CHAPITRE IX
§ 1. — Conditions dans lesquelles se produisent les courants thermo-électriques.
Nous avons jusqu'ici étudié des sj'stèmes formés de métaux dont tous les points étaient à la même température. Nous allons maintenant étudier les propriétés de systèmes formés par des conducteurs métalliques dont la température varie d'un point à l'autre.
Nous supposerons que la forme et la position des divers conducteurs soient données, ainsi que la constitution physique et chimique de chacun des éléments de volume qui les composent, en sorte que, pour connaître complètement l'état d'un élément de volume du système, il suffira de se donner les coordonnées x^ y, z d'un point de cet élément, et la température absolue T en ce point.
L'énergie interne U et l'entropie S du système seront données par les égalités [Livre II, Chap. II, égalités (i8) et (19)]
(1) EU = Er + W + Kig',-4-K2^„ + ...+ K„^„,
{%) ES=ES +Hi^i-hH2<72-+-... + H„g'„.
D'après ce que nous venons de dire, les cpiantités H et K seront des fonctions continues de ^, jKi -2, T,
H = H(a7, jK, z, T), K= K{x,y,z,T).
Imaginons qu'une charge électrique oq passe du point de coordonnées (x, y, z) au point de coordonnées
(x -^ ox, y -i- oy, z -\- oz),
l'énergie interne et l'entropie du système subissent des variations
ôU et 5S données par les égalités
L V ^■'^ ^^ ~^ OT dx ) d\ dK dK dT\
dj ' dy ' dT dy)^^
d\ dK dK dT\ ,
dz dz dT d.
-joz^dq,
ss =r
/dH dH dT'
\dx ^^ dT dx
/dH dH dT\,
/dH dH dT\. 1,
^(dJ -^dT d^j'^^J'S'-
Le travail non compensé qu'entraîne cette modification a pour
valeur
ox = ETSS — EoU.
Si l'on observe d'ailleurs que Ton a [Livre II, Chap. II, égalités (16) et (17)]
K = e + TH,
on voit que l'on aura
dV
de
de dT
' àx "^
" dx
■ dT d^
dV
de
de dT
dy '
dy-
'^ dT dy
dV
dJ-^
de dz '
de dT ■^ dT dz
da^
H — ) 02 c^fir.
dz / J ^
Cette égalité est fondamentale ; elle fournitles lois de l'équilibre et du mouvement permanent de l'électricité sur les conducteurs métalliques dont la température n'a pas la même valeur en tout point.
On obtiendra les conditions de l'équilibre électrique sur un semblable conducteur en écrivant que le travail non compensé 8t, donné par l'égalité (3), est égal à o, quels que soient tx, ùy, 83; ces conditions sont donc
ày ^dS dx dx
Oy dy
dV ^dB
'dz '^ dz
de dT dT dx
de dT
dT dy
dy
de dT
dT dz
dz
Si le système est parcouru par des courants permanents, il résulte de l'hypothèse fondamentale relative aux courants permanents, qui a été obtenue au Chapitre IV, en généralisant la loi d'Ohm, que l'on doit avoir
Sx = ( Ca; 037 -I- Cy oy -i- CzOz) dq,
Cx, ^y, ^z étant les composantes de la force électromotrice au point (^, y, z). Si donc SI est la résistance spécifique au point (^, y, z), et II, V, w les composantes du flux en ce point, on aura, d'après l'égalité (3),
/ à\ d& de àT „dT\
dx /
<Rw =
de
de
éx
dx
ày
dy
de
dT
dH
dy
ôz
de
dz
de
dT
dz
^Tz)-
Ces égalités nous feront connaître les lois des courants thermoélectriques.
L'étudethéorique des circonstances dans lesquelles ces courants peuvent prendre naissance comprend trois théorèmes; nous avons déjà démontré le premier de ces trois théorèmes au Chapitre VII, § 3; il s'énonce ainsi :
PiiEMiÉRE LOI. — Un système formé luiiquement de conducteurs métalliques, homogènes ou hétérogènes, dont tous les points sont à la même température, ne peut être le siège de courants permanents .
Le second de ces théorèmes peut s'énoncer ainsi :
Deuxième loi. — Si chacun des conducteurs, isolés les uns des autres, qui constituent un système, est homogène en tous les points dont la distance aux surfaces terminales surpasse Çk-îr [x), ce système ne peut être le siège de courants permanents sensibles, quelle que soit la distribution des températures sur ce système.
Multiplions, en effet, les deux membres de la première des équations (5) par u, les deux membres de la seconde par v, les deux membres de la tioisième par w, et intégrons pour le volume entier
rUAP. IX. — LES COURANTS THERMO-ÉLECTRIQUES. 49'
(le l'un des conducteurs qui constituent le système. Nous aurons tR ( W^ -f- V'-T- w^) dx dy dz
ffl^
r r r\ / d\ ae ae ôt
Ox J
^ ^ ae dT ^\
dy Oy dT dy dy J
' dW de de dT dz ~^ ôz~ d'Y d
- -r- H — j w \ dx dy dz
Prenons une fonction }){x, y, z-, ï) définie par l'égalité
(G) Uix,y,z,T)
dT
Aux divers points situés à l'intérieur du conducteur, à une distance supérieure à (^^+ l^-) des surfaces terminales, H et ^deviennent, à cause de l'homogénéité supposée du conducteur, de simples fonctions de T, h(T) et i^(T).
L'égalité précédente peut alors s'écrire
/ / / <îll(a2-|- (;2 u w^)dxdydz
J J J \ L' ^ ^ ^ ^ ^T dr "^ 'JT dx J "
L ^J' dy'^ dT dy dT dy J
r dV de de dT d^(T)dT~\ ) ^ , ,
-^['d-z-^rz-^dT-di-^-'jr^rr'''^^^'^'
