par deux bases MIN, PQ, parallèles à la surface (a, 6), et dont la distance à cette surface dépasse un peu (X + jjl).
A ce petit cylindre, appliquons les lemmes de Gauss.
Pour tout élément superficiel diù de la partie latérale du petit
dY cylindre, on a -r^ = o, puisque les générations de ce petit cylindre
sont normales aux surfaces parallèles à (a, b), qui sont les surfaces
de niveau. Pour tout élément superficiel des deux bases MN, PQ,
qui limitent ce petit cylindre, nous avons -^ = o, puisque, a une
distance supérieure à (Xh- [jl) de la surface («, b), 0, et par conséquent V, ne varient plus. Nous avons donc, pour le petit cylindre tout entier,
ce qui prouve qu'il renferme autant d'électricité positive que d'électricité négative.
Ainsi, l' électricité distribuée au voisinage de la surface de contact de deux métaux homogènes forme une couche double, lorsque l'équilibre électrique est établi (').
Ces remarques vont nous permettre d'expliquer théoriquement une expérience, due à M. Pellat (-), par laquelle on peut, dans les cours, mettre en évidence l'existence de la différence de niveau
Fig. 91.
potentiel au contact de deux métaux. L'expérience en question se fait ordinairement avec un condensateur à plateaux. Pour en faire la théorie, nous remplacerons le condensateur à plateaux par un condensateur sphérique.
Imaginons quatre sphères concentriques S,, S2, Sa, S4 {fig. 91).
(") Voyez H. von Helmiioltz, Studien iiber elektrisclie Grenzscliichten {Wiedemann's Annalen, t. VII, p. 337; 1879. — Helmholtz wissenscha/tliclie Abhandlungen, t. I, p. 885). — P. Duhem, Sur la pression électrique et les phénomènes électrocapillaires ; I'° Partie, De la pression électrique {Annales de l'École Normale supérieure, 3' série, t. V, p. 97; 1888).
(*) Pellat, Différence de potentiel des couches électriques qui recouvrent deux métaux au contact {Annales de Chimie et de Physique, 5° série, t. XXIV, p. 5; 1881).
45o LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.
Elles partagent l'espace en cinq régions, que nous numérotons, à partir du centre, 1, 2, 3, 4, 5. La région 5 est illimitée.
INovis supposerons la région 2 remplie d'une matière conductrice a, la région 4 remplie d'une autre matière conductrice b, et les régions 1, 3 et o remplies d'un même isolant i.
Supposons que, dans une première expérience, les surfaces S,, Sa 5 S3, S/, ne portent que leur électricité naturelle et que les deux sphères soient isolées l'une de l'autre. Il est aisé de voir que le système sera en équilibre.
Les diverses surfaces sphériques portant chacune une couche double, la fonction potentielle, en tout point de la région 5, aura
la valeur
Au moment où l'on franchit la surface S/,, la fonction potentielle commence à varier de telle façon que l'on ait constamment
Si l'on pose
à une distance supérieure à (T^-f-ui) de la surface S4, dans la région 4, on aura
Au moment où l'on approchera de la surface S3 , V variera de nouveau pour atteindre, une fois cette surface franchie, la valeur
Si l'on pose
6(a,i, o) — 0(a, i, X -f- fj.)
dans la région 2, à une distance supérieure à (X-f-[Ji.) des surfaces S, et So, on aura
Enfin, dans la région 1, on aura
Vi=o.
Supposons maintenant que, dans une seconde expérience, l'on mette les deux sphères conductrices 2 et 4 en communication
l'une avec l'autre par un fil métallique quelconque, et la sphère 2 en communication avec le sol. On devra alors avoir, pour l'équilibre,
Pour que la dislribution ne fût pas changée, il faudrait que l'on eût
et, par conséquent.
Si a, i. A -I- [x) — 6(6, i, X -+- [x)
ce qui entraînerait
K/, — Ka,
condition qui ne sera pas réalisée, en général, si les deux métaux a et b ne sont pas identiques.
Si cette condition n'est pas réalisée, l'état d'équilibre qui s'établit dans la seconde expérience n'est pas identique à celui qui s'établit dans la première. Il est aisé de voir que, dans le nouvel état d'équilibre, les deux surfaces S) et S^ ne portent que leur électricité naturelle; mais les deux surfaces Sa et Sg portent, outre leur électrisation naturelle, des quantités d'électricité libre égales et de signe contraire. Soient Q,j la charge distribuée sur la surface So et — Qrt la charge distribuée sur la surface S.,. Soient Ra, Rj les rayons de ces surfaces. On verra aisément que l'on a
On a donc ou bien
Supposons que l'on enlève la sphère extérieure et que l'on mesure la charge totale de la sphère intérieure, charge qui se réduit à Qa, puisque, outre Qa, la sphère intérieure ne renferme que des couches doubles. On obtiendra ainsi une détermination expérimentale de
On voit que ce procédé ne détermine pas la valeur de
B{b, i, 1 -f- ;ji) — &{a, i, X -^ ix),
qui serait, dans certaines questions, la plus intéressante à connaître. Cet inconvénient se retrouve dans les diverses méthodes de détermination de la différence de niveau potentiel de deux métaux en contact, comme l'ont signalé Maxwell (') et M. Pellat (-).
La méthode précédente déterminant seulement la différence de niveau potentiel des couches électriques superficielles distribuées sur les deux métaux, on conçoit sans peine que la moindre altération superficielle d'un de ces métaux fasse varier la quantité déterminée par ce procédé; au contraire, la différence de niveau potentiel entre les points intérieurs aux deux métaux n'est point modifiée par cette altération.
§ 2. — Quelques théorèmes sur l'attraction des couches électriques
doubles.
Les considérations développées au paragraphe précédent achèvent de nous montrer l'importance des couches électriques doubles que nous avions déjà eu à considérer au Chapitre IL Aussi est-il indispensable d'établir ici quelques propositions très simples sur l'attraction de semblables couches.
Ces théorèmes reposent sur l'expression de la fonction potentielle d'une couche électrique double, expression que nous allons établir tout d'abord.
Considérons une couche double de très petite épaisseur Çk -+- u.). Soit S la surface terminale qui limite cette couche double; la surface S porte de l'électricité dont la densité superficielle est a; à l'intérieur de la couche double, la densité solide de l'électricité a une valeur p. Les quantités a- et p ont, en général, des valeurs
très o'randes de l'ordre de ;;
Prenons sur la surface S un élément dS. Par le contour de cet
(') Maxwell, Traité d'Électi-icité et de Magnétisme, traduit par Seligmann- Lui, t. I, p. 324.
(») Pellat, Différence de potentiel des couches électriques qui recouvrent deux métaux au contact {Annales de Chimie et de Physique, o" série, t. XXIV, p. 8; 1881).
élément, menons des normales à la surface S; elles découpent dans la couche double un petit volume A, sensiblement cylindrique, de base dS et de hauteur (X -|- [Jl). Soit dv un élément de ce volume.
Ce volume doit renfermer autant d'électricité positive que d'électricité négative, en sorte que l'on doit avoir
(i) adS-^^pdv = o.
Cherchons la fonction potentielle de ce petit volume en un point M qui lui est extérieur. Cette fonction aura pour valeur
r étant la distance de l'élément dS au point M, /' la distance de l'élément dv au même point.
Soient / la distance de l'élément dS à l'élément dv ^ rii la direction de la ligne qui va du premier au second» Nous aurons
et
Mais on a
- — Vo[cos(/', n/)]
1 — 2 - cos(r, rt/)-f- - -f-Vi[cos(/-, n,)]-
-f- V2[cos(r, n,-)]^ -)-...,
V„[cos(/'-, /i/)] désignant le polynôme de Legendre de rang n.
Supposons que la distance /• soit toujours très grande par rapport à ()v-|-pt.). Remarquons que, p étant de l'ordre de r >
la quantité — est en général finie, mais que la quantité — ^ est
toujours extrêmement petite. Observons, enfin, que
Vo[cos(r, n/)] = i, Vi[cos(r, n/)] = cos (r,n/),
et nous aurons
Si l'on tient compte de l'égalité (i), si l'on observe que
cos(r, rii) /■
/'■^ Ofii
si l'on pose enfin
(2) OIl^S -- C p / rf^-,
on aura
(Jrii
S'il s'ag-it de calculer la fonction potentielle, non plus du petit élément A, mais de la couche tout entière, nous aurons pour expression de cette fonction potentielle
(3) Y=^DrL~dS.
Cette expression n'est valable qu'autant que le point M, auquel se rapporte la fonction V, est à une distance de la surface S grande par rapport à (). H- jx).
DÏL sera nommé ['intensité de la couche double en un point de l'élément dS.
Supposons que la couche double considérée soit celle qui se trouve, dans l'état d'équilibre, à la surface de séparation d'un corps conducteur A et d'un isolant o. Dans l'égalité (2), nous devrons faire
dif = dl dS, P = p(A,o, /),
et 0\l sera défini par l'égalité
01I(A,o) = / /?(A,o, l)dl,
ou bien
(4) D\iiX,o)---= -- / lAe(k,o,l)dl.
4Tr£ J^
CHAP. VII. — DIFFÉREiNCE DE POTENTIEL AU CONTACT. .05
Cette égalité nous montre que la quantité DTL(A, o) est entièrement définie lorsqiion connaît la nature du métal k. et de V isolant o.
Considérons de même la couche double qui se forme, dans l'état d'équilibre électrique, à la surface de séparation de deux métaux A et B. Supposons que la direction, désignée dans ce qui précède par /i,, soit la normale «^ vers l'intérieur du métal. Nous aurons encore
dv = dS dl;
l devra varier de — ()v -+- (jl) à H- (X -h a ) ; / variant de — (^ + [J"-) à o, p prendra la détermination p(B, A, — ■ l); au contraire, / variant de o à ()v -f- [x), p prendra la détermination p(A, B, /). On aura donc
OTL=:/ lp{B,X, — l)dl-i- lp{X,B,t)dl,
ou bien
i lp{k,B,l)dl— lp(B,A,l)dl,
ce qu'on peut encore écrire
(7) 3rt(A,B)--l:
J^X,+ [JL ^X+[i "I
f l^e{X,B,l)dl— lù.e{B,A,l)dl\
Celte égalité nous montre encore que la quantité 31L(A, B) est entièrement définie lorsqu'on connaît la nature des deux métaux A et B.
Ces deux quantités, 311 (A, o), 31L(A, B), sont encore susceptibles d'une autre expression.
Considérons d'abord la quantité D1I/(iV, o). La quantité 0 varie
très rapidement, dans le sens de la normale à la surface S; au
contraire, ses variations sont très lentes suivant une parallèle au
plan tangent à cette surface. On peut donc réduire sensiblement
ACk/ A A ' <^2e(A,o, /) Ae(A, o, /)a ^^^
On aura donc
'^'^■°>=4^eX
Une intégration par parties transforme cette égalité en
4TrE L (^t Jo 4to Jq àl
Si l'on observe que
et si l'on intègre le dernier terme, on trouvera
(8) OrL(A,o)= -^[e(A,o,o)-0(A,o,X-h[x)].
D'une manière analogue, l'égalité (7) peut se transformer en
4^£ L "^ "' Jo
Si l'on observe que
rc)e(A,B, /)1 ^^
peçB, A, /)]
0(A, B, o) = e(B, A,o), l'égalité précédente deviendra
(9) 01I( A, B) = -1- [e(B, A, X + fx) - 0(A, B, X -^ ^)\.
4 ir£
Revenons à l'expression de la fonction potentielle d'une couche double quelconque, donnée par l'égalité (5).
Supposons que la surface S soit fermée et que la couche double ait la même constitution en tous les points de cette surface. La quantité Oit aura alors la même valeur en tous les points de la surface S, et l'égalité (5) pourra s'écrire
Mais les lemmes de Gauss nous apprennent qu'en tout point M,
extérieur à la surface S, on a
ài
et qu'en tout point M, intérieur à la surface S, on a
On a donc en tout point M, extérieur à la surface S, et dont la distance à cette surface est grande par rapport à X,
et en tout point M, intérieur à la surface S, et dont la distance à cette surface est grande par rapport à ).,
(11) V=:47rDR.
Faisons quelques applications de ces égalités (lo) et (i i).
i" Considérons un conducteur homogène. La distribution naturelle forme sur ce conducteur une couche double homogène {voir p. 3-6) pour laquelle OÏL est donné par l'une des égalités (6) ou (8). La fonction potentielle de cette distribution naturelle aura pour valeur, à l'extérieur du conducteur, la valeur o et, à l'intérieur du conducteur, la valeur
4TtDlL(A, o)= i[e(A, o, G) — e(A,o, X^ (x)].
C'est ce que nous avions déjà trouvé précédemment [Chap. II, égalités (5) et (6)].
2° Considérons un conducteur hétérogène, formé de deux métaux A et B. Si nous désignons par 8^^,07 Sgo les deux portions de surface fermée qui limitent le conducteur, et par S^g la surface de contact des deux métaux, l'égalité (5) pourra s'écrire plus explicitement
V = D1I(A, o) j^ ^ dSA,o^ 3n,(B, o) g ^c?SB,o-i- 31I(A,B) g ^ ^Sa.b-
Cette expression peut se simplifier, au moyen des égalités (8)
et (9).
4Tr£
Si l'on obsei've que l'on a
e(A,o, \^ ^) = 0(A, B,). -t- IX) = e(A),
e(B, o, X -f- [ji) = e(B, kA-v n.) = e(B),
on pourra écrire
-l-[e(A,o,o)§-i<iS„+9(B,o,o)Sj^;rfS,..J
Considérons d'abord un point extérieur au conducteur. Les lemmes de Gauss nous donnent
en sorte que l'égalité (12) se réduit à
^ = 4ïi r ''■ "• °* S 'ô^, "'''■' -^ ^*''' "' "> S r!i< '^"1 ■
Posons
et
