K = 0-4-TH
que l'on a en outre, en tout point intérieur à la surface S,
du di> dw
àx dx dz '
on verra sans peine que l'on peut écrire
, . r r ru àY d& ^c
dT dx ^ âl dx~^ àx)"' d\ ^ de dH
' ày'^ dj 'dy
dT ày ^ d^ dy^ dy) ^
d\ de ^ dïi
■ — -f- — -t- 1 — dz dz dz
de dT dT 51
^dH dT dT\ "1 , , ,
T -TT, -; h li^— ]w \dx dy dz.
di. dz "-2 / J "^
Cette égalité, devant avoir lieu quelle que soit la forme de la surface S, fournit l'expression de la quantité de chaleur dégagée dans le temps dt par un élément de volume du conducteur.
Si l'on observe que l'on a [Chap. IX, égalité (5)]
fdW de^ '^^T ^Y{—\ ~ \ dx dx dT dx ' dx j
I dy de de dT „^\
^ ~ \ dy dy dT dy dyj'
/ d\ de de dT „dT\
^"^^-y'Tz^Tz-^lîTz^^^y on voit sans peine que la quantité de chaleur dégagée pendant le
CHAP. X. — l'effet THOMSON. 5l7
temps dt^ par un élément d'un condiicleur métallique dont la température n'est pas uniforme et que parcourent des courants permanents, est donnée par l'égalité
Ec?Q= S^{u'^-^v'^-^Kv''-)dxdydzdt
(■'-) { \ ôx '^ ôy ' " ôz )
u 'i- V — • !- w ■ — j dx dy dz dl
ô^ I ffl dl dT \
— 'Y -=r\u \- V 'x- w -— )dx dy dz dt.
dT \ ux dy dz J "^
Le premier terme du second membre représente le dégagement de chaleur donné par la loi de Joule.
Le deuxième terme représente l'effet Peltier. Il disparaît si la matière du conducteur est homogène autour de l'élément dx dy dz-^ mais il ne change pas de valeur selon que la distribution des températures est uniforme ou non autour de l'élément dx dy dz.
Le troisième terme, au contraire, demeure le même, que la matière du conducteur soit homogène ou non autour de l'élément dxdydz] mais il s'évanouirait si la température était distribuée d'une manière uniforme autour de cet élément.
Soit/ le flux électrique au point (^, y, s). Soit F le flux calorifique au même point. Si l'on désigne par K la conductibilité calorifique de la substance qui forme le conducteur, ce dernier flux aura pour composantes
dl
. àl
ôx
dz
et le troisième terme de E<a?Q pourra s'écrire
Î^-5f/cos(F,/).
On voit qu'il change de signe selon que la direction du flux calorifique et la direction du flux électrique font entre efles un angle aigu ou un angle obtus. Toutes choses égaies d'ailleurs, il est proportionnel en grandeur à chacun de ces deux flux.
Le phénomène auquel correspond la présence de ce terme dans l'expression de E û?Q porte le nom à' effet Thomson.
C'est en effet Sir W. Thomson (*) qui, dans sa belle étude
(') Sir w. Thomson, On a mechatùcal theory of thermo-electric currents (Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Dec. i85i. — Philosophical
5l8 LIVRE V. — LES CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.
théorique sur les courants thermo-électriques, a énoncé, comme conséquence de la Thermodynamique, cette proposition : Un couinant électrique produit des effets thermiques différents selon qu^ il passe du chaud au froid ou du froid au chaud dans un même métal.
Peu d'années après, Sir W. Thomson (') a vérifié expérimentalement cette conséquence de la théorie, en employant le procédé suivant.
Un paquet de fils de fer, serré en a et 6 {Jig- i lo), s'épanouit
Fig. iio.
dans trois cuves identiques A, 13, C. Les cuves extrêmes A et C contiennent de l'eau froide et la cuve médiane B, de l'eau bouillante. Les portions a et b, entourées de coton cardé pour atténuer le rayonnement, contiennent chacune un thermomètre très sensible. Dans ce paquet de fils de fer, lançons un courant dans la direction ABC. En a, ce courant va du froid au chaud, tandis qu'en b il marche du chaud au froid. En a et b, les flux de chaleur seront sensiblement les mêmes; mais, en a, le flux de chaleur sera dirigé en sens contraire du courant électrique et en b il sera dirigé dans le sens du courant. Soient T la température extérieure, T^ la température du thermomètre a, T^ la température du thermomètre b. Soit J l'intensité du courant. Soit c'R. la résistance spécifique du métal. Posons enfin
Magazine, 4" série, t. \l\, p. 629; i852. — W. Thomson's mathematical and physical Papers, t. I, p. 3 16).
C) Sir W. Tnou&o^, Expérimental research.es in thermo-electricity {Proceedings of the Royal Society, t. VII; i854. — Thomson's Papers, t. I, p. 460). — On the Electrodynamic qualities of metals {The Bakerian Lecture) {Philosophical Transactions of the Royal Society, t. III, p. 661 ; i856. — Thomson's Papers, t. II, p. 189).
CHAP. X. — l'effet THOMSON. 5l()
Nous aurons évidemment
Ta- T = Kaél(Ta)i^-^ K',fiL(Ta)J,
Ha, K^, R^, K^ étant quatre coefficients positifs qui dépendent de la température des cuves et de la construction de l'appareil.
Faisons maintenant passer le courant en sens contraire ; les deux thermomètres marqueront des températures T^ et T^ et nous aurons
T;-T = K„a(T;)J2--KXT;)J,
T', - T - K/,^(n)J2 -+- K^, jjL(n)J.
L'observation montre que T„ diffère très peu de T^ et T^ très peu de T^. On a alors sensiblement
et, par conséquent
(T„-T/,) -^ (T'/,- T;,) - ■2\K:,ix{Ta) -h- K',.u(T/,)JJ.
Le premier membre serait égal à o si l'effet Thomson n'existait pas. Sir W. Thomson a trouvé que, pour le fer, le premier membre a une valeur positive fort petite. Donc, pour le fer, l'effet Thomson existe, mais est très petit; de plus, [x (T) est positif, ce qui prouve, en se reportant aux égalités (2) et (3), qu'un courant dégage plus de chaleur dans le fer en passant du froid au chaud qu'en passant du chaud au froid. L'inverse a lieu pour le cuivre.
En remplaçant les thermomètres par des soudures thermoélectriques, M. Leroux (') a donné au procédé une plus grande sensibilité, qui lui a permis de constater la proportionnalité de l'effet Thomson à l'intensité du courant. De plus, en faisant usage de l'égalité
il a pu déterminer, pour différents métaux, des nombres proportionnels au coefficient [Ji-(T); il lui a suffi pour cela de donner, pour tous ces métaux, même valeur au coefficient K^, ce qu'il a
(') Leroux, liecherches sur les courants thermo-électriques (Annales de Chimie et de Physique, /(' série, t. X, p. 201 ; 18G7).
520 LIVRE V. — Li:S CONDUCTEURS MÉTALLIQUES.
obtenu en disposant de la section des fils employés et du vernis
qui les recouvre de manière à leur donner même coefficient de
conductibilité interne et même pouvoir émissif.
Il a trouvé ainsi les nombres suivants, proportionnels au facteur
Bismuth 3i
Fer 3[
Maillechorl 25
Alliage d'antimoine d'Edmond Becquerel ... 24
Platine 18
Aluminium 0,1
Étain o,r
Plomb o
Laiton — o,3
Cuivre — 2
Argent — 6
Bronze d'aluminium — 6
Zinc —II
Cadmium — 3i
Antimoine — 64
Alliage de 10 parties de bismuth pour i partie
d'antimoine — 73
La théorie nous fournit une relation entre les effets Thomson présentés par différents métaux et les effets Peltier, produits par le passage de l'électricité de l'un à l'autre de ces métaux.
En efïet, le coefficient de l'effet Peltier a pour valeur [Chapitre VIII, égalité (12)]
P' - On a donc, d'après l'égalité (3)
La petitesse de l'effet Thomson n'a pas permis, jusqu'ici, de soumettre cette relation à une vérification expérimentale.
§ 2. — Remarque sur la théorie de Clausius. R. Clausius (') a donné, en i853, une théorie des phénomènes
(') R. Clausius, Ueber die Anwendung der mechanischen Wârmetheorie auf die thermo-electrischen E rscheinungen {Poggendorff's Annalen, t. XC, p. 5i3; i853. — Théorie mécanique de la chaleur. Trad. en français par F. Folie, t. II).
)/; (Ha— H/) ) T
CHAP. X. — l'effet THOMSON. 521
thermo-électriques qui ne concordait nullement avec celle de Sir W. Thomson. Dans cette théorie, il prenait pour point de départ les propositions suivantes :
1° La différence de niveau potentiel entre les parties internes de deux métaux en contact est, à une température déterminée, proportionnelle au coefficient de l'effet Peltier qui se produit entre ces deux métaux à celte température.
2° L'effet Thomson n'existe pas.
De ces points de départ, Clausius déduisait deux conséquences fondamentales :
1° Tous les couples thermo-électriques sont à marche régulière.
2° La grandeur de l'effet Peltier à la soudure de deux métaux est proportionnelle à la température absolue de cette soudure.
Bien que ces conséquences ne puissent être acceptées d'une manière générale et que, par conséquent, la théorie de R. Clausius ne puisse être conservée dans son intégrité, il est intéressant de dire un mot de cette théorie qui a exercé une grande influence sur les travaux des physiciens.
Voyons donc quelles sont les conséquences logiques de chacun des deux postulats de R. Clausius.
Supposons, en premier lieu, que l effet Thomson n'existe pas pour deux métaux a et b.
Les égalités
(5) jjL«(T) = o, MT) = o,
jointes à l'égalité (4), donnent alors
Le coefficient de V effet Peltier qui se produit entre ces deux métaux est proportionnel à la température absolue.
Les égalités (4) et (5) donnent d'ailleurs
H«(T)-^H^(T) = (K«-Ki),
K« et Ko étant deux quantités indépendantes de la température; on a alors [Chapitre IX, égalité [\/\ bis)\
i:^(To, T.) = (K„-K,,)(Ti-To).
La force électromotrice d' un couple thermo-électrique formé avec ces deux métaux est proportionnelle à la différence des températures absolues des deux soudures.
L'égalité [Chapitre VIII, égalité (i4)]
, lî^Dâ(T)
devient
'dt~' ^ l On a donc
X étant une quantité indépendante de la tempéra tui'e, et, par conséquent,
La différence de niveau potentiel des deux métaux subit des variations proportionnelles aux variations de la température absolue et mesurée par les variations du coefficient de r effet Peltier. La proportionnalité de la différence de niveau potentiel avec le coefficient de Veffet Peltier est compatible avec cette loi sans être nécessitée par elle.
Ainsi, en prenant seulement pour point de départ la non-existence de l'effet Thomson, on est conduit à toutes les propositions qui constituent la théorie de Ciausius, sauf à la proportionnalité des différences de niveau potentiel au phénomène de Peltier.
Inversement, supposons qu'on prenne pour point de départ unique la proportionnalité de l'effet Peltier à la différence de niveau potentiel de deux métaux en contact, comme l'a fait M. Potier (').
L'égalité
devant se réduire maintenant à
PiJ(T)-^D^(T),
(') Potier, Sur la théorie du contact {Journal de Physique, 2" série, t. IV, p. 220; i885).
CIIAP. X. — i/eFFET THOMSON. 5/3
on aura forcément
La différence de niveau potentiel entre deux métaux en contact, et, partant, le coefficient de V effet Peltier, sont proportionnels à la température absolue.
L'égalité (i4 his) du Chapitre IX va donner
<î:^(Tu,T,) = (K„-^K,)(Ti-To).
La force électromotrice thermo-électrique est proportionnelle à la différence des températures absolues des deux soudures.
Enfin, on trouve sans peine
V effet Thomson suit la même loi pour tous les métaux ; il n'est pas nécessairement nul.
On retrouve encore, dans ce cas, toutes les propositions de R. Clausius, sauf Tégalité à o de l'efTet Thomson.
