II

Deuxième loi. — Une chaîne thermo-électrique fermée, dont toutes les soudures sont à la même température , ne peut, quelle que soit la distribution des températures entre les soudures, être parcourue par des courants permanents sensibles.

Soit une chaîne ihei^mo-élec trique fermée, formée, par exemple, de trois métaux a, ^, c {/ig- 100); soient S,, Sa, S3 les surfaces

qui séparent ces trois métaux, et Ti, To, T3 leurs températures. Comptons comme sens de parcours positif le sens abcda. On démontre sans peine que, dans le temps dt, chacune des surfaces Si, S2, S3 est forcément traversée dans le sens positif par une même quantité totale d'électricité idt. Gela posé, en raisonnant comme nous l'avons fait pour établir la loi précédente, nous trouverons sans peine

-JJJ[Yl{x,y, z, T) - A.(T)] (^^. + ,- + «. j clx dy dz.

Les trois derniers termes du second membre sont des quantités très petites de l'ordre de()v+[i.); le premier terme du second membre disparaît si l'on a

Si donc les soudures d'une chaîne thermo-électrique fermée sont toutes à la même température, cette chaîne ne peut présenter de flux électrique sensible en tout point d'une région d'étendue sensible.

Troisiè:me loi. — V équilibre électrique est, en général, impossible sur une chaîne thermo-électrique dont toutes les soudures ne sont pas à la même température.

En effet, si l'équilibre électrique était établi sur une semblable chaîne, on aurait en tout point

(8) d{z\-^T)=-}\{x,y,z,T)cn.

Traçons une ligne qui passe du métal a au métal 6, du métal b au métal c, et vient se refermer au sein du métal a.

Intégrons l'égalité précédente le long de cette ligne fermée et nous trouverons

^H(^,jK, 2, T)^T = o.

Transformons cette égalité par un calcul analogue à celui qui nous a fourni l'égalité (9) et nous verrons qu'elle devient, en négligeant les quantités petites de l'ordre Q^+ [J.),

(12) J^a(T,)-45«(T3)-^i56(T2)-;0/,(T,)-^i5^(T3)-iPc(T2)=o.

La condition nécessaire pour que l'équilibre électrique puisse subsister sur une chaîne thermo-électrique est que les températures des soudures vérifient l'égalité (12) aux quantités près de V ordre de {\ + [t-)-

Cette condition est en même temps suffisante, car, si elle est vérifiée, le second membre de l'égalité (11) est une quantité très petite de l'ordre de Çk -\- [jl) et, par conséquent, la chaîne ne peut présenter aucun courant d'intensité sensible dans une région d'étendue sensible.

Lorsque les températures des soudures ne vérifient pas l'égalité (12), la chaîne thermo-électrique devient le siège d'un courant permanent dont nous allons étudier les lois.

Quatrième loi. — Sur une chaîne thermo-électrique parcou-

jme par des courants permanents, aucune ligne de flux ne se ferme sans avoir parcouru toute la chaîne.

Dans tout système limité, parcouru par des courants permanents, toute ligne de flux se ferme forcément sur elle-même.

Peut-il arriver qu'une ligne de flux fermée se présente, sur notre chaîne thermo-électrique, comme la ligne M PM'QM dans la fig. loi ,

Fig. 101.

de telle façon qu'il soit possible d'ouvrir la chaîne par une section S qui ne coupe pas cette ligne de flux?

Supposons pour un instant que cela soit possible. Notre ligne de flux peut rencontrer certaines soudures; imaginons qu'elle rencontre la soudure S, en deux points M, M'.

Prenons cette ligne pour directrice d'un petit canal de flux de section diù. Soit /"le flux en un point, et posons

Les égalités (5) nous donneront

Çs^fds^—fd{zS-^Q)— CH{x,y,z,T)dT,

les intégrations s'étendant à la ligne fermée MPM'QM.

La quantité i ayant la même valeur en tous les points de cette ligne, nous aurons

Nous aurons aussi

d{z\-he) = 0.

CHAP. IX. — LES COUR.VNTS THERMO-ÉLECTRIQUES. 5oi

Enfin nous trouverons sans peine

J'H{x,y,z,T)dT= J [H(.r,j',z,T)-A«(T)]crr

+ / {n{x,y z,'ï)-h,{'ï)\dl.

Le second membre de cette expression est une quantité très

petite de l'ordre {\-\- [x). Il en est donc de même de i j -,—- ce

qui démontre qu'aucune ligne de la forme indiquée ne peut être parcourue par un flux sensible.

Considérons un petit canal formé par des lignes de flux. D'après ce que nous venons de démontrer, il parcourt toute la chaîne thermo-électrique comme le représente ^^Jig- 102. Prenons pour sens

Fis;. lori.

de parcours de ce canal le sens abca. Soit dio sa section en un point; soity le flux en ce point. La quantité

i =f dui

a la même valeur tout le long de ce canal. Supposons, pour fixer les idées, qu'il soit possible de mener au travers de la chaîne une section S, qui rencontre normalement une et une seule fois toutes les lignes de flux. On trouvera sans peine alors, aux quantités près de l'ordre de Çk + ^), l'égalité

ij^= ^a(Ta)-i5a(T0

Soit dû l'élément que notre canal découpe sur la surface S.

5o2 LIVRE V. — LES CONDUCTEURS METALLIQUES.

La quanti lé

J = ^idQ

représentera la quantité totale d'électricité qui, pendant l'unité de temps, traverse, dans le sens positif, la surface S ou toute autre section qui ouvre la chaîne.

Comme nous l'avons fait au Chapitre IV, définissons la résistance totale R de la chaîne pour la distribution de flux que nous considérons par l'égalité

du