XA
Soient dS un élément de la surface S qui limite le conducteur et ]Nj la normale à cet élément vers l'intérieur du conducteur. Une intégration par parties nous donnera
J J J IV dx^ àx'^ dT ôx'^ dT dx) " ^ 'dy '^ dy '^ dT dy ^ dT ' dy ) ^
dV de de dT di^(T)dT\ 1 , , ,,
= — C [£V-+-e-f-i^(T)][MCos(iN,-,a7)-;-(^cos(N/,7)-f-«'cos(N/,3)]«JS
492 LIVBE V. — LKS CONDUCTKURS MÉTALLIQUES.
Les courants étant permanents, on a, en tout point du conducteur,
du àv dw
ox oy ôz et, en tout point de la surface S,
uco?,{'^i,x) -+- pcos(N/,jk) -+- (vcos(N,', z) = o. L'égalité (^) devient donc
f I fik ( «2 -+- (;2 -+- (v2 ) dxdydz = -///[H(^,7,^-,T)-A(T)](r^^ + .g+«.gj«?^^7rf.-.
Les deux quantités H(.r,jK, ;î, T) et /i(T) ne diffèrent l'une de l'autre d'une quantité finie qu'aux divers points d'une couche d'épaisseur ()^ + p.) confinant à la surface terminale; le second membre est donc une quantité très petite de l'ordre de (X + u.), et il en doit être de même du premier, ce qui montre que le flux électrique ne peut atteindre une valeur sensible en tout point d'un volume d'étendue sensible.
Cette loi , dont nous venons de démontrer la nécessité théorique, n'a pas toujours été admise par les expérimentateurs. Antoine-César Becqvierel (^) avait cru mettre en évidence la production de courants uniformes dans un circuit formé d'un seul métal dont les diverses parties étaient à des températures différentes. En un point d'un fil de platine homogène il formait un nœud ou une spirale. En chauffant alors le fil à droite ou à gauche de la spirale, il avait un courant allant directement de la partie chaude à la partie froide. Il en déduisait le principe suivant : pendant la propagation de la chaleur dans un corps, si cette propagation se fait uniformément autour du point chauffé, aucun effet ne se produit; mais, si la propagation se fait d'une manière djssjmétrique, il se produit aussitôt un courant électrique.
(') A. -G. Becquerel, Du développement de l'électricité par le contact de deux portions d'un même métal dans un état suf/isam,ment inégal de température {Ann. de Chimie et de Physique, Q'sùrie, t. XXIII, p. i35; 1823 ). — Du pouvoir thermo-électrique des métaux {Ann. de Chimie et de Physique, 2' série, t. XLI, p. 353; 1829).
M. Magnus (') a montré que ces phénomènes devaient s'expliquer par l'écrouissage , c'est-à-dire par un changement d'étal physique que l'on fait éprouver au métal en le tordant.
La troisième loi fondamentale des phénomènes thermo-électriques peut s'énoncer de la manière suivante :
Troisième loi. — Lorsquun conducteur métallique hétérogène présente une température variable cV un point à Vautre, V équilibre électrique est en général impossible sur ce conducteur.
Pour le démontrer, remarquons que les conditions d'équilibre (4) peuvent s'écrire
(8) HrfT= — ^(sV+e),
le symbole d désignant une différentielle totale par rapport aux quantités x, y, -S, T, regardées comme des variables indépendantes.
Le conducteur n'étant pas homogène, H est une fonction non seulement de T, mais encore de x, y, z. Le premier membre ne peut donc être une différentielle totale par rapport aux quatre variables T, x, y., z regardées comme indépendantes. On ne peut donc supposer l'existence de l'équilibre électrique sur le conducteur, quelle que soit la distribution des températures sur le système. Cet équilibre ne peut subsister que si la distribution des températures sur le système satisfait à certaines conditions.
Ainsi, en général, si l'on chauffe certaines régions d'un conducteur formé de plusieurs métaux différents, ou d'un métal dont les diverses parties sont dans des états physiques différents , on obtiendra sur ce conducteur un mouvement permanent de l'électricité. Telle est l'origine des courants découverts par Seebeck (-) en 1822 et i823 et nommés courants thermo-électriques.
(') Magnus, Ueber thermo-electrische Strome {Poggendorff's Annalen, t. LXXXIII, p. 469; i85i).
(») D' T.-J. Seebeck, Ueber die magnetische Polarisation der Metalle und Erze durch Temperalur-DiJ/ereiiz {Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, p. 1822 et 1828; — Poggendorff's Annalen, t. VI, p. i, i33 et 253; 1826).
494 LIVRE V. — LKS CONDUCTEUttS MÉTALLIQUES.
§ 2. — Propriétés des chaînes thermo-électriques.
Supposons que nous ayons une suite de métaux a, Z>, c, «i, ..., /, dont chacun est homogène, sauf à une distance très petite (X + pi) des surfaces qui le terminent.
Avec ces mëtaux, formons une chaîne de telle façon que chacun d'eux soit en contact seulement avec celui qui le précède dans la série et avec celui qui le suit.
Admettons que chacune des surfaces de contact ait la même température en tous ses points, cette température n'étant pas forcément la même pour les différentes surfaces de contact.
Nous aurons une chaîne thermo-électrique ouverte.
Si, de plus, nous supposons les deux métaux a. et / mis en contact par une surface ajant la même température en tous ses points, nous aurons une chaîne thermo-électrique fermée.
La théorie, fondée sur la Thermodynamique, des chaînes thermoélectriques, a été donnée en 1862 par Sir W. Thomson ('). Les principes précédents fournissent sans peine les résultats obtenus par Sir W. Thomson (2), et permettent même de leur donner une forme un peu plus générale, qui n'oblige pas à réduire la chaîne à un simple fd.
Première loi. — Une chaîne thermo-électrique ouverte ne peut être le siège d^ aucun courant permanent sensible.
Considérons une chaîne ouverte, formée, par exemple, de quatre métaux «, b, c, d {Jîg. 98), séparés les uns des autres par les surfaces S,, S2, S3, dont les températures sont T,, T2, T3.
Si le métal a est parcouru par des courants permanents, il doit recevoir à chaque instant autant d'électricité qu'il en laisse échapper, et, comme ces échanges ne peuvent avoir lieu que par l'in-
(') Sir W. Thomson, On a mechanical theory of thermo-electric currents {Philosopliical Magazine, 4° série, t. III, p. 629; i852. — W. Thomson's Mathematical and physical papers, 1. 1, p. 3i6).
(") P. DuHEM, Applications de la Thermodynamique aux phénomènes thermoélectriques et pyro-électriques. F" Partie : Phénomènes thermo-électriques {Annales de l'École Normale supérieure, 3" série, t. II, p.4o5; i885).
termédiaire de la surface S,, on voit que l'on aura
(a) V [u cos,(Na,x)-^vcos{]Sa,y) H- w cos(Na,-s)] dSi=: o.
Le métal b doit, lui aussi, recevoir à chaque instant autant d'électricité qu'il en perd, ce qui donne
V [u cos(N;!„ x) -+- pcos(N/„j') -H iv cos(N6, z)\ dSi
-h V [«cos(N6, ce) -+- V cos{l^t„y) 4- tvcos(NA, z)] dS^— o.
Mais l'égalité (a) donne
(?) ^ [Mcos(Ni, x) -i- V cos(N6,jk) •+- tv cos(N6, z)] dSi = o,
en sorte que l'égalité précédente devient
(v) V [ucos{^/j,x)-h- i^cos(N6,7) -f- w cos(N/„ z)] ^82 = o.
On verra ainsi, de proche en proche, que chaque surface S(,
Fi g.
So, S3 livre passage, à chaque instant, à une quantité totale d'électricité égale à o.
Gela posé, écrivons, pour le métal a, une égalité analogue à l'égalité (7), et transformons-la de la même manière. Soient J9a(T), ha(T), les fonctions 3^(T), A(T), particulières au métal a, nous aurons
3i{ii--t-v^-^w^)dxdydz = — ^[eV -{- e -}- jÇa(T)] [u cos(Na, x)^v cos(Na,jK) 4- w cos(Na, z)\ dSi -JfJ[Hix,y,z,T)-K{T)](u^^-^v^^-^».^^^^dxdjdz.
Si l'on observe que la température T et, par conséquent, la fonction ^«(T) ont même valeur en tout point de la surface S,, et si l'on tient compte de l'égalité (a), on aura
Jl( «2 -4- p2 | (^,2 ) dx dy dz
= — X (sV-l- 0) [U COS(Nrt, X)-^V COS(Na,JK) -4- W COS(Na, Z)] fl?Si
Les métaux b, c, d donnent des égalités analogues. En les ajoutant membre à membre et en remarquant qu'on a, en tout point de S,,
u cos(]Na, x)-^ V COS(Na,JK) + W cos(Na, z) -\- u co?>{'^b,x) -h V cos(N6,jK,> ■+- w cos(N/j, z) — o,
et des égalités analogues en tout point des surfaces So, S3, on trouve
I f IS{.(u'^^v^--r'W^')dx,dj,dz
■fU
[H(x,y,z, T) — Arf(T)] ("^-f-''j- + ^^) dxdydz.
L'intégration qui figure au premier membre s'étend à la chaîne tout entière.
Le second membre étant une quantité très petite de l'ordre de (X + {jl), il doit en être de même du premier; les courants ne peuvent donc avoir une intensité sensible en aucune région d'étendue sensible du système.
L'équilibre électrique s'établira sur le système. On aura, en tout point, d'après l'égalité (8),
H(a7, jK, -s, T) t/T = — i/(£V 4- 0).
Prenons un point M {fig. 99) à l'intérieur du premier métal a de la chaîne, et un point M/ à l'intérieur du dernier métal d de la chaîne. Soient T et T' leurs températures. Joignons les deux
points M, M' par une ligne / rencontrant les surfaces S,, So, S3, en P,, P2, P3. L'égalité (8) nous donnera
£V(M)-f-ea(T)-sV(M')-e,/(T')= / U(x,y,z,T)dT.
Mais le second membre peut s'écrire
I, -^T-^T-X -^'^^Jr, -^^'"A
f [H(^,r,^, T)-A^(T)]c/T+...-^ r [11(^,7, 2, T)-/irf(T)]f/T. Si Ton elTectue les intégrations indiquées aux quatre premiers
Fig- 99-
termes, et si l'on néglige les termes suivants, qui sont des quantités très petites de l'ordre de (\ -+- [jl), on trouve
(9) = i5a(T,)-i5a(T)+i5^(TO-i56(T,)
( -^i5,(T3)-i^,(T2)-f-i5rf(T')-;^rf(T3).
Supposons, en particulier, que les deux métaux a el d soient identiques; que les deux températures T et T' soient identiques. Entre les points M et M' existera une différence de niveau potentiel donnée par l'égalité
l £[V(M)4-V(M')]= i5„(TO-i^6(Ti) (»o) -^i5/,(Tj)-i9c(T2)
tandis que cette différence eût été égale à o, si les deux métaux avaient été réunis par des conducteurs métalliques ayant la même température en tous leurs points.
