CHAP. IV. — LEMMES DE GAUSS

Lorsque le point M est intérieur à V espace clos limité par la

sur J ace S, on a

(0 ncos(r, N,)^S^^^^

Considérons maintenant le cas où le point M est extérieur à l'espace E limité par la surface S, on a, dans ce cas,

COs(r, Ne)irfSi COS(r, Ne)2fl?S2

do =

ri

COs(r, ^e)>ndSzn

et, par conséquent,

cos(r, Ne)ic?Si cos(r, Ne)2</S2 , cos(r, Ne)2„«a?S2,

ri ri ri^

En écrivant des égalités analogues pour tous les éléments d'y et en les ajoutant membre à membre, on trouve le résultat suivant, qui constitue le deuxième lemnie de Gauss :

Lorsque le point M est extérieur à l'espace clos limité par la surface S, on a

(2) Qcos(r,-Ne)dS ^^

Examinons maintenant le cas un peu plus compliqué où le point M est sur la surface S, et supposons d'abord que la surface S admette au point M un plan tangent unique P. Ce plan P divise l'espace en deux régions faciles à distinguer l'une de l'autre. Si, par le point M, on mène vme demi-droite normale au plan P, selon la direction que l'on aura attribuée à cette demi-droite, elle entrera dans l'espace E au point M, ou bien elle en sortira. Nous nommerons première région la région dans laquelle se trouve la premièie direction, et deuxième région la région dans laquelle se trouve la deuxième direction.

Le plan P divise en deux hémisphères la sphère de rajon i ayant le point M pour centre. Nommons premier hémisphère l'hémisplière situé dans la première région, et deuxième hémisphère l'hémisphère situé dans la deuxième région.

Soit da un élément superficiel du premier hémisphère. Prenons le contour de cet élément d<7 pour directrice d'un cône infiniment

délié ayant pour sommet le point M. Ce cône découpe sur la surface S un nombre impair d'éléments dS^^ dSi, . . ., dS2m-^' Les éléments d'ordre impair correspondent aux points où le cône sort de l'espace E, les éléments d'ordre pair aux points où il pénètre dans cet espace. On a donc

, cos(r, Ne)i (5?Si cos(r, Ne)2<:/S2

COS(/% Ne)2,„-iC^S2/«-i

et, par conséquent,

cos(r, Ne)i<iS] cos(r, Ne)2<3?S2 cos(r, Ne)2,„-i<iS2w-i

Écrivons des égalités analogues pour tous les éléments d<7 du premier hémisphère, et ajoutons-les membre à membre; nous aurons

, , n cos{r, Ne)dS

l'intégration s'étendant à tous les éléments de la surface S qui sont situés dans la première région.

Soit de même d^ un élément superficiel du second hémisphère ; à cet élément, circonscrivons un cône infiniment délié ayant le point M pour sommet. Ce cône découpe sur la surface S un nombre pair ou nul d'éléments c^Sj, dSo-, • • ., dS2n- Les éléments d'ordre impair correspondent aux points où le cône entre dans l'espace E, les éléments d'ordre pair aux points où il sort de cet espace. On a donc

, cos(r, Ne)i<'iSi cos(r, Ne)2a?S2

C0S(7', Ne)2„C?S2«

' in-

et, par conséquent,

cos(r, Ne)i<fSi cos(r, Ne)2(iS2 cos(/', Ne")2«<^S2rt

Ajoutons membre à membre les égalités analogues fournies par tous les éléments d's du second hémisphère, et nous trouverons

(6) gcos(r,N.)rfS^^^