L'EFFET PELTIER

§ I. — L'effet Peltier.

Nous avons dit que l'étude du mouvement permanent de l'électricité découlait tout entière de deux hypothèses fondamentales: l'une, à laquelle on parvient en généralisant la loi d'Ohm, a été indiquée au Chapitre IV; l'autre, que l'on obtient en généralisant la loi de Joule, a été indiquée au Chapitre VI.

Au Chapitre précédent, nous avons appliqué la première de ces devix hypothèses à un conducteur formé de différents métaux qui ont tous la même température, et nous en avons déduit une série de conséquences sur les lois des courants permanents dans un semblable conducteur. Nous allons maintenant appliquer à ce même conducteur la seconde hypothèse.

Considérons une surface fermée S tracée à l'intérieur d'un conducteur métallique hétérogène, dont tous les points sont à la même température, et qui est traversée par des courants permanents. Dans le temps dl^ la partie du conducteur que renferme cette surface dégage une quantité de chaleur ûfQ que nous voulons calculer.

Pour cela, en vertu de l'hypothèse indiquée au Chapitre VI, nous pouvons opérer de la manière suivante.

Nous supposerons que, pendant le temps dt^ les courants qui parcourent la partie du système enfermée à l'intérieur de la surface S soient conservés, mais que les courants qui parcourent le reste du système soient réduits à o. Il en résulterait, pendant le temps dt, un changement de distribution électrique sur le système. Ce changement consiste, comme on le voit aisément, à amener sur l'élément <iS de la surface S une charge électrique

— [u cos(N/, X) ~r V cos(N;, y) -+- w cos(N/, z)\ dS dt.

Prenons l'énergie interne du système supposé sans courant.

ciiAP. vm. — l'effet peltier. 479

Cette énergie interne a une valeur U donnée par [Livre IV, Chaj)itre II, égalité (19)]

EU = Er^\V^ Kl <7i-+-K2^2 -+-... ~K„<7„.

Dans la modification que nous venons de considérer, cette énergie interne subirait une variation oU donnée par l'égalité

E8U = — c?/^ (eV— K)[mcos(N/, x) -^ (^cos(N/,j') -^ wcos(N/, z)] dS,

la sommation s'étendant à tous les éléments dS de la surface S. Le système supposé sans courant dégagerait une quantité de chaleur'^Q':.^— SU.

L'hypothèse que nous voidons ajipliquer consiste à supposer que dÇ) = dQI, ce qui peut encore s'écrire

rfQ ^ — au.

La quantité de chaleur que nous voulons calculer est donc donnée par la formule

(1) EdQ = dt^{zY-T-K)[u cos{Ni,x)-i-vcos{î^i,y)^wcos('Ni, z)]

dS.

Cette égalité peut se transformer. Les quantités V et K sont finies et continues en tout point intérieur à la surface S. Leurs dérivées partielles du premier ordre existent et sont finies en tous ces points; on peut donc écrire l'égalité suivante :

^(t\-^K)[ucosi^i,x)^-vcos{Ni,y)-^wcos{Ni,z)]dS

les sommations qui figurent au second membre s'étendant à tout l'espace que renferme la surface S.

Les courants sont uniformes; on a donc en tout point de cet espace

du dv dw dx ' &y ' dz '

48o LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.

et l'égalité (i) peut s'écrire

Cette égalité doit avoir lieu quelle que soit la surface S; on arrive donc au résultat suivant :

Lorsqu'un conducteur métallique hétérogène, dont tous les points sont à la même température, est traversé par des courants permanents, chcujue élément de volume de ce conducteur dégage, dans le temps dt, une quantité de cJialeur dQ^ donnée par

( 2 ) E du — — dl\ u H p ; h w ^ dx- dy dz.

^ ^ \ dx dy dz \ -^

Cette égalité peut encore se mettre sous une autre forme.

Soit <^»1 la résistance spécifique du conducteur au point (x^y^z). On a [Chap. Yll, égalités (7)]

cÎIm = — e

Si donc, conformément aux notations indiquées ailleurs [Livre IV, Chapitre II, égalités (16) et (19)], nous posons

(3) Kr^e+HT,

T étant la température absolue, nous pourrons remplacer l'égalité (2) par l'égalité

/ E o?Q -r ^( «2 4- t.2 ^- w2 ) dx dy dz dt

i — T M \-v-^ h w —- ] dx dy dz dt .

\ \ dx dy dz / -^

Lorsqu'un conducteur métallique liétérogène, dont tous les points sont à la même température, est traversé par des courants permanents, chaque élément de ce conducteur dégage, dans le temps dt, une quantité de cJialeur qui est la somme de deux parties :

'dz

CHAP. Vin.

La première partie